2021届人教a版（文科数学） 空间向量与立体几何 单元测试

2021届人教A版(文科数学)空间向量与立体几何单元测试

1、已知丽=(一1,2,0),而=(x,—2,3),若而，而，则》=()

A.1B.4C.-1D.-4

2、点P(1,3,-5)关于原点的对称点的坐标是()

(A)(-1,-3,-5)

(B)(-1,-3,5)

(C)(5,-3,-1)

(D)(-3,1,5)

3、在空间直角坐标系中，点AHU,。)，B(l,3,2),则|AB|=()

A.3B.4C.5D.6

4、已知A(—1,2,1),8(1,3,4),则()

A.福=(-1,2,1)B.丽=(1,3,4)

C.丽=(2,1,3).DAB=(-2,-1,-3)

5、

几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面棱A1B1,B1C1

a

AP=-

的中点，P是上底面棱AD上的一点，3,过p、M、N三点的平面交上底面于PQ,

Q在CD上，则PQ等于()。

"a2&a也aa

A.2B.3C.3D.2

6、如图，在三棱柱ABJAIBIG中,AA]1底面AiBiQ,/ACB=90。，BC=CCi=1

AC=3而，P为叫上的动点，则CP+PAi的最小值为()

A.2出B.1+3"C.5D.1+2也

7、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中,

利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(T,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点

法式)方程为：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法，在空

间直角坐标系中，经过点AQ23）,且法向量为m=（-1,-2,1）的平面的方程为（）

A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0

C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0

8、已知寸二（2，-3,1）,〃=（4,一6,幻，若&上B,则x等于（）

A.-26B.TOC.2D.10

=(-1,-1,1)=(-1,COS<-->:

9、设向量a，b0,1),贝!ja,b)

A.2B.2C.2D.3

10、如图，F是正方体ABCD-A1B1JD1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若DJDE,

1

A.B】E=EBB.B】E=2EBcB】E=严D.E与B重合

11、已知国=(2x,l,3),6=(l,-2y,9),如果日与日为共线向量，则()

111313

x=-y=—x=—,y=-x=-y=—

A.x=l,y=lB.22C.62D.62

12、在四面体ABC。中，旦G分别是的中点，若才不=乂而+y而+z*,

则x+y+z=()

A.-B.—C.1D.2

32

13、已知点0为坐标原点，点A在x轴上，正aOAB的面积为E，其斜二测画法的

直观图为△（）'A'B',则点B'到边O'A'的距离为

14、如图，已知两个正四棱锥尸一A8CD与Q—ABC。的高分别为2和4,

A8=4,E、/分别为PC、4Q的中点，则直线瓦•与平面PBQ所成角的正弦值为

15、如图，48两点都在以PC为直径的球。的表面上，AB1BC,AB=2,

BC=4,若球。的表面积为24兀，则异面直线PC与A6所成角的余弦值为

16、如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=6，ZADC=90°.沿直线

AC将4ACD翻折成aACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是

A

17、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

⑴求以m和后为邻边的平行四边形的面积；

(2)若|a|=亚且a分别与血，AC垂直,求向量a的坐标.

18、已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若品IIAC,DCIIAB,求点D的坐标；

(2)问是否存在实数a,B,使得AC=aA协BBC成立?若存在，求出a,P的值;若不

存在，说明理由.

19、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简4人~EF+DF+AB+CC],并在图中标出

化简结果的向量.

FiEx

4

20、如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E是CC的中点,AC与BD相交于0.

(DAQ与平面BDE是否垂直？说明理由.

(2)求二面角A-BE-D的余弦值.

21、设q=2i-/+A,a2=i+3j-Ik,a,=-2i+j-3k,%=3i+2/+5«,试问是否存在

实数为〃，i/,使%=妈+〃生+”成立？如果存在，求出入〃，0如果不存在，请

写出证明.

22、如图，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,现将AADC沿A隔折成直二

面角P-AC-B.

(I)证明：CB1PA；

1

(II)若异面直线PC与AB所成角的余弦值为4,求二面角B-PA-C余弦值的大小.

参考答案

1、答案D

2、答案B

3、答案A

由两点间距离公式，可直接求得AB]的值。

详解

根据空间两点间距离公式可得

|AB|=+(2-3)2+(0_2尸=3

所以选A

名师点评

本题考查了空间中两点间距离公式，属于基础题。

4、答案C

5、答案B

分析

由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD,QD的长度，用勾股定理在直角三角形

PDQ中求PQ的长度.

详解

：:平面ABCD〃平面AIBICDI,MN?平面AB1GD1

〃平面ABCD,又PQ=面PMNn平面ABCD,

；.MN〃PQ.

