二元一次方程组 认识、解方程组（解析版）2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题06二元一次方程组—认识、解方程组

『思维导

L___",一]

一、二元一次方程

二元一次方程满足的三个条件：

(1)在方程中“元”是指未知数，“二元"就是指方程中有且只有两个未知数.

(2)”未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.

(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

二元一次方程的解：

⑴二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来,如：1u.

b=5-

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程.

二、二元一次方程组

3x+1=0

组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例4八厂也是二元一次方程组三、

=5

解二元一次方程组

形式：

x—a

(1)二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成《，

的形式.

2x+y-5

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组-,无解，

2x+y=6

x+y=—1

而方程组\.的解有无数个.

2x+2y=—2

消元：

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二

元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出

另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

代入：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个

未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的.

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解;

②若方程组中有未知数的系数为1(或T)的方程.则选择系数为1(或-1)的方程进行变形

较简便；

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1,选系数绝对值较小的方程变形比

较简便.

加减：

(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用

适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值,

并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解.

四、三元一次方程组

方法：

(1)观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；

(2)利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去

同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；

(3)解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值；

(4)将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，

从而得到原三元一次方程组得解。

五、方法拓展

1.二元一次方程取整

已知关于x的方程9x—3=kx+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值？

方法：1.先移项使(9—k)x=17；2.x和k都是整数，(9-k)是17的因数(分正负)；

3.即可求解。

2.二元一次方程组取整

方程组笨'3有正整数解,则正整数a的值为——

26

x=--

方法：1.解方程组《a+4;2.x和y为正整数，a+4为13的正因数；3.求解即可。

13

y=—~

a+4

3.二元一次方程的新定义

同以前的类型中的新定义

4.二元一次方程组中换元思想

用换元法解方程组:时，如果设，=a,--=b,那么原方程组可化为二元一次

L上=1%y+i

Xy+1

方程组—.

方法：1.把题中的二元一次方程组转化成；2.解出a和b的值，再代入求x和

y的值即可。

5.二元一次方程组中的误解

x=2"二：,试求

已知方程组甲正确地解得*,,而乙粗心地把C看错了，得

px-cy=1)=3y=o

出a,b,c的值.

方法：1.由甲的条件可代入得]0_马，C已求；2.由乙的条件得3a+6b=3,构造新的二

2a+3b=3+山L日n-r

元一次方程组Q,»求出ab即可。

3a+6b=3

6.二元一次方程组中代换思想

2x+5y=3⑴

善于思考的小明在解方程组《时，采用了一种“整体代换"的解法:

4x+lly=5⑵

方法：1.将方程⑵变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5⑶；2.把方程(1)代入⑶得:

2x3+y=5,求出x和y即可。

7.二元一次方程组中有、无、无数解

V=-1

若方程组■、无解，贝心值是（

方法：1.把第二个方程整理得到x=2+y；2.然后利用代入消元法消掉未知数x得到关干y

的一元一次方程；3.再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得.

8.二元一次方程组中相反解求参

若满足方程组-［：*+’=3〃7：3的工与3,互为相反数，则，〃的值为（）

\2x-y=

A.2B.-2C.11D.-11

方法一：直接用代入或加减消元求出x、y与m的关系式，构造关于m的一元一次方程

方法二：直接构造x+y或其倍数，一步到位，构造关于m的方程为0.

9.二元一次方程组中消元求参

若关于x,y的二元一次方程组的解满足2*+丫=3,求k的值.

方法：运用消元法求出x、y和k的关系式，代入后面的二元一次方程，构造关于k的一元

一次方程。

10.二元一次方程组中换组求参

fx—y=-1fx+2y=8

方程组;〈和方程组:”的解相同，贝!］必=____________

［ax-by=5\ax-¥by=\\

方法：1.由解相同整理得｛x-f-l；2.求出X和y的解，代入卜，求出a

,x+2y=8,ax+by=l1

和b即可。

【专题过关】

类型一、认识二元一次方程与它的解

【解惑】

（2023春•吉林长春•七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数

为（）

1X

①孙=1；②2x=3y；③x--=2.④/+丫=3；⑤：=3y-l；⑥x-y+z=O.

y4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答案.

【详解】解：①盯=1属于二元二次方程，故不符合题意；

②2x=3y符合二元一次方程的定义，故符合题意；

③x-'=2不属于整式方程，故不符合题意；

④f+y=3属于二元二次方程，故不符合题意；

⑤;=3y-l符合二元一次方程的定义，故符合题意；

⑥x-y+z=O属于三元一次方程，故不符合题意.

