2024-2025学年高中数学第3章概率3.2.1古典概型3.2.2整数值随机数randomnumbers的产生学案含解析新人教A版必修3

PAGE3.2古典概型3.3.学习目标核心素养1．了解基本领件的特点，理解古典概型的定义．(重点)2．会推断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题．(重点、难点)3．理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率．(重点)1．通过古典概型的概率计算，培育数学运算素养．2．借助随机模拟估计概率，提升数学抽象素养.1.基本领件(1)定义：在一次试验中，全部可能出现的基本结果中不能再分的最简洁的随机事务称为该次试验的基本领件．(2)特点：①任何两个基本领件是互斥的；②任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．2．古典概型(1)定义：假如某类概率模型具有以下两个特点：①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概型的概率公式：对于任何事务A，P(A)＝eq\f(A事务包含的基本领件的个数,基本领件的总数).3．随机数与伪随机数(1)随机数要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形态相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．(2)伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．4．整数值随机数的产生及应用(1)产生整数值随机数的方法用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBET_WEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．(2)整数值的随机数的应用利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．思索：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？[提示]不是，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本领件有无限个，所以不是古典概型．1．下列试验中，属于古典概型的是()A．种下一粒种子，视察它是否发芽B．从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中随意抽一根，测量其直径dC．抛掷一枚质地匀称的硬币，视察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C[依据古典概型的特点，只有C项满意有限性与等可能性．]2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个爱好小组，某学生只选报其中的2个，则基本领件共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[基本领件有(数学、计算机)，(数学、航空模型)，(计算机、航空模型)共3个．]3．甲、乙、丙三名同学站成一排，乙站中间的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)C[全部基本领件有：(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6个，乙站中间包含(甲乙丙)，(丙乙甲)共2个，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]4．已知抛掷一枚质地匀称的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采纳随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为________．0.35[抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010,010,100,100,010,001,100共7组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率可以为eq\f(7,20)＝0.35.]基本领件及其计数问题【例1】连续掷3枚硬币，视察落地后3枚硬币是正面对上还是反面对上．(1)写出这个试验的全部基本领件；(2)“恰有两枚正面对上”这一事务包含哪几个基本领件？[解](1)由树形图表示如下：试验的全部基本领件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本领件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．基本领件的三种列举方法(1)干脆列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简洁的试验问题．(2)列表法：将基本领件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本领件的总数，以及要求的事务所包含的基本领件数．列表法适用于较简洁的试验的题目，基本领件较多的试验不适合用列表法．(3)树状图法：树状图法是运用树状的图形把基本领件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本领件间的结构关系，对于较困难的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较困难的试验的题目．eq\o([跟进训练])1．抛掷一枚骰子，下列不是基本领件的是()A．向上的点数是奇数 B．向上的点数是3C．向上的点数是4 D．向上的点数是6A[向上的点数是奇数包含三个基本领件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本领件，B，C，D项均是基本领件．]古典概型的推断与计算[探究问题]1．任何两个基本领件具有什么特征？[提示]互斥．2．若一次试验的结果所包含的基本领件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？[提示]不是，若是古典概型，还必需满意每个基本领件出现的可能性相等．3．运用古典概型概率公式应留意哪些问题？[提示](1)确定是否为古典概型．(2)所求事务是什么，它包含哪些基本领件．【例2】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；现从袋中任取两张卡片．(1)若把所取卡片的全部不同状况作为基本领件，则共有多少个基本领件？是古典概型吗？(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本领件，则共有多少个基本领件？是古典概型吗？(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．思路点拨：先列举出基本领件，紧扣古典概型的特点加以推断，再用古典概型概率公式求相应概率．[解](1)基本领件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种，由于基本领件个数有限，且每个基本领件发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)由(1)知，基本领件为2,3,4,5共4种，且他们出现的频数依次为1,4,3,2；故每个基本领件发生的可能性不同，不是古典概型．(3)设A＝{所取两张卡片标号之和小于4}，由(1)知，A事务包含(红1，红2)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(蓝1，蓝2)共5种，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).1．(变结论)本题条件不变，求所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同的概率．[解]全部基本领件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种．设A＝{所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同}，则A事务包含(红1，红2)，(红1，红3)，(蓝1，蓝2)共3种，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(3,10).2．(变条件)在本题原条件不变的状况之下，现往袋中再放一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[解]加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，全部可能状况如下表所示：绿蓝红012123绿012123蓝132342345红134253由表格可知，从六张卡片中任取两张的全部可能状况有15种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有{绿0，蓝1}，{绿0，蓝2}，{绿0，红1}，{绿0，红2}，{绿0，红3}，{蓝1，红1}，{蓝1，红2}，{蓝2，红1}，共8种状况．