三角形与全等三角形-2022年中考数学题源解密(解析版)

专题12三角形与全等三角形

考向1三角形是基础知识

福题呈现

【母题来源】(2021•浙江温州)

【母题题文】如图，BE是△ABC的角平分线，在A8上取点Q,使DB=DE.

(1)求证：DE//BC-,

(2)若/A=65°,/AED=45°,求NEBC的度数.

【分析】(1)根据角平分线的定义可得NC8E=NE8C,从而求出NOE8=NEBC,再利用内错角相等,

两直线平行证明即可；

(2)由(1)中。E〃BC可得到NC=/AEO=45°,再根据三角形的内角和等于180°求出NA8C,最

后用角平分线求出即可得解.

【解答】解：(1)是△ABC的角平分线，

ZDBE=NEBC,

,:DB=DE,

:"DEB=NDBE,

：.NDEB=NEBC,

：.DE//BC；

(2)DE//BC,

/.ZC=ZAED=45°,

在△ABC中，/A+/A8C+/C=180°,

...NA8C=180°-ZA-ZC=180--65°-45°=70°.

,:BE是AABC的角平分线，

•••/DBE=NEBC瑟NABC=35°.

阍题解密

【试题分析】这题考察了三角形的角平分线的应用；

【命题意图】通过对角平分线与其他考点的结合考察，了解学生对基础数学模型的掌握程度；

【命题方向】三角形的基础知识是初中数学学习儿何的基础，后续的四边形以及相似等都需要依托三角形

的基础知识来展开学习；但是因为中考数学容量比较大，所以单独出三角形基础知识的中考题并不多，大

多在一些几何的大题中去综合考察。所以，考生在复习这个点的时候，不是要做多少这个考点的单独的习

题，而是要完全掌握这个考点对应的考点，并会根据题目中给出的已知条件的特征，准确的选择对应的性

质去在综合题中应用。

【得分要点】

-.三角形的“角”

1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

2.三角形外角的推论：三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和

二.三角形的“边"

1.定理：三角形任何两边的和大于第三边

2.推论：两边之差<第三边<两边之和

☆：在应用时，求三角形边的取值范围，直接用“推论”；

判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即

可！

3.三角形的分类：

锐角三角形（三个内角都是锐角）

按角分类直角三角形（有一个内角是直角）

钝角三角形（有一个内角是钝角）

非等边三角形（三边均不相等）

按边分类等腰三角形普通等腰三角形（有两边长相等）

等边三角形（三边长均相等）

三.三角形的“线”

考向2全等三角形的性质与判定

福题呈观

【母题来源】(2021•浙江衢州)

【母题题文】如图，在6X6的网格中，△A8C的三个顶点都在格点上.

(1)在图1中画出△ACD,使△AC。与△ACB全等，顶点。在格点上.

(2)在图2中过点3画出平分△ABC面积的直线/.

(2)取线段AC与网格线的交点T,作直线BT即可.

【解答】解：(1)如图1中，△4OC即为所求.

（2）如图2中，直线3T即为所求.

【母题来源】（2021•浙江杭州）

【母题题文】在①®ZABE=ZACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问

题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△ABC中，NABC=NAC8,点。在AB边上（不与点4,点B重合），点E在4c边

上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CD相交于点凡若,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】若选择条件①，利用NA8C=NACB得到A8=AC,则可根据“SAS”可判断△ABEg△ACQ,

从而得到BE=CD；

选择条件②，利用NA8C=/4C8得到AB=AC,则可根据“ASA”可判断△ABE丝△48,从而得到

BE=CD；

选择条件③，利用ZABC=ZACB得到AB=AC,再证明NABE=ZACD,则可根据“ASA”可判断△ABE

丝△AC£>,从而得到8E=CZX

【解答】证明：选择条件①的证明为：

NABC=ZACH,

：.AB=AC,

在△ABE和△ACD中,

'AB=AC

<ZA=ZA>

AE=AD

O(SAS),

：.BE=CD；

选择条件②的证明为：

ZABC^ZACB,

：.AB^AC,

在△A8E和△AC。中，

"ZABE=ZACD

<AB=AC，

,ZA=ZA

.♦.△ABE-O(ASA),

：.BE=CD；

选择条件③的证明为：

,：ZABC^ZACB,

：.AB^AC,

,:FB=FC,

.,.ZFBC^ZFCB,

：.AABC-/FBC=NACB-ZFCB,

即/ABE=ZACD,

在△ABE和△AC。中，

rZABE=ZACD

-AB=AC，

ZA=ZA

/./XABE^/XACD(ASA),

：.BE=CD.