故选B.

【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一

次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程.

【融会贯通】

1.（2023春•七年级单元测试）下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A.5x-y=3zB.x2-y=3

C.x+—=3D.3y+x=l

y

【答案】D

【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未

知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程.

【详解】解：A、5x-y=3z,含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不

符合题意；

B、x2-y=3,次数不为1,不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

C、x+-=3,不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

y

D、3y+x=l,是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关

键.

2.（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元

一次方程3x+y=5的解为（）

|x=l(x=2\x=-1|x=0

A.<B.〈C.<D.〈

[y=o[y=—i[y=-2[y=-5

【答案】B

【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5,如果等于5就是方程的解，如果不

等于5,就不是方程的解.

=]{x—1

【详解】解：A.把一八代入得：3xl+0=3/5,即一八不是二元一次方程3x+y=5的

[y=o1>=0

解，故本选项不符合题意；

[x=2,、fx=2

B.把「=_]代入得：3x2+(-l)=5,即[=_]是二元一次方程3x+y=5的解’故本选项

符合题意；

C.把{c代入得：3x(—1)+(—2)=—5/5,即.不是二元一次方程3x+y=5的解，

)=-2[y=-2

故本选项不符合题意；

D.把二_5代入得：3x0+(—5)=—5/5,即[二_5不是二元一次方程3》+丫=5的解，故

本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数

的值是方程的解是解题的关键.

(x=3

3.(2023春・浙江•七年级期中)若c是关于x,)'的方程》+加)，=13的一个解，则，"的

[y=-2

值为.

【答案】-5

fx=3

【分析】把c代入方程x+g，=13求出〃?，即可.

[y=-2

【详解】解：把[=3代入方程》+%),=13,得：3-2〃z=13,

[y=-2

解得：m=-5；

故答案为：—5.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，属于基本题型，熟练掌握二元一次方程的解的概念

是解题的关键.

4.(2023秋•四川成都•八年级统考期末)若方程(m+l)x+3y'"=5是关于x,y的二元一次方

程，则”的值为.

【答案】I

【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为1,

然后进行求解即可.

【详解】解：根据题意得心=1且机+1H0,

解得m=\.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键.

x—a

~,是二元一

{y=t>

次方程2x-7y=8的一个解，则代数式17-46/+14ft的值是.

【答案】1

【分析】根据尸是二元一次方程2x-7y=8的一个解，得到〃-7匕=8,利用整体思想代

入代数式求值即可.

x=a

八是二元一次方程2x-7y=8的一个解，

{y=b

：.2a-lb=8,

：.17-4〃+14。=17-2（2。-7b）

=17-2x8

=17-16

=1;

故答案为：1.

【点睛】本题考查二元一次方程的解，代数式求值.熟练掌握二元一次方程的解是使等式成

立的未知数的值，利用整体思想代入求值，是解题的关键.

6.（2022春・广东佛山•七年级期中）把方程4x-y=3改写成用含y的式子表示x的形式是

【答案］

4

【分析】通过移项，化系数为1的步骤将方程改写成用含y的式子表示x的形式，即可求解.

【详解】解：4x-y=3,

4x=3+y,

..x•_3人+y,

4

故答案为：龙=0.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据等式的性质变形是解题的关键.

类型二、二元与三元一次方程组的计算

【解惑】

（湖南省娄底市2021-2022学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组:

y=2x-3

⑴

3x+2y=8

(2)3~4

4x+5y=32

x=2

【答案】⑴

y=l

x=3

(2)

y=4

【分析】（1）将y=2x-3代入3x+2y=8,然后将x的值代入y=2x-3,可求出>的值,

进一步即可确定二元一次方程组的解；

（2）由①得4x-3y=0@,根据加减消元法②-③得8y=32,求出y的值，代入③可求出

x的值，即可确定二元一次方程组的解.

【详解】（1）将y=2x-3代入3x+2y=8,

得3x+2（2x-3）=8,

解得x=2,

将x=2代入y=2x-3=l,

方程组的解为《x=2,；

*①

(2)

4x+5y=32②

由①得4x-3y=0③，

②一③得8)，=32,

解得y=4,

将y=4代入③，得4x-12=0,

解得x=3,

x=3

•••方程组的解

y=4

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元和代入消元法是解题的关键.

