2021届人教a版（文科数学） 推理与证明 单元测试

2021届人教A版（文科数学）推理与证明单元测试

（2）

1、“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（）

A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理

2、与“实数a，b,c不全为0”等价的条件是（）

A.a,b,c均不为oB.a,b,c中至少有一个为o

C.a,b,c中至多有一个为oD.a,b,c中至少有一个不为o

3、在人钻。内有任意三点不共线的2016个点，加上ARC三个顶点，共2019

个点，把这2019个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的

个数为（）

A.4033B.4031C.4029D.4027

4、由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学

生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为

（）

A.②①③B.②③①C.①@③D.③①②

5、由①正方形的对角线相等,②平行四边形的对角线相等,③正方形是平行四边形,

根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是（）

A.正方形的对角线相等

B.平行四边形的对角线相等

C.正方形是平行四边形

D.以上均不正确

6、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌

手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”

丁说：”是乙获奖.”四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7、

将正偶数按如图规律排列，第21行中，从左向右，第5个数是（）

2

468

1012141618

20222426283032

A.806B.808C.810D.812

8、三角形的面积为S=g（a+0+c）/,a,"c为三角形的边长，r为三角形内切圆

的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）

A.V=—abc

3

B.V=-S/z

3

C.V=1（S]+S2+S3+S”

（5|5S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）

D.V=（（"+*+4（?）人,（〃为四面体的高

9、

杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,

如图是三角形数阵，记明为图中第〃行各个数之和，则%+4的值为（）

1

11

121

1331

14641

15101051

A.528B.1020C.1038D.1040

10已知%>0,由不等式

1J1-4xx4xx4-mi,,、人

xH—2•—=2,xd—-=—+—H——3?/—,—=3,…，可以推出结论：

xVx%222%-V22x2

x+=2〃+1（〃GN*）,贝（二（）

A.2nB.3nC.n2D.nn

11、下面给出了四个类比推理：

①。，b为实数，若+匕2=0,则〃=力=0；类比推出：4*2为复数，若z；+z；=0,

则Zj=z2=0.

②若数列｛。,｝是等差数列，a=:（q+4+…+，则数列也卜也是等差数列；

类比推出：若数列｛%｝是各项都为正数的等比数列，d„=，则数列｛<｝

也是等比数列.

③若R,则（必）。=。仅。）；类比推出：若々,51为三个向量，则

｛a-b^-c=a-｛b.

④若圆的半径为。，则圆的面积为工/；类比推出：若椭圆的长半轴长为明短半轴

长为从则椭圆的面积为左。江上述四个推理中，结论正确的是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

12、将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）

357

911131517

19212325272931

A.731B.809C.852D.891

13、

已知A、B两所大学的专业设置都相同(专业数均不小于2),数据显示，A大学的各

专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例(男女比例是指男生人数

与女生人数比).据此，

甲同学说：“A大学的男女比例一定高于B大学的男女生比例”；

乙同学说：“A大学的男女比例不一定高于B大学的男女生比例”；

丙同学说：“两所大学的全体学生的男女比例一定高于B大学的男女生比例”.

其中，说法正确的同学是.

14、对于大于或等于2的自然数m的n次塞进行如图方式的“分裂”.仿此，52

的“分裂”中最大的数是,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为

15、设玉，々，…，/为1，2,…，10的一个排列，则满足对任意正整数机，〃，且

1<m<n<10,都有xin+m<xtl+n成立的不同排列的个数为

16、观察下列等式：C；+C；=23—2,C；+C^+C^27+23,

以+/+Ct+循=2"-2\C+g+J+C：；+C；；=215+2\

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于〃eN*,Cl„+1+C：„+1+C：„+l+…+C：：：；=.

2

y=f(x)=-+x

17、求函数x在下列各点处的导数.

(1)y=Xo；(2)x=l⑶x=-2.

18、(1)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5访8+0=屈。$8证明：

c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).

(2)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为心儿斜边长为c,则斜边上

ab

h=——

的高C.若把

该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A-BCD中，若三个侧面的面积分别为

S1，S2，S3,底面面积为S,则该四面体的高H与之间的关系是什么？(用$1户2万3表

示H)

19、用反证法证明：如果那么-+2x—IwO.