：M、N分别是AB、B£的中点

；.MN〃AC〃AC,

a

AP二一

，PQ〃AC,又3,ABCD-ABCD是棱长为a的正方体,

a2a

CQ=-DP=DQ=—

3，从而3,

地a

PQ=[DO2+DP2=(y)2+(y)2=

3

故选B.

名师点评

本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运

用定理进行证明.

6、答案C

易得A]C]1平面BCC]B],故/A]C]B=90°.将二面角%-8(：]兀沿氏]展开成平面图形，此

时人担的长度即CP*PAl的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.

详解

由题设知△”声为等腰直角三角形，又A1J1平面BCJB],故NA]C]B=90°,将二面角

A】-BJ-C沿BJ展开成平面图形，

得四边形A/1CB如图示，由此，CP+PA]要取得最小值，当且仅当C、P、A1三点共线，由

题设知/”6=135°,

由余弦定理得A。=(3^2)2+1-2x3屈xCOS135=25=A1C=5

名师点评

本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，

属于中档题.

7、答案A

今

类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P(x,y,z),则AP=(X-1,y

-2,z-3),利用平面法向量为n=(-1,-2,1),即可求得结论.

详解

类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P(x,y,z),则AP=(x-1,y

-2»z-3)

•.•平面法向量为门=(-1,-2,1),

二-(x-1)-2X(y-2)+1X(z-3)=0

x+2y-z-2=0,

故选：A.

名师点评

本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的

运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平

面方程的求解问题，属于中档题.

8、答案A

根据题意，由于3=(2,-3,1),B=(4,—6,X),且有a±b,则可知

a-b=0=2x4+(―3)x(—6)+lxx=0ox=—26故可知选A

考查目的：向量垂直

点评：主要是考查了向量垂直的坐标公式的运用，属于基础题.

9、答案D

|1+0+1|

cos(a,b)=

涧・亚选D

10、答案A

由题意，分别以DA,DC,D»为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求得。F，DE的坐标,

根据向量的数量积等于0,求得z=l,即可求解.

详解

由题意，分别以DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设正方形的边长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D,(0,0,2),

设E(2,2,z),DJ=(o,1,-2),DE=(2,2,z),

・•・D]FDE=0X2+1X2-2Z=0,...Z=I,；.B]E=EB,故选北

名师点评

本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标

系，利用向量的数量积求解z的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属

于基础题.

11、答案D

2x1313

—==—x=—,y=—

由题设可得1-2y9,解之得62,应选答案D。

12、答案C

如图所示，

—1---1---

连接AE,•••£、G分别是C。、8E的中点，,A£=—AC+—AO,

22

：.AG^-AB+-AE^-AB+-AC+-Ab,

22244

—.―.―,—.111

又AG=xA8+yA£)+zAC，，x+y+z=—HF—=1,故选C.

244

13、答案返

4

解：正△0AB的面积为边长为2,O'A'=2

>为O'A'的中点，B'>=义乏

2

所以点B'到边O'A'的距离：返cos45°=返

故答案为

本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面

图形和直观图形面积之比为2后.

14、答案,—

17

由题意得，ABCD是正方形，所以ACL8D,分别以直线CA,OB,QP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,2),Q(0,0,-4),C(-2&,(),0),A(2&,0,0),所以

£(-V2,0,l),F(V2,0,-2),所以丽=(20,0,—3),又AC_L平面P8Q,所以平面

PBQ的一个法向量为“=(1,0,0),所以直线所与平面PBQ所成角的正弦值为

.八EFn2>/34

四,=丽=尸

考查目的：直线与平面所成的角的求解.

方法点晴本题主要考查了直线与平面所成的角的正弦值的求解，其中解答中涉及到直线

与平面所成的角的计算、直线与平面垂直的判定，空间向量的应用等知识点的综合考查,

着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度,

属于中档试题，本题的解答中，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，

求解相应向量的坐标和平面法向量的坐标，转化为向量的运算是解答的关键.

15、答案逅

6

推导出="===PA1AC,AC=2卮PA=2,以5为原点，BC

为X轴，切为y轴，过8作平面ABC的垂线为Z轴，建立空间直角坐标系，由向量法

能求出异面直线PC与A8所成角的余弦值.

；AB两点都在以PC为直径的球°的表面上

.♦.4%/=24万，解得：r=娓

OP=0C=04=QB=逐且PAAC

又AB上BCAC=〃+16=2百,PA=,24-20=2

以8为原点，8C为x轴，区4为了轴，过8作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系

•/BCLAByBCA.PB平面BC1PA

又尸A_LAC.,.PA_L平面ABC

则尸（0,2,2）C（4,0,0）,A（0,2,0）,5（0,0,0）

.-.PC=（4,-2,-2）AB=（O,-2,O）

设异面直线产。与AB所成角为°

\PC-AB\4V6

msA-J______L-

M-M-V24x2-6

V6

二异面直线PC与A3所成角的余弦值为6

V6

本题正确结果：6

名师点评

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角、线线关系的判定定理

等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

16、答案半

设直线AC与8。'所成角为6.

