2021届人教a版（理科数学）平面向量单元测试

专题11平面向量

1.已知非零向量a,b满足|。|=2防|,且(a—b)_L3,则a与占的夹角为

71兀

A.—B.—

63

-2兀5兀

C・—D.—

36

答案B

，八,,ab\b\11

因为(a-b)J_〃，所以(a-b)-b=a-b-b2=o,所以所以cos6=।।⑺=〜小2=G，所

1alM2sl2

7T

以。与b的夹角为故选B.

名师点评对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的

余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,汨.

2.己知通=(2,3),AC=(3>力，BC=h则A夙=

A.-3B.-2

C.2D.3

答案c

由BC=XC-AB=(l,Z-3),宙="+(53)2=],得r=3,则比=(],o),

AB.BC=(2,3).(1,0)=2xl+3x0=2.故选C.

名师点评本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.

3.设点A,B,C不共线，则“而与恁的夹角为锐角”是通+/|>|百心的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

而与正的夹角为锐角，所以I而5+1/『+2福•恁>|荏『一2福•衣，即

IAB+XCI2>|IC-XBI2,因为入C—A月=BC，所以I通+AE>I^I；

当I而+/1>1豆d咸立时，I通+无。2>1通-A。2nA炉衣>0,又因为点A,B,C不共线，所以

AB与AC的夹角为锐角.故“而与彳心的夹角为锐角”是“IAB+AC1>1BC「'的充分必要条件，故选C.

名师点评本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思

想.

4.在八45。中，AO为边上的中线，E为的中点，则丽=

3一1—•1一3一

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

答案A

根据向量的运算法则，可得屁=,丽+，丽=，丽+!而=,丽+，（丽+恁）

2224124

1—.1―.1—►3—►1―•—•3—►1—►

^-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,所以EB=—AB——AC.

2444444

故选A.

A

名师点评该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角

形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

5.已知向量b满足1。1=1,ab=-\,则e（2a-6）=

A.4B.3

C.2D.0

答案B

因为a-（2a—b）=2fl2—aZ=2|a『一（一1）=2+1=3,所以选B.

名师点评已知非零向量a=（X］，X）,6=（々,%）：

几何表示坐标表示

模|a|=yjaa同=":+城

中+产

夹角cos0=二P]cos”/2

叶网收+y；・收+%2

6.()已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为g,向量6满足力?-4e•b+3=0,

则la-臼的最小值是

A.也-IB.G+1

C.2D.2-73

答案A

设a=(x,y),e=(1,0)力=则由(a,e)=g得a•e=|a|•|e|cosg,x=^x2+y2,：.y=±岳，

由b~4e-b+3=0得/+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|af|的最小值为圆心(2,0)到直线

y=±的距离—=G减去半径1,为G-1.选A.

2

名师点评本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算

求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.

7.如图，在平面四边形A8CO中，A5J_6C,AOJ_C0,N6Ar)=12(y,AB=A£>=1,若点E为边CO上

的动点，则醺•屁的最小值为

213

A.—B.

162

25

C.—D.3

16

答案A

连接A。,取中点为O,可知为等腰三角形，而AB_L8CAD_LCD，所以/\RCD为等边三

角形，BD=y[3

设诙=衣(0〈臼)

AEBE=（而+喝•（而+码=通•丽+诙•（而+彷）+诙2=^+BDDE+DE2

3a

=3r2-1z+j（0<r<l）

121

所以当t=上时，上式取最大值上，故选A.

416

名师点评本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底

表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.

8.设a,8均为单位向量，则“|。-3”|%+.”是“江〃，的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

|a-3.=|3a+Z>|=|3a+A|2<^>a2-6ab+9b2=9a2+6a-b+b2'因为"均为单位问

量，所以。2_8]+9b2=9『+6«/+/oa力=0=a",即"|"39=|%+同，，是“江加，的充分

必要条件.故选C.

名师点评充分、必要条件的三种判断方法.

1.定义法：直接判断“若p则4”、"若q则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“pnq”为真，则p

是q的充分条件.

2.等价法：利用pnq与非“今非.，g=p与非p=>非q,p=q与非q=非p的等价关系，对于条

件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

3.集合法：若AU3,则A是8的充分条件或3是A的必要条件；若A=B,则A是8的充要条件.

