复变函数-第7章-拉普拉斯变换

第7章拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换7.2拉普拉斯变换的基本性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉普拉斯变换的应用在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为

7.1拉普拉斯变换7.1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分是一个复参量）

我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做ℒ

叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=ℒ

的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数7.1.2拉普拉斯变换存在定理

若函数满足下列条件

Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,

Ⅱ当时,

及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数记ℒ+

ℒ-即ℒ+

ℒ-ℒ+

ℒ-即∴ℒ

ℒ-但仍记作ℒ

7.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换

例2

求单位阶跃函数的拉氏变换

解:ℒ

例1

求单位脉冲函数的拉氏变换

解:

ℒ

例3

求函数的拉氏变换

解:

ℒ

例4

求单位斜坡函数的拉氏变换

解:

ℒ

例5

求幂函数的拉氏变换

解:

ℒ

当为正整数时,

ℒ

例6

求正弦函数

的拉氏变换

ℒ

解:

则所以ℒ

即同理可得如ℒ

ℒ

例7求:解:ℒ

是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有7.1.4周期函数的拉普拉斯变换

这是求周期函数拉氏变换公式的周期函数,即可以证明:若ℒ

例8求:ℒ

解:ℒ

两次分部积分7.2拉普拉斯变换的性质

7.2.1线性性质

设为常数则

ℒℒ

ℒ

ℒ

例9求:解:ℒ

ℒ

ℒ

7.2.2相似性质

若=ℒ

则ℒℒ7.2.3位移性质

（1）象原函数的位移性质(延迟性质)

ℒℒ

ℒ例10

求函数的拉氏变换解:因为ℒ

所以ℒ

若为非负实数，则（2）象函数的位移性质

ℒℒ

若为实常数，则(为正整数).

例11

求解:因为ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

所以ℒ

ℒ

则一般地,ℒℒ

若ℒ特别地,当时,ℒ可以证明ℒ7.2.4微分性质(1)原象函数的微分性质（2）象函数的微分性质

若则ℒ从而ℒℒ

ℒℒ一般地,有从而ℒ例12

求函数解:因为

同理,ℒℒℒ

所以,ℒ例13求:解1:ℒ由象函数的位移性质,得ℒ再由象函数的微分性质,ℒ

ℒ

解2:ℒ

ℒ

ℒ

7.2.5积分性质

若ℒ则ℒℒ

(1)象原函数的积分性质

一般地ℒ且积分收敛若ℒ则ℒℒ

(2)象函数的积分性质

一般地ℒ或复数中的∞是对应与复平面上的无穷远点,实部、虚部与幅角的概念对它均无意义,但它的模则规定为正无穷大,即|∞|=+∞推论若则ℒ

且积分收敛例14求ℒ

解因为ℒ

所以ℒℒ

顺便可得ℒ7.2.7拉氏变换的卷积与卷积定理

(1)上的卷积定义

若函数,满足

时都为零,称为函数在上的卷积.则卷积满足下列性质1)2)3)4)例15

对函数计算上的卷积

解:例16

求:解:(2)拉氏变换的卷积定理若则ℒℒℒ

ℒ

注：上述定理可推广到有限个函数的情形例17

已知为正整数)求在上的卷积解因为ℒℒℒ所以ℒℒ7.3拉普拉斯逆变换

求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.

根据拉普拉斯变换的定义

右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.7.3.1利用拉普拉斯变换对和性质求拉普拉斯逆变换

一些常用函数的拉氏变换对拉氏逆变换的性质

ℒℒℒℒℒℒℒℒ例18已知求解所以例19已知求解所以ℒℒ部分分式法例20已知求解所以例21已知求解所以7.3.2利用留数定理求拉氏逆变换

定理特别当(1)(2)上述两个公式也称为Heaviside展开式.例22利用留数方法求的逆变换解:ℒ例23求的逆变换解1:ℒ留数方法解2:部分分式法则比较分子

的同次幂系数,得ℒℒ7.4拉普拉斯变换的应用

7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法

利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:

（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;

（2）从象函数的代数方程中解出象函数;

（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.(微分、积分方程的Laplace变换解法)微分、积分方程取Laplace变换象函数的代数方程解代数方程

象函数取Laplace逆变换象原函数(方程的解)例24求微分方程满足初始条件的解

解设ℒ解得所以ℒℒ对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得例25求微分方程满足初始条件的解.解设ℒℒℒ对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得例26求积分方程的解.解设ℒℒℒ即对方程两边取拉氏变换，则得例27求微分、积分方程在满足初始条件的解.解

设ℒ即对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得例28求微分方程组满足