【融会贯通】

1.（2023春・全国•七年级专题练习）解下列二元一次方程组:

5x-2y=4

2x-y=\

3x+2y=10

[0.8x-0.9y=2

3)Aa•

[6x-3y=2.5

(x=2

【答案】⑴a

U=3

x=3

2)1

I2

5

x=——

【分析】（1）利用加减消元法进行计算即可；

（2）利用加减消元法进行计算即可；

（3）先利用去分母把方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可.

人5x-2y=4®

【详解】⑴解：.

2x-y=1（2）

由①-②x2可得：x=2,

把x=2代入②可得：y=3,

x=2

所以原方程组的解为：「

[y=3

（2）解:原方程组整理得：]产一冷：巴

[3x+2y=10②

由①+②可得：6x=18,解得：％=3,

把x=3代入①得：y=p

x=3

所以原方程组的解为：1.

y=-

0.8x-0.9y=2①

(3)解:

6x-3y=2.5②

①xlO得：8x-9y=2O③,

②x3得：18x-9y=7.5④,

③一④得：—10x=12.5,

解得：x=-|,

4

把x=_：代入①得：-l-0.9y=2

解得：y=-y.

故原方程组的解是J.

[y=—3

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.

2.（2023春,浙江•七年级期中）用适当的方法解下列方程组：

x-y=4

2x+y=5

2x-3y=3

x+2y=-2

3（x+y）-4（x-y）=6

⑷x-yi

-----------------=1

26

・小山、,\x=3

【答案】邮v

x=0

y=-i

y=5

[x=l

4）.

[y=l

【分析】（1）利用加减消元法求解即可;

（2）利用加减消元法求解即可；

（3）利用代入消元法求解即可；

（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可.

X—y=4①

【详解】⑴解：c.工，

2x+y=5②

①+②得：3x=9,

解得：x=3,代入①中，

解得：y=-i,

[x=3

一・所以原方程组的解为

[y=-l1；

⑵v-3y=3①

⑵1+2>=一2②，

②x2-①得：7y=-7,

解得：y=-i,代入②中，

解得：x=0,

所以原方程组的解为°,；

[y=-l

口一尸~4①

[©—5y=-23②‘

由①得：y=2x+4,代入②中，

得：4x-5（2x+4）=-23,

解得：x=g，

代入y=2x+4中，

解得：y=5,

V—1_

所以原方程组的解为一2；

）=5

f-x+7y=6®

（4）方程组整理得：②，

①+②得：9），=9,

解得：》=1,代入①中，

解得：X=\,

（x=i

・•.所以原方程组的解为《,.

[y=l

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法,

当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单.

3.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组:

2x-y=4,,

⑴3-1（代入消元）

x-ly+l_

------r-----_1

（2）23（加减消元）

5-x=3（y-3）

x=l

【答案】⑴

y=-2

x=-\

（2）

y=5

【分析】（1）利用代入消元法计算即可;

（2）利用加减消元法计算即可.

【详解】⑴解：[:一尸?

|3x+2y=-l②

由①可得：y=2x-4③，

把③代入②，可得：3x+2（2x-4）=-l,

解得：x=l,

把x=l代入③，可得：y=2xl-4=-2,

fX=1

.••原方程组的解为C；

[y=-2

X-Iy+l

------1-------1

（2）解：，23,

5-x=3（y-3）

,（3x+2y=7①

整理可得：a.“伪，

[x+3y=14②

把②x3得：3x+9y=42③，

由③-①，可得：7y=35,

解得：y=5,

把y=5代入②，可得：x+3x5=14,

解得：x=-l,

.[x=—1

.••原方程组的解为u-

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握加减消元法和代入消元法.

x+y-z=ll

4.（2023春・全国•七年级专题练习）解下列方程或方程组：卜+z-y=l.

y+z-x=5

x=6

【答案】）=8

z=3

【分析】方程组利用加减消元法求解即可.

x+y-z=\1®

【详解】解：,x+z-y=l②，

y+z-x=5③

①+②得：2x—12,

解得：x=6,

②+③得：2z=6,

解得：z=3,

①+③得：2y=16,

解得：y=8,

x=6

原方程组的解为，y=8.

z=3

【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元

法的应用.

[4x—3y—6z=0x

5.（2023春・全国•七年级专题练习）已知〈c，①八，则一=—.