9.2020年高考全国IH理数在矩形ABC。中，AB=\,AD=2,动点P在以点C为圆心且与8。相切的圆上.

若丽=4而+〃亚，则4+〃的最大值为

A.3B.2&

C.V5D.2

答案A

如图所示，建立平面直角坐标系.

设4（0,1）,3（0,0）,。（2,0）,。（2,1）,尸（工,丁）,

20c4

易得圆的半径r-即圆C的方程是（1-2）一+y2三,

Q=（x,y—1）,砺=（0,—1）,而=（2,0）,若满足丽=4而+〃4万,

*—2〃x1*二匚i、i1x

=1

则4，〃=一,A1-y>用T以/+//=—y+1,

y-1=一丸22

设2=鼻一＞+1,即3—〉+1—2=0,点P（x,y）在圆（x-2『+y2=］上,

r|2-zl2

所以圆心（2,0）到直线±—y+l-z=0的距离d〈人即,解得l〈zW3,

22，跖石

4

所以z的最大值是3,即之+〃的最大值是3,故选A.

名师点评（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或

数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

的形式，再通过向量的运算来解决.

10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则丽•（丽+定）的最小值是

一3

A.-2B.

2

4

C.--D.—1

3

答案B

如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线ZM为y轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系，

则A(o,6),8(—1,0),C(l,0),设。(x,y),所以丽=(一-y),PB=(-l-x,-y),

PC=(l-x,-y),所以~PB+~PC={-2x,-2y),

PA-(PB+PC)=2x2-2xV3-y)=2x2+2(y-^)2-|>-|,当P(0,go时，所求的最小值

3

为-巳，故选B.

2

名师点评平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形

的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程

有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

11.设孙〃为非零向量，则“存在负数4,使得机=”是“/〃•〃<0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

若三4<0，使机=4”，则两向量/%，"反向，夹角是180°,那么m-〃=|〃M〃|cosl80°=

一网网<0；若机.〃<0,那么两向量的夹角为(90。,180。］,并不一定反向，即不一定存在负数4,

使得m=之〃，所以是充分而不必要条件，故选A.

名师点评名师点评判断充分必要条件的的方法：(1)根据定义，若p=q,q在>p,那么p是4的充

分不必要条件，同时(7是〃的必要不充分条件；若p=q,那么p,q互为充要条件；若

p^>q,q^>p,那么就是既不充分也不必要条件.(2)当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系,

已知〃：工£A,

若AuB,那么〃是17的充分不必要条件，同时夕是p的必要不充分条件；若A=3,那么

*

p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.(3)命题的等价性，根据互

为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为r是「P条件的判断.

12.2020年高考全国IH理数已知a"为单位向量，且“仍=0,若c=2a-园，则cos(a,c)=.

答案2;

3

因为c=2a—y/5b，ab=0，

所以a・c=2/-旧ab=2、

|c|2=4|a『—4耳山+5|力|2=9,所以|c|=3,

ac22

所以cos(a,c)=丽=面=1

名师点评本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化

思想得出答案.

13.在四边形ABCD中，AO〃5C,AB=2底AO=5,N4=30。，点E在线段CB的延长线上，

且=则丽•屈=.

答案一1

建立如图所示的直角坐标系，NZMB=30°,AB=2®A。=5,则以2月,0),.

22

因为AD〃8C,440=30。，所以NABE=30°，

因为AE=BE，所以44E=30。，

所以直线BE的斜率为走，其方程为y=3(x-2G)，

所以E（、n,-1）.

所以8万•通=(乎,g)•(6,7)=7.

名师点评平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法

更为方便.

14.如图，在小钻。中，。是8c的中点,E在边AB上,BE=2E4,AO与CE交于点。.若福・恁=6亚.成,

则——的值是.

AC

答案J5.

如图，过点D作DF//CE,交AB于点尸，由8E=2E4,。为8c的中点，知BF=FE=EAAO=OD.

6AO.EC=3AZ5.(AC-A£)=|(A5+AC)^AC-AE),

3，2---------1-------2-----2、-------1----23----2----------

--ABMC——AB+AC=AB»AC——AB+-AC=AB»AC,

2133)22

得;4有即|福|恁故笔=6

名师点评本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采

取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

15.己知正方形A8C。的边长为1,当每个儿々=1,2,3,4,5,6）取遍±1时,

|/l1AB+A,5C+2,Cb+/!4ZM+/!5AC+/!b^£>|的最小值是；最大值是

答案0；2石.

