【题型梳理练】有理数中的规律探究（原卷版）

2/2【题型梳理练】有理数中的规律探究 TOC\o"1-3"\h\u【题型1数字类规律探究】 1【题型2四则运算中的规律探究】 2【题型3乘方中的规律探究】 2【题型4周期中的规律探究】 3【题型5递进中的规律探究】 4【题型6表格中的规律探究】 5【题型7图形中的规律探究】 6【题型8新定义中的规律探究】 8【题型1数字类规律探究】【例1】（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）观察一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2024个数是（

）．A．22024 B．22024-1 C．【变式1-1】（23-24七年级·陕西商洛·期末）观察下面一列数：第1组第2组第3组第4组第5组……1,-12,43,-94,165,-25按照此规律第9组的两数之和为．【变式1-2】（23-24七年级·山东滨州·阶段练习）一组按规律排列的数-14，39，-516，725，-【变式1-3】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（

）.A．16,257 B．16,91 C．10,101 D．10,161【题型2四则运算中的规律探究】【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知：11×2=1-12，12×3=(1)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；(2)按照上面算式的规律计算：21×2【变式2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：21-32=12；第2个等式32-56=2(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）.【变式2-2】（23-24七年级·宁夏银川·期中）观察下列各式：1-122=34=12(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：1-1(2)用你发现的规律计算：1-1【变式2-3】（2024七年级·安徽·专题练习）研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=4=2×4+1=9=3×5+1=16=4×6+1=25=…(1)请你找出规律并计算7×9+1==()(2)用含有n的式子表示上面的规律：．(3)用找到的规律解决下面的问题：计算：(1+11×3)(1+【题型3乘方中的规律探究】【例3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，8个看不见；…，则第⑥个图中看得见的有个．【变式3-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：乘方运算222…333…新运算logloglog…logloglog…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③【变式3-2】（23-24七年级·河北秦皇岛·阶段练习）观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75A．0 B．1 C．6 D．8【变式3-3】（23-24七年级·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a-b-c的值是（

）A．-512 B．-514 C．510 D．512【题型4周期中的规律探究】【例4】（2024·北京西城·七年级期末）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期中）从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为；当第n次数到食指时，数到的数是（用含n的代数式表示）．【变式4-2】（23-24七年级·安徽黄山·期中）观察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36【变式4-3】（23-24七年级·河南开封·期中）如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的圆周上跳动，游戏规则：若电子青蛙，停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从4这点开始跳，则经过2022次后它停的点对应的数为（）

A．1 B．2 C．3 D．5【题型5递进中的规律探究】【例5】（23-24七年级·江西赣州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为3，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A．32n-2 B．32n-1 C．【变式5-1】（2024·山西太原·二模）观察图中给出的四个点阵，按照图中点的个数的变化规律，猜想第n个点阵中点的个数为个．（用含n的代数式表示）【变式5-2】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．【变式5-3】（23-24七年级·宁夏银川·期末）生物课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（依次被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录），那么标号为1000的微生物会出现在第（

）A．第7天 B．第8天 C．第9天 D．第10天【题型6表格中的规律探究】【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．139 B．209 C．109 D．259【变式6-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中m的值为(A．1 B．3 C．6 D．9【变式6-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：2022-3÷10=201⋯⋯9；地支为：2022-3÷12=168⋯⋯3；对照天干地支表得出，123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥请你依据上述规律推断2024年为农历年．【变式6-3】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．

图形标号①②③④⑤…火柴棒根数5913____________…(1)按图示规律完成表格(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？【题型7图形中的规律探究】【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式12+122A．125 B．126 C．【变式7-1】（23-24七年级·山西临汾·期中）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是．【变式7-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个图形中正方形的个数是……（

）A．110 B．330 C．440 D．572【变式7-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）阅读与探索：问题情境：通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表达下列规律：（1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的个数，那么搭n个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代数式表示）．类比探索：（2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第n个图案需要__________根火柴棒（用n的代数式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________（用含n的式子表示）．

拓展应用：（4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．

【题型8新定义中的规律探究】【例8】（23-24七年级·江苏苏州·期末）定义一种关于整数n的“H”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5，（2）当n为偶数时，结果为n2k（其中k是正整数，且使得n2k为奇数）；并且运算重复进行．例如：n=12时，第一次经“H”运算的结果是3，第二次经“H”运算的结果是14，第三次经“H”运算的结果是7，第四次经“H”运算的结果是26……．若n=58，则第2024次经“HA．29 B．92 C．23 D．74【变式8-1】（23-24七年级·广西钦州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53【变式8-2】（23-24七年级·北京西城·阶段练习）对于正整数n，定义Fn=n2,n<10fn,规定：F1n=Fn，例如：F2按此定义，F24=，【变式8-3】