[x+2y-7z=0y

【答案】|3

【分析】将z看成已知数，解二元一次方程组即可

4x—3y=6z①

【详解】解：方程组整理得：C.re，

x+2y=7z②

②x4-①得：lly=22z,即y=2z,

把y=2z代入②得：尤+4z=7z,即x=3z,

x3z3

则一=丁=彳.

y2z2

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，将Z看成已知数，转化为二元一次方程

组是解题的关键.

xty=2:3

6.（2023春・全国•七年级专题练习）解方程组：x：z=5:4.

x+y+z=33

x=10

【答案】1=15

2=8

【分析】根据X、＞、Z的关系，设x=10Z,则y=15Z,z=8k,然后代入x+y+z=33求

出％值即可解题.

【详解】解：设x=10k,

y=15k,z=8«,

将x=10A:,y=15&,z=8A代入x+y+z=33中得：l（M:+15Z+&t=33,

解得：k=l,

.".x=10,y=15,z=8,

x=10

原方程组的解为，y=i5.

z=8

【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解此题的关键是利用比的意义，设中间元解题代入

简化解题过程.

类型三、二元一次方程与方程组取整

【解惑】

（2023春•浙江•七年级期中）方程2x+y=5的非负整数解有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【答案】C

【分析】把x看作已知数求出力即可确定出非负整数解.

【详解】解：2x+y=5,

y=-2x+5,

...当x=0时，y=5;x=l时，y=3;x=2时，y=l,

x=0八fx=1（x=2

则方程的非负整数解为「或。或,

J=5[y=3[y=l

故选：C.

【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y.

【融会贯通】

1.（2023春•全国•七年级专题练习）方程3x+2y=8的正整数解有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【答案】A

R-a丫

【分析】先将方程化为，=宁，再根据x，y均为正整数进行分析即可得.

【详解】解：方程3x+2y=8可化为y=

.•.X,y均为正整数，

8-3x>0,且是2的倍数，

Q

.'.x<p且X为偶数，

则当x=2时，y=826=],

[x=2

即方程3x+2y=8的正整数解为.，，共有1组，

故选：A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键.

2.（2023春•江苏•七年级专题练习）二元一次方程2x+3y=11的正整数解有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【答案】B

【分析】把x看做已知数求出》即可确定出正整数解.

【详解】解：方程2x+3y=ll,

当x=l时，y=3；x=4时，y—1,

则方程的正整数解有2组，

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出卜

3.（2019春・福建福州•七年级福建省福州第十六中学校考期中）已知。为正整数，关于x、y

的方程组：的解都是整数，则/=（）

[2x-3y=2

A.1或16B.4或16C.1D.16

【答案】D

【分析】根据加减法，可得（a+2）x=6,根据。是正整数，x、y的值是整数，可得答案.

3+3y=4①

【详解】占-3丫=2②’

①+②得,

(a+2)x=6,

•・•。为正整数，%为整数，

x=2或。=4,x=l,

又••・丁是整数，

x=1

••。=4,

y=0，

a2=16.

故选：D.

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

f2x+my=12

4.(2019春•浙江杭州•七年级校联考期中)使方程组0,有自然数解的整数m()

A.只有6个B.只能是偶数C.是小于12的自然数D.是小于10的

自然数

【答案】A

【分析】先解出含m的二元一次方程组，再根据有自然数解即可得到m的取值.

x=------

[2x+my=126+机

【详解】解J得＜

n12

v=-------

6+加

.」x,y为自然数解，故6+m=l,2,3,4,6,12,

对应的m有6个，故选A.

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟知二元一次方程组的求解.

5.(2022秋・云南文山•八年级统考期末)若[二:是关于尤、y的二元一次方程2x+y=7的

正整数解，则。+力的值为.

【答案】4或5或6.

【分析】根据题意求出。、b,然后代入求解即可.

]]一a

【详解】解：.•.1一^是关于X、y的二元一次方程2x+y=7的正整数解，

[y=b

.1-2a+h=l,且。、匕为正整数，

符合条件的整数解为：

。+〃=1+5=6或4+b=2+3=5或。+人=3+1=4,

故答案为：6或5或4.

【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值；理解二元一次方程的解，正确求出”,

6值是解答的关键.

6.（2022春•江苏•七年级专题练习）加为正整数，已知二元一次方程组有整数

3x-2y=0

解，则加为.

【答案】2

【分析】利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得机的值.

10

x=----

z3?一ir+2；y==010，可得m+3

【详解】解：解方程组

15

-t-n-+37

7+/=/°有整数解,

方程组

3x-2y=0

\m+3=?5或"?+3=?1,

解得〃z=±2或机=-4或，〃=-8,

又，"为正整数,

m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键.

