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文档简介
华师版八年级上第12章整式的乘除集训课堂练素养2.活用乘法公式的八种技巧
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式,公式可以正
用,也可以逆用.在使用公式时,要注意以下几点:(1)公式
中的字母
a
,
b
可以是任意一个式子.(2)公式可以连续使
用.(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特
点.(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧.技巧1巧用乘法公式的变形求式子的值1.
若
a
+
b
=9,
a2+
b2=60,则(
a
-
b
)2=
.【点拨】把
a
+
b
=9两边平方,得(
a
+
b
)2=81,整理得
a2+
b2+2
ab
=81,把
a2+
b2=60代入,得60+2
ab
=81,∴2
ab
=21,则(
a
-
b
)2=
a2+
b2-2
ab
=60-21=39.39
12345678910112.
若(
x
+
y
)2=12,(
x
-
y
)2=8,则
xy
=
.【点拨】(
x
+
y
)2=
x2+2
xy
+
y2=12①,(
x
-
y
)2=
x2-2
xy
+
y2=8②,由①-②得4
xy
=4,∴
xy
=1.1
12345678910113.
已知实数
x
,
y
满足
x
+
y
=5,
xy
=-2.(1)求(
x
+2)(
y
+2)的值;【解】∵
x
+
y
=5,
xy
=-2,∴(
x
+2)(
y
+2)=
xy
+2
x
+2
y
+4=
xy
+2(
x
+
y
)+4
=-2+2×5+4=12.1234567891011(2)求
x
-
y
的值.
1234567891011技巧2巧用乘法公式进行简便运算4.
在学习“平方差公式”时,张老师出了一道题:计算
9×11×101.嘉嘉发现把9写成(10-1),把11写成(10+1)
后可以连续运用平方差公式进行计算.请根据上述思路,计算:1234567891011(1)9×11×101;【解】原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(102-1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=1002-1=10
000-1=9
999.1234567891011
1234567891011技巧3巧用乘法公式解决整除问题5.
对任意正整数
n
,整式(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3+
n
)能
不能被10整除?为什么?【解】对任意正整数
n
,整式(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3
+
n
)能被10整除.理由:(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3+
n
)=(3
n
)2-1-(32
-
n2)=9
n2-1-9+
n2=10
n2-10=10(
n2-1).∵对任意正整数
n
,10(
n2-1)能被10整除,∴(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3+
n
)能被10整除.1234567891011技巧4利用数形结合思想巧借乘法公式解决几何图形问题6.
[新考法·数形结合法]将边长为
a
的正方形的左上角剪掉一
个边长为
b
的正方形(如图甲),将剩下部分按照虚线分割
成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形(如图
乙),解答下列问题:1234567891011(1)设图甲中阴影部分的面积为
S1,图乙中阴影部分的面
积为
S2,请用含
a
,
b
的式子表示
S1=
,
S2
=
;(不必化简)a2-
b2
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
(2)由(1)中的结果可以验证的乘法公式是
;(
a
+
b
)(
a
-
b
)
=
a2-
b2
1234567891011(3)利用(2)中得到的公式,计算:2
0262-2
025×2
027.【解】2
0262-2
025×2
027=2
0262-(2
026-1)×(2
026+1)=2
0262-(2
0262-1)=2
0262-2
0262+1=1.12345678910117.
完全平方公式:(
a
±
b
)2=
a2±2
ab
+
b2进行适当变形,
可以解决很多数学问题.例如:若
a
+
b
=3,
ab
=1,求
a2+
b2的值.解:因为
a
+
b
=3,所以(
a
+
b
)2=9,即
a2+2
ab
+
b2=9,又因为
ab
=1,所以
a2+
b2=7.根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:1234567891011(1)若
x
+
y
=8,
x2+
y2=40,求
xy
的值;【解】∵
x
+
y
=8,∴(
x
+
y
)2=64,即
x2+2
xy
+
y2=64.又∵
x2+
y2=40,∴2
xy
=64-40=24.∴
xy
=12.1234567891011(2)若(4-
x
)(
x
-5)=-8,求(4-
x
)2+(
x
-5)2的值;【解】设
m
=4-
x
,
n
=
x
-5,则
m
+
n
=-1,
mn
=-8,∴(4-
x
)2+(
x
-5)2=
m2+
n2=(
m
+
n
)2-2
mn
=(-1)2-2×(-8)=1+16=17.1234567891011(3)如图,
C
是线段
AB
上的一点,分别以
AC
,
BC
为边作
正方形
ACDE
,正方形
BCFG
,若
AB
=6,两个正方
形的面积和
S1+
S2=18,求图中阴影部分的面积.