故答案为①AO=AE(②/ABE=NACO或③FB=FC)

【母题来源】(2021•浙江台州)

【母题题文】如图，在四边形ABC。中，AB=AZ)=20,BC=DC=10\[^.

(1)求证：ZiABC之△AQC；

(2)当N8C4=45°时，求/8AO的度数.

B

【分析】（1）根据已知条件利于SSS即可求证△48C-zMOC：

（2）过点B作4c于点E,根据已知条件利于锐角三角函数求出BE的长，再根据边的关

系即可推出/BAC的度数，从而求出/BAO的度数.

【解答】解：（1）证明：在△A8C和△AOC中，

，AB=AD

<BC=DC，

,AC=AC

：.^ABC^/\ADC（SSS）；

（2）过点B作BELAC于点E,如图所示，

.•.BE=10,

又；在RtZVlBE中,AB=20,BE=1。,

.•./8AE=3()°,

XVZVIBC丝△ACC,

：.ZBAD^ZBAE+ZDAC=2ZBAE^2X30Q=60°.

阀题解密

【试题分析】以上题目均考察了全等三角形的判定与性质；

【命题意图】全等三角形的判定和性质是初中数学融入到几何问题中的较为重要的一个知识点，主要是为

了考察学生对全等的概念以及性质判定的应用熟悉度；

【命题方向】浙江中考数学中，全等三角形的单独考题并不多见，通常都是结合四边形、相似、圆等常见

几何图形一起考察，虽然单独考题占比不大，但是后续考题中都可以出现它的身影，作为中间处理手段，

整体考察度还是很大的，这就要求考生需要对这个知识点很熟悉，当题目中出现一些特征，立刻往这个方

向应用。

【得分要点】

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等

推论：全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对

应角的角平分线相等

二全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS

直角三角形全等的判定方法：HL

☆证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。

☆有关三角形全等问题应用的三个方向：

①证边相等就证它们所在的三角形全等；

②证角相等就证它们所在的三角形全等；

③全等三角形可以提供相等线段、相等角

三.全等三角形的常见模型：

由

/L

句

友

施

列

△

全

代

根

也

1.（2021•浙江模拟）已知三角形三边长分别为2,3,x,若x为奇数，则x的值为（）

A.1B.3C.5D.7

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案.

【解答】解：；三角形三边长分别为2,3,x,x为奇数，

Al<x<5,则x=3.

故选：B.

2.（2021•婺城区校级模拟）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.4,4,8C.5,6,10D.6,7,14

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析.

【解答】解：4、3+4<8,不能构成三角形；

8、4+4=8,不能构成三角形；

C、5+6>10,能够组成三角形：

。、7+6<14,不能组成三角形.

故选：C.

3.（2021•诸暨市模拟）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己

谈谈对三角形相关知识的理解.

小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3.”

小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半.”

对以上两位同学的说法，你认为（）

A.两人都不正确B.小慧正确，小峰不正确

C.小峰正确，小慧不正确D.两人都正确

【分析】要判断是否存在这样的三角形，可以利用反证法，从各自的已知条件入手进行推理，看能否推

出矛盾，得出矛盾的说明不存在这样的一角形，不出现矛盾的说明存在这样的三角形.

【解答】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是I：2：3,根据等积法，得到此三角形三边比

为6：3：2,这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；

假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等,

可得到三角形中中线的2倍不小于其它两边和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三

角形不存在.

故两人都不正确.

故选：A.

4.（2021•永嘉县校级模拟）如图，在给定的aABC中，动点。从点3出发沿8c方向向终点C运动，DE

〃4C交AB于点E,。尸〃A8交AC于点尸，。是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小

B.一直增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，。的轨迹是△A8C的中位线，到BC的距离相

等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积的不变.

【解答】'JDE//AC,DF//AB,

四边形AEDF是平行四边形,

是EF的中点,

，。也是AO的中点,

,在整个运动过程中，。的轨迹是△48C的中位线,

根据同底等高的三角形面积相等可知：在整个运动过程中，△08C的面积不变,

故选：A.

