压轴训练：第一章 有理数（解析版）

第一章有理数压轴训练压轴题型一利用数轴化简绝对值例1.（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：由数轴可得：，，，，，．巩固训练1.（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，

化简：．【答案】【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键．【详解】解：由数轴可得，，∴，，，，∴原式，，．2.（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示：(1)1，b2，______________2（填“”或“”）(2)化简：．【答案】(1)，，(2)【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义；（1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可；（2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．【详解】（1）由数轴可知：，，且，，，故答案为：，，；（2）由（1），得．又，所以，所以．3.（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化简：．【答案】(1)，，(2)【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键．（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．【详解】（1）解：由数轴可得：，则．故答案为：，，．（2）解：∵，∴．压轴题型二新定义型有理数混合运算例2.计算规定，试计算：的值．【答案】5【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：∵，∴．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．巩固训练1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序．【答案】8.5【分析】根据题意列出算式进行计算即可．【详解】解：根据题意得：．故答案为：8.5．【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：，(1)计算的值；(2)计算的值；(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．【答案】(1)8(2)8(3)不成立，见解析【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可．【详解】（1）解：由题意得：，（2）解：由题意得，∴；（3）解：不成立，理由如下：∵，，∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：．依据以上内容，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)38(2)【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得；（2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．压轴题型三与有理数乘方有关的新定义型问题例3.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则．【答案】【分析】根据题中所给的运算方法列出乘方的式子，再根据乘方的运算法则进行计算即可．【详解】解：，如，，故答案为：．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知数的乘方法则是解答此题的关键．巩固训练1.（22-23七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值．【答案】【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解．【详解】解：依题意，∴．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键．2.（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；（2）将，代入等式，即可求解x的值．【详解】（1）原式；（2），，，．【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．3.（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则．(1)根据上述规定，填空：______，______；(2)若，则______；(3)若，，求的值．【答案】(1)3，2(2)(3)4【分析】（1）理解题意，根据有理数乘方计算求解；（2）根据题意得到，求得x的值即可；（3）根据题意，由有理数的乘方计算求得a与b的值，然后求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：3，2．（2）∵，∴，∵，，∴；故答案为：（3）解：∵，∴∵，，∴∴又∵∴的值为4．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．压轴题型四数轴上的动点问题例4.（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．【答案】(1)；(2)或；(3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解；（）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解；（3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解；本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．【详解】（1），故点所对应的数是；（2），点在点的左边，，点在点的右边，，故点所对应的数是或；（3）点在点的左边，（秒），点对应的数是，点对应的数是；点在点的右边，（秒），点对应的数是，点对应的数是，综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．巩固训练1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．

(1)求、两点相距多少个单位长度？(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；(3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数．【答案】(1)个单位长度；(2)或；(3)．【分析】（）先由绝对值和平方数的非负性求出和，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解；（）根据点的位置分情况讨论即可求解；（）点向左移个单位，再向右移动个单位，依次规律，列出算式即可求解．【详解】（1）因为，，，所以，，所以，，，答：、两点相距12个单位长度；（2）若点在B点的右侧，则．所以．所以点表示的数为．若点在A，B点之间，则．所以．所以点表示的数为．综上，点表示的数为或．（3），答：点表示的数为．【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离及数轴上的动点问题．2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

(1)a的值为，的值为；(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．【答案】(1)(2)①

②或【分析】根据两点间的距离为且两点表示的数互为相反数即可求；再根据绝对值为非负数求出，从而得出结论；①根据相遇时走的路程是，根据速度时间路程列方程求出的值；②根据点的路程之差的绝对值等于列出方程，解方程即可.【详解】（1）∵,∴,∵,互为相反数,∴,∴,故答案为:；（2）①∵点的速度是每秒个单位长度，点在点处相遇,,∴点从点运动到点所用时间为秒，∵,∴,解得②设运动时间为秒，根据题意：,解得或或∴或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，进行分类讨论是解题的关键.3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，A，B点示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示

(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段的长度．(2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？(3)若将点A向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？【答案】(1)，见解析；(2)点D表示的数是或3；(3)移动后的点表示的数为；【分析】（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出的长度；（2）设点D表示的数是a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为．【详解】（1）解：由题意可得：A，B，C三点的位置如下所示，

∴；（2）解：设点D表示的数是a，∵，，解得：或3，∴点D表示的数是或3；（3）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解是解决问题的关键．4．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.例：如图1所示，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B是点A，C的“关联点”．

图1(1)如图2所示，点A表示数，点B表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B

的“关联点”的是;

图2(2)如图3所示，点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且P是点A，B

的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B

中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数.

图3【答案】(1)C2(2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可；（2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解．【详解】（1）解：∵∴点C1不