类型四、二元一次方程的新定义

【解惑】

（2023春•浙江•七年级专题练习）定义新运算：x©y=or+by,其中a,6为常数.若1©2=4,

（-2）©1=7,则a,%的值分别为（）

A.2,3B.2,-3C.-2,3D.-2,-3

【答案】C

fa+2b=4①

【分析】利用新运算列出二元一次方程组c-不，进行解方程即可.

[-2a+b=7②

[a+26=4①

【详解】解：由题意列方程组为：、，…，

[-2a+b=l®

①x2+②得：Sb=15,

解得：b=3,

将6=3代入①得：a=-2,

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方

法解方程组即可.

【融会贯通】

1.（2023春•全国•七年级专题练习）对于有理数x,y,定义一种新运算：x&y=ax+by,

其中。为常数.已知1㊉2=10,（-3）©2=2,则

【答案】20

a+2b=10①

【分析】先根据新定义得出方程组3+21②,解之求出八座再代入求解即可・

a+2b=10①

【详解】解：根据题中的新定义化简得:1-3。+2b=2②

①-②得：4a=8,

解得：a=2,

把a=2代入①得：2+%=10,

解得：匕=4,

则原式=2㊉4=4+16=20.

故答案为：20.

a+2b=\0①

【点睛】本题考查新定义，解二元一次方程组，根据新定义得出方程组是解

-3a+26=2②

题的关键.

2.（2023春•浙江•七年级阶段练习）定义运算规定x*y=ax2+by,其中a,b为常数,

且1*2=5,2*3=10,则4*5=.

【答案】26

【分析】根据已知定义得出方程ax『+bx2=5,"22+6x3=10,整理后得出关于〃

的方程组，求出〃、b的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可.

【详解】解：,二1*2=5,2*3=10,

axl2+t>x2=5»ax22+fex3=10.

fa+2b=5

即《，

[4a+3b=\0

解得：a—1,h=2,

4*5=lx42+2x5=1x16+10=16+10=26,

故答案为：26.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能得出关于a、b的方程组是

解此题的关键.

3.（2022秋•重庆♦七年级重庆市杨家坪中学校考期中）定义：对任意一个两位数"?，如果加

满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为"互异数".将一个"互

异数"的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和

与11的商记为〃加).例如：加=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位

数与原两位数的和为21+12=33,和与11的商为33+11=3,所以7(12)=3.

根据以上定义，回答下列问题：

⑴下列两位数30,52,77中，"互异数"为；/(24)=.

⑵若"互异数"b满足/⑶=5,求所有"互异数*.

【答案】⑴52,6

(2)14或23或32或41

【分析】(1)根据题目中“互异数"的定义进行判断；再根据/(机)的定义计算即可；

(2)设"互异数？的个位数字为x,十位数字为y,根据题目中"互异数"的定义列式求出

x+y=5,即可得到所有"互异数⑦的值；

【详解】(1)解：由"互异数"的定义得，两位数30,52,77中，"互异数"为52,

z./.\24+42

/(2o4)=-n―=6,

故答案为：52,6；

(2)解：设"互异数*的个位数字为x,十位数字为y,

10y+x4-10x+V「

则/(6)=--------------=5,

11

整理得：x+y=5,

X=1或x=2二或x=4

"3或

y=4y=l

所有“互异数*的值为14或23或32或41.

【点睛】本题考查了新定义、二元一次方程的整数解、整式的加减运算，解答本题的关键是

理解新定义及其运算方法.

4.(2022春・江苏南通•七年级统考期中)定义：数对(x,y)经过一种运算可以得到数对(x',y'),

将该运算记作：

x1=ax-^by

,/(4,方为常数).

{y=ax-by

例如，当a=l,〃=1时，d(—2,3)=(1,—5).

(1)当a=2,力=1时，4(3,1)=；

⑵若d(—3,5)=(-1,9),求〃和b的值；

⑶如果组成数对(％>)的两个数x,y满足二元一次方程x-3y=。时，总有d(x,)，)=(-x,-y),

贝ija=,b=

【答案】⑴（7,5）；

4

a=—

(2)3

b=-\

(3)-|;

【分析】（1）根据新定义运算进行计算即可求解；

（2）根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解；

（3）根据题意可得x=3y,然后根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解.

（1）

解：依题意，当。=2,人=1时，

x'=2x3+1xl=7,y'=2x3-lxl=5

."（3,1）=（7,5）

（2）

•••d（-3,5）=（-1,9）,

J-3a+5b=-1

"1-3a-5ft=9，

'__4

解得"，.

b=-\

4

。和匕的值分别为一・1;

（3）

,/x-3y=0

/.x=3y

二”(x，y)=(T，-y)=(-3y,-y)

[^3y=-3ya+by

\-y=-3ya-by

-3=—3〃+b

即

—1=-3a-b

_2

解得“=§

b=—\

,.2

故答案为：-§；-1.