设。是AC中点，由已知得AC=木，如图，以为x轴，为y轴，过O与平面

ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A（0,乎,0）,8（呼,0,0）,

C（0,--,0）,作于〃，翻折过程中，O'”始终与AC垂直，

2

小害喘=2则。"T，DH*岑,因此可设

。（画cosa,-也叵sina）,则歌=（画COS”叵,-也叵sina）,与

6366236

UU1

CA平行的单位向量为〃=（0,1,0）,

显

3

,所以cosa=l时，cos。取最大

v9-5cos(z

考查目的：异面直线所成角.

17、答案⑴7&⑵a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角

关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设；=(x,y,z),由向量垂直则数量积为

0,待定系数法求得向量「坐标。

详解

(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AG=(i,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以＜^＜能位＞=1京11后1后xd2

£

于是sin＜^B,AC＞=2.

故以M和后为邻边的平行四边形的面积为

S二|ABAC|sin<AB,AC>=i4X2=7a

,222c

x+y+z=3Z

-2x-y+3z=0,

(2)设a=(x,y,z),由题意得x-3y+2z=0,

(X=1,X=-1,

>=1,或y=-1,

解得|z=lz=-1.

故a=(l,1,1)或a=(T,T,T).

名师点评

t->a•b->-»

COS<a,b>=-------—<a,b>6[0,n]

求平面向量夹角公式：⑶四，若2=风$21)力=仅2，丫222),则

cos<ab>=।~,<a,b>€[0,n]

z222222

jx1+y1+z1-Jx2+y2+z2

18、答案(1)D(-l,l,2)；(2)a=p=l

试题分析：(1)设D(x,y,z),由向量平行的坐标运算可求得D点坐标。(2)假设存在,

由待定系数法求解。

详解

⑴设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),亚=(T,0,2),DC=(-x,-y,2-Z)/B=(T,1,0).

因为而II曲，曲IIAB；

((-x,l-y,-z)=m(-l,0,2),

所以i(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=i,

解得Iz=2.即D(-1,1,2).

(2)依题意寇(T,1,0),立=(T,0,2),BC=(O,-1,2).

假设存在实数a,6,使得金=aAB+BB%成立,则有

(-1,0,2)=a(-1,1,0)+B(0,7,2)=(-a,a-8,2B),

/a=1,

a-p=0,__.

所以|2p=2,故存在

名师点评

已知a=仅1必21)力=仅2，丫24),若则，入，(Bw6),仅1%送1)=人仅八处),所以

X[=\x2,y1=Xy2,z1=Xz2

19、答案:：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.

详解

A』[-EF+AB+CC]+DF=AF+FE+ED+DD]+DJ1=AF],在图中表示如下图所示。

ADx

名师点评

本题主要考查了向量加法、减法的运算法则，及相反向量，属于中档题.

20、答案如图所示建立空间直角坐标系.则

D(0,0,0),0(1,1,0),B(2,2,0),E(0,2,1),A>(2,0,2).

于是丽=(1-1,2),踵=(0,2-2),~BE=(-2,0,1),~BD=(-2-2,0).

(1)设n,=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则

ni•B£)=-2x-2y=0,ni•BE=-2x+z=0,

1-----*

.,.X=-y,x=-z.^Lz=2,则X=1,y=—1,即有m=(1,—1,2),它与向量A0相等,

故AQJ_平面BDE.

⑵设n2=(x,y,z)是平面ABE的一个法向量，有

■--*1

n2•A,B=2y-2z=0,n2•BE=-2x+z=0,，y=z,x=—z.

取z=2,贝I」x=1,y二2,即有皿二。,2,2).法向量m和n2所成的角。满足

n%•小1-2+43V6

I%I,I%IJl+1+4,Jl+4+4V6,36

二面角A-BE-D的余弦值为逅

6

21、答案假设以小明』行邮1卿Y成立.

T-//乙之-4—・

2A+〃—2Vz=3,兄=—Z

•，一％+3〃+”=2,解得,〃=1,

2-2//-3v=5,v=-3.

所以存在4=—2〃=Lu=—3使得％=—%|+4—为3,

理由即为解答过程.

22、答案（I）详见（II）5

试题分析：（I）证明CBJ•平面PAC,结合直线与平面垂直性质，即可。（H）建立坐标系,

用a分别表示