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第二章函数第二节函数的单调性与最值构建本小结知识结构考向1

求函数的单调区间求函数的单调区间——图像法【例2】

求函数f（x）＝－x2＋2｜x｜＋1的单调区间.解

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为（－1，0）和（1，＋∞）.2.函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是

（

）A.（－∞，－2）B.（－∞，1）C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）解析：D

由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln

t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，－2）上单调递减，∴函数f（x）的单调递增区间为（4，＋∞）.故选D.考点一：求函数的单调区间——复合法：同增异减考点二：函数单调性的应用考向1

利用单调性比较函数值的大小【例3】

设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是

（

）A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）解析

∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2），f（－π）＝f（π），又f（x）在[0，＋∞）上为增函数，且2＜3＜π，∴f（2）＜f（3）＜f（π），∴f（－2）＜f（3）＜f（－π）.故选B.答案

B考向2

利用单调性解不等式【例4】

已知函数f（x）＝lnx＋2x，若f（x2－4）＜2，则实数x的取值范围是

⁠.

2.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，那么｜f（x＋1）｜＜1的解集为（

）A.（－1，2）B.（1，4）C.（－∞，－1）∪[4，＋∞）D.（－∞，－1]∪[2，＋∞）拓展：解析：A

由题意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因为函数f（x）是R上的增函数，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f（x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋1）｜＜1的解集为（－1，2）.故选A.考向4

由函数单调性求参数的值（范围）【例5】

已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是

⁠.

解析

令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.又y＝et为增函数，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，

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