【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解新定义运

算是解题的关键.

5.(2022春・河南南阳•七年级统考期中)阅读理解：

已知”，匕为有理数，且4/0,若关于x的一元一次方程or=b的解为x=匕+a,我们就定

义该方程为“和解方程

例如：方程2x=T的解为x=-2,因为-2=T+2,所以方程2x=T是"和解方程”.请根

据上述定义解答下列问题：

⑴方程3x=-6"和解方程"；(填"是"或"不是")

⑵已知关于x的一元一次方程5x=m是"和解方程"，求机的值；

⑶已知关于x的一元一次方程4x=3a+3是"和解方程"，且它的解是求“，6的值.

【答案】⑴不是

⑵情

,、8,4

(3)«=--^=--

【分析】(1)根据定义计算判断即可；

(2)根据定义列方程求出机即可；

(3)根据定义列方程组求解即可.

(1)

解：方程3x=-6的解为x=-2,

；-2X-6+3,

方程3x=-6不是"和解方程”，

故答案为：不是；

(2)

由题意得晟=加+5,

25

解得

4

(3)

3a+2bf

由题意得，4一，

b=3a+2b+4

8

a=——

9

解得*

【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程

或方程组解决问题是解题的关键.

6.（2022春•江西新余•七年级统考期末）我们定义：若整式M与N满足M+N=%（k为整

数）则称M与N为关于的平衡整式.例如，若2x+3y=4,我们称2x与”为关于4的平衡

整式.

⑴若2a-5与44+9为关于1的平衡整式，求。的值；

⑵若2x-9与y为关于2的平衡整式，3x与分+1为关于5的平衡整式，求x+y的值.

【答案】⑴-不

（2）3

【分析】（1）根据平衡整式的定义列出方程，解一元一次方程得到答案；

（2）根据平衡整式的概念列出二元一次方程组，对方程组变形求解即可.

（1）

解：由题意得：2a-5+4。+9=1,

解得：a=――；

（2）

一⑵一9+尸2①

由题意得：，,「小，

[3x+4y+l=5②

①+②得：5x+5y=15,

x+y=3.

【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解二元一次方程组,掌握加减消元法是解题的关键.

类型五、二元一次方程组中的换元

【解惑】

a^x+bxy-c{x-4

（2023春,全国•七年级阶段练习）已知关于x,y的方程组的唯一解是《,

a2x+b2y=c2

q(2m-4)+=q+&

则关于m,n的方程组的解是()

a2(2m-4)+b2n=c2+b2

\/n=3m=3m=4m=4

LB.C.D.

[n=2n=4n=2n=3

【答案】C

%(2加_4)+伪l)=q

【分析】先将关于小，〃的方程组变形为，再根据关于的方程

a2(2加-4)+4(-I)=%

12m-4=4

组的解可得…1,由此即可得出答案•

CL(2m-4)+〃1)=G

【详解】解:关于九〃的方程组可变形为》;，；

a2^2m-4)+b2[n-1)=c2

2/n-4=4

由题意得:

〃-1=1

m=4

解得

n=2

故选：C.

【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键.

【融会贯通】

1.(2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习)阅读探索：

材料一：解方程组旧+R=:时，采用了一种“换元法"的解法，解法如下：

[2(〃-1)+(6+2)=6

,,,(x+2y=6

解：设=b+2=y,原方程组可化为、(

[2x+y=6

(x=2]a—1=2(Q=3

解得即'，解得〃A

[y=2[。+2=2[8=0

4x+10y=6①

材料二：解方程组cM时，采用了一种〃整体代换〃的解法，解法如下：

解：将方程②8x+20y+2y=10,变形为2(4x+10y)+2y=10③，把方程①代入③得,

x—4

一,

{y=T

根据上述材料，解决下列问题：

⑴运用换元法解求关于。，。的方程组:

⑵若关于x,y的方程组C屋的解为仁6°，求关于…的方程组

v54（m-3）+3bG+2）=q

5,（加一3）+3/?2（〃+2）=o'

欲①试求Z的值•

⑶己知力、y>z,满足

2x+z+8y=36②

Jtz=12

【答案】⑴

\b=-3

m=5

⑵

/?=0

（3）z=2

【分析】(1)用换元法替换(-1和《+2,解方程组即可;

(2