2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.2概率的意义学案含解析新人教版必修3

PAGE3．1.2概率的意义内容标准学科素养1.通过实例进一步理解概率的意义.2.能用概率的意义说明生活中的事例.3.了解概率在其他领域中的统计规律.提升数学运算发展数据分析应用数学抽象授课提示：对应学生用书第50页[基础相识]学问点概率的意义预习教材P113－118，思索并完成以下问题经市场抽检，质检部门得知市场上的食用油合格率为80%，现将对市场上的100个品牌的食用油进行检查．(1)这100个品牌的食用油确定有20个不合格，对吗？提示：不对．(2)这100个品牌的食用油可能有20个不合格，对吗？提示：对．(3)以你对合格率的理解，这100个品牌的食用油，不合格的应有多少个？提示：可能有20个，也可能一个也没有．学问梳理1.对概率的正确理解随机事务在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，相识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较精确地预料随机事务发生的可能性．2．实际问题中几个实例(1)嬉戏的公允性①裁判员用抽签器确定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公允的．②在设计某种嬉戏规则时，确定要考虑这种规则对每个人都是公允的这一重要原则．(2)决策中的概率思想假如我们面临的是从多个可选答案中选择正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种推断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．(3)天气预报的概率说明天气预报的“降水概率”是随机事务的概率，其指明白“降水”这个随机事务发生的可能性的大小．(4)试验与发觉概率学的学问在科学发展中起着特别重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期视察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深化探讨，得出了遗传学中一条重要的统计规律．(5)遗传机理中的统计规律孟德尔通过收集豌豆试验数据，找寻到了其中的统计规律，并用概率理论说明这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．[自我检测]1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是()A．若他投100次，确定有50次投中B．若他投一次，确定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错解析：概率是指一件事情发生的可能性大小．答案：C2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事务A发生的频率f(n)，则随着n的渐渐增加，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差渐渐减小C．f(n)与某个常数差的确定值渐渐减小D．f(n)在某个常数旁边摇摆并趋于稳定解析：随着n的增大，频率f(n)会在概率旁边摇摆并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．答案：D3．事务A发生的概率是eq\f(3,5)，则eq\f(3,5)表示的__________．解析：依据概率的含义知eq\f(3,5)表示的是事务A发生的可能性大小．答案：事务A发生的可能性的大小授课提示：对应学生用书第51页探究一对概率的理解[例1]经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人说明为其投篮100次确定有90次命中，10次不中，你认为这种说明正确吗？说说你的理由．[解析]这种说明不正确，缘由如下：因为“投篮命中”是一个随机事务，90%是指此事务发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．方法技巧1.概率是随机事务发生可能性大小的度量，是随机事务A的本质属性，随机事务A发生的概率是大量重复试验中事务A发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事务A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清晰概率与频率的区分与联系．对详细的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个详细的事务．跟踪探究1.某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，假如前7个人没有治愈，那么后3个人确定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?解析：不确定．假如把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率确定会大于90%，这种理解对吗？解析：这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.探究二嬉戏的公允性[例2]某校高二年级(1)(2)班打算联合实行晚会，组织者欲使晚会气氛热情、好玩，策划整场晚会以转盘嬉戏的方式进行，每个节目起先时，两班各派一人先进行转盘嬉戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种嬉戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公允？为什么？[解析]该方案是公允的，理由如下：各种状况如下表所示：45671567826789378910由上表可知该嬉戏可能出现的状况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公允的．方法技巧嬉戏公允性的标准及推断方法(1)嬉戏规则是否公允，要看对嬉戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公允；否则就是不公允的．(2)详细推断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．跟踪探究3.玲玲和倩倩是一对好挚友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后两面一样，就你去！”你认为这个嬉戏公允吗？解析：两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率都是eq\f(1,2)，所以公允．探究三概率的应用[例3]为了估计水库中鱼的尾数，可以运用以下的方法：先从水库中捕出确定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出确定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试依据上述数据，估计水库中鱼的尾数．[解析]设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事务A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝eq\f(2000,n).其次次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事务A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈eq\f(40,500)，即eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)，解得：n≈25000.所以估计水库中的鱼有25000尾．方法技巧1.由于概率反映了随机事务发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．2．实际生活与生产中经常用随机事务发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．跟踪探究4.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成状况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩戴胸卡．其次次检查，调查了初中部的全部学生，有500名学生佩戴胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．解析：设初中部有n名学生，依题得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.∴该中学初中部共有学生大约1250名．授课提示：对应学生用书第52页[课后小结]1．概率是描述随机事务发生的可能性大小的一个数量，即使是也许率事务，也不能确定事务确定会发生，只能认为事务发生的可能性大．2．利用概率思想正确处理和说明实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养．[素养培优]1.不理解概率的意义致误已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件易错分析因不理解概率的意义而错选C.自我订正一个事务的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事务发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．答案：D2．嬉戏公允性的推断下面有三个嬉戏规则，袋子中分别装有球．嬉戏1嬉戏2嬉戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜若从袋中无放回地取球，则其中不公允的嬉戏是__________．易错分析嬉戏1中取2个球的全部可能状况有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为eq\f(2,5)，所以嬉戏1是不公允的；嬉戏2中，明显甲胜的可能性是0.5，嬉戏是公允的；嬉戏3中取2个球的全部可能状况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的可能性为eq\f(1,3)，嬉戏是不公允的．错误的缘由是嬉戏1中取两球的状况漏掉