以分别为x轴、），轴建立平面直角坐标系，如图.

>'A

0(0,1)-----------------C(L1)

4(0。3(1,0)x

则AB=(1,O),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),

令

y=AB+AjBC+A,CD+4DA+AC+BD^—-4+4-4)一+(尢4+4+4)——

0.

又因为4G=1,2,3,4,5,6)可取遍±1,

所以当4=4，=丸4=4=46=1，4=—1时，有最小值Vmin=0・

因为(4一4+4)和(4—4+4)的取值不相关，4=1或4=t，

所以当(4—4+4)和(4—4+4)分别取得最大值时，y有最大值，

所以当4=&=4=4=1，4=4=t时，有最大值为”==而=2后

故答案为0；2石.

名师点评对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不

等式的综合题.

16.2020年高考全国HI理数已知向量。=(1,2),6=(2,-2),c=(l,z).若，〃(2。+6),则4=.

答案,

2

由题可得2a+5=(4,2),•.•c〃(2a+〃)，c=(l,2),二44-2=0，即;1=；,故答案为;.

名师点评本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量

共线的坐标关系计算即可.

17.2020年高考上海在平面直角坐标系中，已知点A(—1,0)、8(2,0),E、尸是y轴上的两个动点，且

|前1=2,则乐•丽的最小值为.

答案-3

根据题意，设E(0,a),F(0,b)；

.•.府卜,-4=2；

a=b+2f或b=a+2；

且荏=(⑷,旃=(-2⑼；

:.AE-BF=-2+ab；

当4=3+2时，AE-BF=-2+{b+2)-b=b2+2b-2；

b2+2b-2的最小值为-----=-3：

4

...荏•丽的最小值为-3,同理求出公"2时，亚•砺的最小值为-3.

故答案为：-3.

名师点评考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运

算，二次函数求最值的公式.

18.在平面直角坐标系xOy中，A为直线/:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0),以AB为直径的圆C

与直线/交于另一点。.若福•前=0,则点A的横坐标为.

答案3

设A(a,2。)(a>0),则山圆心C为AB中点得C,a)易得

℃:(x-5)(x-a)+y(y-勿)=0,与y=2x联立解得点D的横坐标%=1,所以0(1,2).所以

TB=(5-a,-2a),Cb=[\-^^,2-a^,

由/1月.前=0得(5_4)11_^1^)+(_24)(2_4)=0,42_24_3=0,4=3或0=_1,

因为a>0,所以a=3.

名师点评以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相

结合的•类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这

类问题的一般方法.

19.已知向量a,b的夹角为60。，|a|=2,1|=1,则|a+2)|=.

答案2百

方法r|a+2Z>|2=|a|2+4a&+4|6|2=4+4x2xlxcos601+4=12,

所以|。+2》|=71^=2百.

方法二：利用如下图形，可以判断出a+2)的模长是以2为功长，一夹角为60。的菱形的对角线的长度,

则为25

名师点评平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知

识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类

问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

20.如图，在同一个平面内，向量方，OB'。心的模分别为1,1,6,与。心的夹角为a，且tana=7,

。月与。6的夹角为45。.若06=机刀+〃0月（见〃61^）,则"?+〃=

答案3

由tana=7可得sina=7夜

cosa=-1根据向量的分解,

1010

V2A/2B

---n-\----m=72

〃cos45°+〃2cosa=后2105n+m=1057

易得q.即〈即《即得加=

«sin45°-msincK=0夜7夜c5n—7/n=044

---n------m-()

I210

所以+〃=3.

名师点评（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合

提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问

题.通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法.

（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉

的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

21.2020年高考天津理在△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若丽=2反，AE^AAC-

eR),且通.通=—4，则几的值为.

3

答案1T

由题可得A从4。=3><2><«)560。=3,,方=-4*+—43,

33

—•―-1——2—■—•——22123

则AZ)-AE=(—A8+—AC)(XAC-AB)=—x3+——x4x9—x3=-4nX=—.