2

20、设n6N+且sinx+cosx=-1,求sidx+cosnx的值.(先观察n=l,2,3,4

时的值，归纳猜测sinh+cosh的值.)

xyxy

21、是否存在常数C,使得不等式另丽+肝药＜用②+公石对任意正数x,

y恒成立？试证明你的结论.

22、已知AABC的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则AABC的内切圆。。的半径

2S

'a+b+c.这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”.由平面类比到空

间，设空间四面体ABCD的各表面面积分别为$1，$243品，其体积为V,四面体ABCD的

内切球半径为r,试猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？并加以证明.

参考答案

1、答案A

大前提所有金属都能导电，小前提铁是金属，结论铁能导电，这是演绎推理的三段论，

故选A.

考查目的：演绎推理.

2、答案D

“不全为0”指的是“部分为0或者全不为0”,/.实数a、b、c不全为0的条件是

a、b、c至少有一个不为0,故选D

3、答案A

先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180’,可得三角形的个数，得到

答案.

详解

由题意，三角形的内角和为18。'，

又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360，

则2016个点的角的总和5=2016x360',加上三角形原来的内角和180。，

所以所有三角形的内角和'=180+2016x360=180（1+2016x2）,

所以三角形的个数为1+2016x2=4033,

故选A.

名师点评

本题主要考查了合情推理的应用，其中解答根据各三角形内角总和得到三角形的个数是

解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

4、答案D

根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，

即可求解.

详解

由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：

大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；

小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；

结论：②安梦怡是独生子女，故选D.

名师点评

本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解

答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

5、答案A

三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演

绎推理.在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相

等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”.另外一个是结

论.

详解

演绎推理三段论可得

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，

故选：A.

名师点评

三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理.它包含两个性质判断构成的前提，和一

个性质判断构成的结论.一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项

叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结

论中做主项的词项叫小项.

6、答案C

若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都

说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真

话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.

故选C.

名师点评：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、

丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.

7、答案C

试题分析：根据正偶数的排列规律，第一行有1个偶数，第二行有3个偶数，…第n行

有2n-1个偶数，利用等差数列的前n项和公式，求出前20行的正偶数个数，求出第

21行从左向右的第5个数是第几个正偶数，根据第n个偶数a.=2n求出即可.

解：根据分析，第20行正偶数的个数是：2X20-1=39（个），

所以前20行的正偶数的总个数是：1+3+5+…+39=2°（1+39）=的。（个），

2

因此第21行从左向右的第5个数是第405个正偶数，

所以这个数是:2X405=810.

故选：C.

考查目的：归纳推理.

8、答案C

设四面体的内切球的球心为0,则球心0到四个面的距离都是r,根据三角形的面积的

求解方法：分割法，将。与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以。为顶点，分别以

四个面为底面的4个三棱锥体积的和，+S2+S3+S4y.

9、答案D

第一行数字之和为l=2i

第二行数字之和为2=2?T

第三行数字之和为4=23T

第四行数字之和为8=2"i

第〃行数字之和为2"T

=24+210=16+1024=1040

故选D

10、答案D

11,答案D

22

①在复数集C中，若Zi,z2GC,ZI+Z2=0,则可能ZI=1且Zz=i.故错误；

②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理

为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以

类比推出：若数列｛cj是各项都为正数的等比数列，&=也£…q,，则数列｛d｝也是等

比数列.正确；

③由若a,b,cGR则（ab）c=a（be）；类比推出：若G,瓦无为三个向量则

[ab^-c-a｛bc^.,不正确，因为（无5）•「与C共线，无（6可与互共线，当a、c

方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；

④若圆的半径为a,则圆的面积为na2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a,短半轴长

为b,则椭圆的面积为页ab.根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确.

故选：D.

名师点评：逐个验证：①数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断

类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误

的，也可直接举一个反例；②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般

的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为

几何平均数等；

③向量要考虑方向；区分向量的数乘和点积.④根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确.

