2024八年级数学上册第12章整式的乘除练素养2.活用乘法公式的八种技巧习题课件新版华东师大版

华师版八年级上第12章整式的乘除集训课堂练素养2.活用乘法公式的八种技巧

乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正

用，也可以逆用.在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式

中的字母

a

，

b

可以是任意一个式子.(2)公式可以连续使

用.(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特

点.(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧.技巧1巧用乘法公式的变形求式子的值1.

若

a

＋

b

＝9，

a2＋

b2＝60，则(

a

－

b

)2＝

⁠.【点拨】把

a

＋

b

＝9两边平方，得(

a

＋

b

)2＝81，整理得

a2＋

b2＋2

ab

＝81，把

a2＋

b2＝60代入，得60＋2

ab

＝81，∴2

ab

＝21，则(

a

－

b

)2＝

a2＋

b2－2

ab

＝60－21＝39.39

12345678910112.

若(

x

＋

y

)2＝12，(

x

－

y

)2＝8，则

xy

＝

⁠.【点拨】(

x

＋

y

)2＝

x2＋2

xy

＋

y2＝12①，(

x

－

y

)2＝

x2－2

xy

＋

y2＝8②，由①－②得4

xy

＝4，∴

xy

＝1.1

12345678910113.

已知实数

x

，

y

满足

x

＋

y

＝5，

xy

＝－2.(1)求(

x

＋2)(

y

＋2)的值；【解】∵

x

＋

y

＝5，

xy

＝－2，∴(

x

＋2)(

y

＋2)＝

xy

＋2

x

＋2

y

＋4＝

xy

＋2(

x

＋

y

)＋4

＝－2＋2×5＋4＝12.1234567891011(2)求

x

－

y

的值.

1234567891011技巧2巧用乘法公式进行简便运算4.

在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算

9×11×101.嘉嘉发现把9写成(10－1)，把11写成(10＋1)

后可以连续运用平方差公式进行计算.请根据上述思路，计算：1234567891011(1)9×11×101；【解】原式＝(10－1)×(10＋1)×(100＋1)＝(102－1)×(100＋1)＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1＝10

000－1＝9

999.1234567891011

1234567891011技巧3巧用乘法公式解决整除问题5.

对任意正整数

n

，整式(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)能

不能被10整除？为什么？【解】对任意正整数

n

，整式(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3

＋

n

)能被10整除.理由：(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)＝(3

n

)2－1－(32

－

n2)＝9

n2－1－9＋

n2＝10

n2－10＝10(

n2－1).∵对任意正整数

n

，10(

n2－1)能被10整除，∴(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)能被10整除.1234567891011技巧4利用数形结合思想巧借乘法公式解决几何图形问题6.

[新考法·数形结合法]将边长为

a

的正方形的左上角剪掉一

个边长为

b

的正方形(如图甲)，将剩下部分按照虚线分割

成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图

乙)，解答下列问题：1234567891011(1)设图甲中阴影部分的面积为

S1，图乙中阴影部分的面

积为

S2，请用含

a

，

b

的式子表示

S1＝

，

S2

＝

；(不必化简)a2－

b2

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

(2)由(1)中的结果可以验证的乘法公式是

⁠

⁠；(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

＝

a2－

b2

1234567891011(3)利用(2)中得到的公式，计算：2

0262－2

025×2

027.【解】2

0262－2

025×2

027＝2

0262－(2

026－1)×(2

026＋1)＝2

0262－(2

0262－1)＝2

0262－2

0262＋1＝1.12345678910117.

完全平方公式：(

a

±

b

)2＝

a2±2

ab

＋

b2进行适当变形，

可以解决很多数学问题.例如：若

a

＋

b

＝3，

ab

＝1，求

a2＋

b2的值.解：因为

a

＋

b

＝3，所以(

a

＋

b

)2＝9，即

a2＋2

ab

＋

b2＝9，又因为

ab

＝1，所以

a2＋

b2＝7.根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：1234567891011(1)若

x

＋

y

＝8，

x2＋

y2＝40，求

xy

的值；【解】∵

x

＋

y

＝8，∴(

x

＋

y

)2＝64，即

x2＋2

xy

＋

y2＝64.又∵

x2＋

y2＝40，∴2

xy

＝64－40＝24.∴

xy

＝12.1234567891011(2)若(4－

x

)(

x

－5)＝－8，求(4－

x

)2＋(

x

－5)2的值；【解】设

m

＝4－

x

，

n

＝

x

－5，则

m

＋

n

＝－1，

mn

＝－8，∴(4－

x

)2＋(

x

－5)2＝

m2＋

n2＝(

m

＋

n

)2－2

mn

＝(－1)2－2×(－8)＝1＋16＝17.1234567891011(3)如图，

C

是线段

AB

上的一点，分别以

AC

，

BC

为边作

正方形

ACDE

，正方形

BCFG

，若

AB

＝6，两个正方

形的面积和

S1＋

S2＝18，求图中阴影部分的面积.