由古典概型的概率计算公式可得，所求事务的概率P＝eq\f(8,15).求解古典概型的概率“四步”法整数随机模拟及应用【例3】盒中有大小、形态相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事务的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，恰有两个白球；(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球．[解]用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球.(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则eq\f(N1,N)即为任取一球，得到白球的概率的近似值．(2)三个数一组(每组内不重复)，统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则eq\f(M1,M)即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.(3)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则eq\f(K1,K)即为任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球的概率的近似值．利用随机模拟估计概率应关注三点用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：1当试验的基本领件等可能时，基本领件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本领件；2探讨等可能事务的概率时，用按比例安排的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；3当每次试验结果须要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时肯定要留意每组中的随机数字能否重复.eq\o([跟进训练])2．种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．[解]利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，假如恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为eq\f(9,30)＝0.3.古典概型的综合问题【例4】如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成果(单位：分)．甲组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中以x表示．(1)假如甲组同学与乙组同学的平均成果一样，求x；(2)假如x＝7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成果均不低于90分的概率．思路点拨：(1)先求乙组同学成果的平均值，再求x.(2)列出从甲、乙两组同学中各随机选一名的全部结果，由古典概型求解．[解](1)eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4)×(87＋90＋90＋93)＝90，eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,4)×(80＋x＋86＋91＋94)＝90，解得x＝9.(2)当x＝7时，甲组的成果为86分，87分，91分，94分，乙组的成果为87分，90分，90分，93分，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名的可能结果有(86,87)，(86,90)，(86,90)，(86,93)，(87,87)，(87,90)，(87,90)，(87,93)，(91,87)，(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,87)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共有16种，其中这两名同学的数学成果均不低于90分有(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共6种，故这两名同学的数学成果均不低于90分的概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).古典概型常与统计问题相结合，解题时要对所给图表仔细分析，把图表信息及古典概型公式有机地结合起来.eq\o([跟进训练])3．国家标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/kg.依据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A，B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量(单位：mg/kg)进行检测，检测结果记录如表：A8580856090B70x95y75由于表格被污损，导致数据x，y看不清，统计员只记得A，B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．(1)求表格中x与y的值；(2)从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/kg”的车辆数为X，求X＝1时的概率．[解](1)由条件知eq\x\to(x)A＝eq\x\to(x)B，seq\o\al(2,A)＝seq\o\al(2,B)，又eq\x\to(x)A＝eq\f(1,5)×(85＋80＋85＋60＋90)＝80，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,5)×(70＋x＋95＋y＋75)，seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×(25＋0＋25＋400＋100)＝110，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)×[100＋(x－80)2＋225＋(y－80)2＋25]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160，,x－802＋y－802＝200，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝70，,y＝90))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝90，,y＝70.))(2)被检测的5辆B种型号的出租车中，氮氧化物排放量不超过80mg/kg的有三辆，记为A1，A2，A3，氮氧化物排放量超过80mg/kg的有两辆，记为B1，B2，从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆的状况有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种．其中符合条件的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6种．故所求概率P(X＝1)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中常常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝eq\f(m,n)时，关键是正确理解基本领件与事务A的关系，从而求出m，n.2．求某个随机事务A包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，留意做到不重不漏．3．对于用干脆方法难以解决的问题，可以先求其对立事务的概率，进而求得其概率，以降低难度．1．推断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的基本领件的个数为有限个，则该试验符合古典概型. ()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面对上”是基本领件． ()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型． ()(4)随机数的抽取就是简洁随机抽样． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．若连续掷两次骰子得到的点数为m、n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\