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文档简介
第二章函数第二节函数的单调性与最值构建本小结知识结构考向1
求函数的单调区间求函数的单调区间——图像法【例2】
求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.解
画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为(-1,0)和(1,+∞).2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是
(
)A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)解析:D
由x2-2x-8>0,得f(x)的定义域为{x|x<-2或x>4}.设t=x2-2x-8,则y=ln
t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内).∵函数t=x2-2x-8在区间(4,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-2)上单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.考点一:求函数的单调区间——复合法:同增异减考点二:函数单调性的应用考向1
利用单调性比较函数值的大小【例3】
设f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是
(
)A.f(-π)<f(-2)<f(3)B.f(-2)<f(3)<f(-π)C.f(-π)<f(3)<f(-2)D.f(3)<f(-2)<f(-π)解析
∵f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称,∴f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上为增函数,且2<3<π,∴f(2)<f(3)<f(π),∴f(-2)<f(3)<f(-π).故选B.答案
B考向2
利用单调性解不等式【例4】
已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是
.
2.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集为(
)A.(-1,2)B.(1,4)C.(-∞,-1)∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞)拓展:解析:A
由题意可知,f(0)=-1,f(3)=1,因为函数f(x)是R上的增函数,所以由|f(x+1)|<1得-1<f(x+1)<1,即f(0)<f(x+1)<f(3),因此0<x+1<3,解得-1<x<2,即|f(x+1)|<1的解集为(-1,2).故选A.考向4
由函数单调性求参数的值(范围)【例5】
已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是
.
解析
令t=|x-a|,∴y=et,t=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.又y=et为增函数,∴f(x)=e|x-a|在(-∞,a)上单调递减,
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