1234567891011技巧5巧用乘法公式解决换元问题8.

[新考法·阅读类比法]阅读下列材料：已知实数

m

，

n

满足(2

m2＋

n2＋1)(2

m2＋

n2－1)＝80，试

求2

m2＋

n2的值.解：设2

m2＋

n2＝

t

，则原方程变为(

t

＋1)(

t

－1)＝80，整

理得

t2－1＝80，∴

t2＝81.∴

t

＝±9.∵2

m2＋

n2≥0，∴2

m2＋

n2＝9.1234567891011上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常

用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若

把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换

元)，则能使复杂的问题简单化.根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答

过程.1234567891011(1)已知实数

x

，

y

满足(2

x2＋2

y2＋3)(2

x2＋2

y2－3)＝27，

求

x2＋

y2的值；【解】设2

x2＋2

y2＝

t

，则原方程变形为(

t

＋3)(

t

－3)＝27，整理得

t2－9＝27，∴

t2＝36.∴

t

＝±6.∵2

x2＋2

y2≥0，∴2

x2＋2

y2＝6.∴

x2＋

y2＝3.1234567891011(2)在(1)的条件下，若

xy

＝1，求(

x

＋

y

)2和

x

－

y

的值.【解】∵

x2＋

y2＝3，

xy

＝1，∴(

x

＋

y

)2＝

x2＋

y2＋2

xy

＝3＋2＝5，(

x

－

y

)2＝

x2＋

y2－2

xy

＝3－2＝1，∴

x

－

y

＝±1.1234567891011技巧6巧用乘法公式解决规律问题9.

[2024·合肥四十五中模拟]观察下列等式的规律，解答下列

问题：第1个等式：12＋22－32＝1×

a

－

b

；第2个等式：22＋32－42＝2×0－

b

；第3个等式：32＋42－52＝3×1－

b

；第4个等式：42＋52－62＝4×2－

b

；……(1)根据以上等式规律：

a

＝

，

b

＝

⁠；－1

3

1234567891011(2)写出你猜想的第

n

个等式(用含

n

的式子表示)，并验证.【解】猜想的第

n

个等式：

n2＋(

n

＋1)2－(

n

＋2)2＝

n

(

n

－2)－3.因为左边＝

n2＋

n2＋2

n

＋1－(

n2＋4

n

＋4)＝

n2－

2

n

－3，右边＝

n2－2

n

－3，所以左边＝右边，所以猜想成立.1234567891011技巧7巧用乘法公式解决实际问题10.

[情境题·生活应用]某学校分为初中部和小学部，初中部

的学生数比小学部多，做广播操时，初中部排成的是一

个规范的长方形方阵，每排(3

a

－

b

)名学生，共站有(3

a

＋2

b

)排；小学部站的是正方形方阵，排数和每排学生

数都是2(

a

＋

b

).(1)该学校初中部比小学部多多少名学生？1234567891011【解】该学校初中部学生数为(3

a

－

b

)(3

a

＋2

b

)＝(9

a2＋3

ab

－2

b2)(名)，小学部学生数为2(

a

＋

b

)×2(

a

＋

b

)＝4(

a

＋

b

)2

＝(4

a2＋8

ab

＋4

b2)(名)，则该学校初中部比小学部多的学生数为9

a2＋3

ab

－2

b2－(4

a2＋8

ab

＋4

b2)＝(5

a2－5

ab

－6

b2)(名).答：该学校初中部比小学部多(5

a2－5

ab

－6

b2)名学生.1234567891011(2)当

a

＝10，

b

＝2时，试求该学校一共有多少名学生.【解】该学校初中部和小学部的学生一共有9

a2＋3

ab

－2

b2＋4

a2＋8

ab

＋4

b2＝(13

a2＋