5.（2021•西湖区校级二模）如图，在△A8C中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点Q,以点C为

圆心，AC为半径画弧交3c于点£连接AE,AD.设NE4D=a,NAC5=0,则N3的度数为（）

C.a+号

D.3a-p

用P的代数式表示NAEC.在三角形AEO中，用a和0的代数式

表示NADE,最后在等腰三角形48。中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可表示出

的度数.

【解答】解：由题意得：BA=BD,CA^CE,

YCA=CE,ZACB=p,

•，-ZAEC=ZEAC=18°-^=90°9B，

在△△£'/)中，ZADE=180°-ZAED-ZEAD

=180。-a-(90°

=90。+lp-a，

■;BA=BD,

•■•ZADE=ZBAD=90°,B-a，

在△BAO中,

ZB=180°-2(90°,6-a)

=2a-p.

故选：B.

6.（2021•宁波模拟）在AABC和△481。中，已知AC=4Ci=2,BC=4,8iCi=3,ZC=120°,Z

Ci=60°,点O,£>i分别在边AB,4Bi上，且△4CO乡△CiAi。，那么AO的长是.

【分析】由题意可将将△Ci4£h与△ACO重合，从而有8c〃BiCi,得出A£）=擀AB，只要求出48的

长，根据AC=2,BC=4,ZACB=120°解△ABC即可.

【解答】解：•.,△ACQ丝可以将△C14C1与△AC。重合，如图，

•.•/AC8=120°,乙41cl81=60°,

，3C//B1C1,

•ADB1C1_3

••-----——,

BDBC4

作A”_LBC,交BC延长线于，，

VZACS=120",

/.ZACH=60°,

在RtZXAC”中，CH=\,4〃=2Xsin60°=«,

在中，由勾股定理得：

福刃52+(百产=2"，

AD^yAB^yX2^7^yV?,

故答案为：4Q.

7.(2021•吴兴区一模)已知：如图，点£>,E分别在AC,A8上，AB^AC,添加一个条件，不能判定4

的是()

AD=AEC.NB=NCD.ZADB=ZAEC

【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可得到结论.

【解答】解：已知条件中4B=AC,NA为公共角,

A.若添加8D=CE,已知两边及一边所对的角，则不能证明△A8O丝△4CE,故A选项合题意.；

B.若添加AD=4E,可利用SAS定理可证明△48D学/VICE,故8选项不合题意；

C.若添加NB=NC,可利用ASA定理可证明△A8O丝△4(?£,故C选项不合题意；

D.若添加/ADB=NAEC,可利用A4S定理可证明△ABD-△ACE,故。选项不合题意；

故选：A.

8.（2021•普陀区二模）已知在△ABC和△/!'B'C'中，AB=4'B',AC=A'C,下列条件中，不

一定能得到△4BC会B'C的是（）

A.BC=B'C'B.ZA=ZA'C.ZC=ZC;D.NB=NB'=90°

【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理.

【解答】解：A、由A8=A'B',AC=A'C,BC=B'C可以判定8cgB'C(SSS),

不符合题意.

8、由AB=A'B1,AC=-A'C',NA=NA'可以判定△48C丝△4'B'C'(SAS'),不符合题意.

C、由AB=A'B',AC=A'C,NC=/C'不可以判定△ABC丝AA'B'C(SSA),符合题意.

D,由AB=A'B',4C=A'C,NB=/B'=90”可以判定RtZ\4BCgRtZ\A'B'C(HL),不

符合题意.

故选：C.

9.(2021•乐清市一模)如图，四边形ABCQ中，A8=AC=A£>,AC平分NBA。，E是对角线AC上一点，

连接BE,DE.

(1)求证：BE=DE.

(2)当BE〃CD，N8AO=78°时，求/BED的度数.

【分析】(1)由角平分线的性质得NBAE=/D4E,由SAS证得△8AE丝△D4E,即可得出结论；

(2)由△8AE丝△〃£；,得出/8EA=/OE4,推出/8EC=/OEC,易求/BAC=

2

=39°,由等腰三角形与三角形内角和定理求出/ACO=/AOC=70.5°,由平行线的定义得出/8EC

=/ACD=70.5°,即可得出结果.