12、答案B

由题意得，前20行共有正奇数1+3+5++39=202=400个，

则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，

所以这个数是2X405?1=809.

故选：B

13、答案乙

根据A大学的各专业的男女比例均高于B大学的各专业的男女比例，可知甲、丙不一定正

确，所以A大学的男女比例有可能等于B大学的男女比例，

即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例，故说法正确的同学是乙.

名师点评：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研

究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之

前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得

到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提

下）.

14、答案915

根据所给的数据，不难发现：在r?中所分解的最大的数是2n-l；在/中，所分解的最

小数是n^n+l.再根据发现的规律求结果.

详解

解：根据所给的数据，不难发现：在n?中所分解的最大的数是2n-l；在r?中，所分解

的最小数是n2-n+l.

根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5X2T=9；

若m：'的“分裂”中最小数是211,则nJn+l=2H

n=15或T4(负数舍去).

故答案为：9；15.

名师点评

本题考查归纳推理，考查综合分析与判断能力，属中档题.

15、答案512

由题意可得X+1+2W刍+3<…K/+94%+10,即相邻的两个数％—x,用<1,

考虑归纳法，对于两个数，有两种排列1,2和2,1,现在插入3,每种情况中，只有两

种符合的。对符合的1,2,3三个数的排列有四种，现插入4,发现每种排列符合的都

是两种，因为插入的后一个数n只能插在nT的两边。所以每插入一个新数数，就增加

两种情况。综上，总共是29=512。

名师点评

本题通过归纳，可知每加一个数时，排列数翻倍。这是处理数值较多时的一个常用方法

属于降维的思想。

16、答案2务1+(_1)"22"T

\1

-------1-1

2.

17、答案⑴X。(2)-1(3)2

试题分析：根据导数的运算法则即可求出.

详解

2，、2

f(x)=-+x-+1

解：：X,X.

,2

f(x0)=--+l

(1)当x=x0时，xo.

,2

f(1)=----+1=-1

(2)当21时，I2.

,21

f(-2)=-----------F1=-

(3)当x=-2时，(-2产2

名师点评

本题主要考查导数的运算法则，属于基础题.

18、答案(1)证明见.

^^3

H==-----------

⑵s.

n

试题分析：分析：⑴由sin(A+C)=^cosB,得tanB=B贝|-3,利用分析法要证

22「2.

c+a-b1

222——

c(b+c)+a(a+b)=(a+bNb+c),只需证明即证c+a-b=ac,只需证2ac2,即证

111sle

cosB=--SH=-S]CH=——

2,从而可得结论；(2)由331,得S,于是

\111

H星2(-ab)(-bc)(-ac)

222

Ss,从而可得结论.

n

详解：(1)证明：由sin(A+C)=JicosB,得tanB=6则-3

要证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

222

只需证c+bc+a+ab=ab+ac+b+bc,

„22,2

即证c+a-b=ac

22.2

c+a-bd11

cosB=-

只需证2ac2,即证2,

n1

B=-cosB=-

面3,2显然成立，故c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)

(2)解：记该四面体A-BCD的三条侧棱长分别为a,b,c,

111

S-=-ab,S^=-bc,Sa=-ac

不妨设12*2232

11

_SH=_S〔c

由33

S'

H=——

得s,

匕2b2c2111

H色2(-ab)(-bc)(-ac)

4222

于是sSS

J2slss

H==------------

即s.

名师点评：本题主要考查分析法证明以及类比推理的应用，属于简单题.分析法证明等

式的主要事项：用分析法证明等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的

过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，

因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.

19、答案假设—=噎，则f+2x-lw0容易看出一1一行<_L,

,2

119

下面证明—1+正:要证：一1+女〈工，只需证：、用v3,只需证：2<-

2224

上式显然成立,故有—1+走.综上，x=—l土痣<4.

22

而这与已知条件x>-相矛盾，因此假设不成立,也即原命题成立.

2

20、答案当n=l时，sinx+cosx=-1；

当n=2时，有sin2x+cos2x=1；

当n=3时，有sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x+cos2x—sinxcosx),

而sinx+cosx=­1,/.1+2sinxcosx=l,