1234567891011技巧5巧用乘法公式解决换元问题8.
[新考法·阅读类比法]阅读下列材料:已知实数
m
,
n
满足(2
m2+
n2+1)(2
m2+
n2-1)=80,试
求2
m2+
n2的值.解:设2
m2+
n2=
t
,则原方程变为(
t
+1)(
t
-1)=80,整
理得
t2-1=80,∴
t2=81.∴
t
=±9.∵2
m2+
n2≥0,∴2
m2+
n2=9.1234567891011上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常
用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若
把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换
元),则能使复杂的问题简单化.根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答
过程.1234567891011(1)已知实数
x
,
y
满足(2
x2+2
y2+3)(2
x2+2
y2-3)=27,
求
x2+
y2的值;【解】设2
x2+2
y2=
t
,则原方程变形为(
t
+3)(
t
-3)=27,整理得
t2-9=27,∴
t2=36.∴
t
=±6.∵2
x2+2
y2≥0,∴2
x2+2
y2=6.∴
x2+
y2=3.1234567891011(2)在(1)的条件下,若
xy
=1,求(
x
+
y
)2和
x
-
y
的值.【解】∵
x2+
y2=3,
xy
=1,∴(
x
+
y
)2=
x2+
y2+2
xy
=3+2=5,(
x
-
y
)2=
x2+
y2-2
xy
=3-2=1,∴
x
-
y
=±1.1234567891011技巧6巧用乘法公式解决规律问题9.
[2024·合肥四十五中模拟]观察下列等式的规律,解答下列
问题:第1个等式:12+22-32=1×
a
-
b
;第2个等式:22+32-42=2×0-
b
;第3个等式:32+42-52=3×1-
b
;第4个等式:42+52-62=4×2-
b
;……(1)根据以上等式规律:
a
=
,
b
=
;-1
3
1234567891011(2)写出你猜想的第
n
个等式(用含
n
的式子表示),并验证.【解】猜想的第
n
个等式:
n2+(
n
+1)2-(
n
+2)2=
n
(
n
-2)-3.因为左边=
n2+
n2+2
n
+1-(
n2+4
n
+4)=
n2-
2
n
-3,右边=
n2-2
n
-3,所以左边=右边,所以猜想成立.1234567891011技巧7巧用乘法公式解决实际问题10.
[情境题·生活应用]某学校分为初中部和小学部,初中部
的学生数比小学部多,做广播操时,初中部排成的是一
个规范的长方形方阵,每排(3
a
-
b
)名学生,共站有(3
a
+2
b
)排;小学部站的是正方形方阵,排数和每排学生
数都是2(
a
+
b
).(1)该学校初中部比小学部多多少名学生?1234567891011【解】该学校初中部学生数为(3
a
-
b
)(3
a
+2
b
)=(9
a2+3
ab
-2
b2)(名),小学部学生数为2(
a
+
b
)×2(
a
+
b
)=4(
a
+
b
)2
=(4
a2+8
ab
+4
b2)(名),则该学校初中部比小学部多的学生数为9
a2+3
ab
-2
b2-(4
a2+8
ab
+4
b2)=(5
a2-5
ab
-6
b2)(名).答:该学校初中部比小学部多(5
a2-5
ab
-6
b2)名学生.1234567891011(2)当
a
=10,
b
=2时,试求该学校一共有多少名学生.【解】该学校初中部和小学部的学生一共有9
a2+3
ab
-2
b2+4
a2+8
ab
+4
b2=(13
a2+
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