【解答】(1)证明：・••AC平分N8AQ,

NBAE=ZDAE,

在△8AE和中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAE-

AE=AE

：.^BAE^/\DAE(SAS),

:.BE=DE；

(2)解：由(I)得：^BAE^/^DAE,

:.NBEA=NDEA,

：.ZBEC=ZDEC,

：AC平分/BAO,NBAD=18°,

ZBAC=ZDAC=—ZBAD=—X78°=39°,

22

；AC=AO,

/.ZACD=ZADC=AX(180°-39°)=70.5°,

2

'：BE//CD,

:.NBEC=NACD=70.5°,

:.NBEC=NDEC=705°,

AZB£D=2X70.5°=141°

10.(2021•越秀区校级三模)已知，NABC=NDCB,/ACB=/DBC,求证：△ABC丝△DC8.

【分析】根据ASA证明△A8C出△OC8即可.

【解答】证明：在△ABC与△DC8中，

，ZABC=ZDCB

<BC=CB.

,ZACB=ZDBC

:./XABgXDCB(ASA).

11.(2021•下城区校级四模)如图，在边长为4的正方形A8CD中，E为CD中点，F为AO中点，AE与

B尸交于点G.

(1)求证：△ABF也△〃£■；

(2)连结BE,记BE中点为H,求GH的长.

【分析】(1)由“SAS”可证△ABF出ZXD4E；

(2)由勾股定理可求BE的长，由全等三角形的性质可得/D4E=N48F,可证N8GE=90°,由直角

三角形的性质可求解.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD^CD^4,

为CO中点，尸为AO中点,

.•.4F=£)E=2,

在ZXAB尸和△OAE中，

，AB=AD

<ZBAF=ZADE-

AF=DE

(SAS)；

(2)解:"：BC=4,EC=2,

BE=dBC2KE2=.16+4=2'/^,

；/\ABF^/\DAE,

：.ZDAE=NABF,

•.•/D4E+/BAE=9(r^ZBAE+ZABF,

：.ZBGE=90°,

「点”是8E的中点，

；.GH=LE=“.

2

12.(2021•西湖区校级三模)如图，D,E为△GCF中GF边上两点，过。作AB〃CF交CE的延长线于

点A,AE—CE.

(1)求证：AADE^ACFE；

(2)若GB=4,BC=6,BD=2,求CF的长.

【分析】(1)先由AB〃CF得到NF=/AQE,ZA=ZECF,然后结合AE=CE得到△ADE/△CFE；

(2)由A2〃CF得至lJ△GBZ)s△GC/，然后由相似三角形的性质得到CF的长.

【解答】(1)证明：•；AB〃CF,

:.NF=NADE,ZA=ZECF,

在△4£)£:和△CFE中，

，ZADE=ZCFE

,NEAD=NECF，

AE=CE

：./\ADE^^CFE(AAS).

(2)解：'：AB//CF,

:.AGBDSAGCF,

••■G---B二BD，,

GCCF

VGB=4,BC=6,

：.GC=GB+BC=IO,

9：BD=2,

•・.4二2,

10CF

:.CF=5.

13.(2021•温州校级模拟)图AABC的两条高A。，BE相交于点F,AC=BC.

(1)求证：丝△2EC.

(2)若8=1,BE=2,求线段AC的长.

【分析】(1)由“44S”可证△ADC四△8EC；

(2)由全等三角形的性质可得8=CE=1,由勾股定理可求BC的长，即可求解.

【解答】(1)证明：'：AD±BC,BE1AC,

：.ZBEC=ZADC=9Qa,

二/C+ND4c=90°=ZC+ZCBE,

:.NDAC=NCBE,

在△AOC和△BEC中，

，ZADC=ZBEC

<ZDAC=ZEBC-

AC=BC

:.AADC注ABEC(AAS)；

(2)解：'：^ADC^/XBEC,

：.CD=CE=\,

BC=QBE?+EC2=Y1+4=巡，

:.AC=BC=4S-

14.(2021•温州模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,ADLBD,AE1.EC,垂足分别为点O,E,且/BAE

=NC4D

(1)求证：AABD^AACE；

(2)设BO,CE相交于点O,ZBOC=140°,求/O2C的度数