物理人教版必修一第二章匀变速直线运动的研究习题课2　追及与相遇问题

习题课2追及与相遇问题[学习目标]1.理解追及与相遇问题的实质.2.会分析追及问题的临界条件．一、对“相遇”与“追及”的认识1．相遇问题相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．2．追及问题同向运动的两物体，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度，即v1≥v2.例1如图1所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20m/s的速度匀速运动，乙车原来速度为8m/s，从距甲车80m处以大小为4m/s2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？图1答案10s解析设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为x甲＝v甲t，x乙＝v乙t＋eq\f(1,2)at2追上时的位移条件为x乙＝x甲＋x0，即20t＋80＝8t＋2t2整理得：t2－6t－40＝0解得：t1＝10s，t2＝－4s(舍)乙车经10s能追上甲车．二、追及问题的分析思路及临界条件1．追及问题中的两个关系和一个条件(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．2．能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0≤xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＞xB，则没有追上．3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．4．解题思路和方法分析物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程例2当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：(1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？答案(1)10s100m(2)25m解析(1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)，代入数据解得t1＝10s，x＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×2×102m＝100m.(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5s.Δx＝v2t2－eq\f(1,2)ateq\o\al(,22)＝10×5m－eq\f(1,2)×2×52m＝25m.后面速度小的做匀加速直线运动的物体追前面速度大的匀速运动的物体，一定能追上．v1<v2两者距离逐渐增加，v1>v2两者距离逐渐减小，即当v1＝v2时，两者具有最大的距离．例3某人离公共汽车尾部20m，以速度v向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1m/s2的加速度从静止启动，做匀加速直线运动．试问，此人的速度v分别为下列数值时，能否追上汽车？如果能，要用多长时间？如果不能，则他与汽车之间的最小距离是多少？(1)v＝6m/s；(2)v1＝7m/s.答案(1)不能2m(2)能4s解析(1)当汽车速度达到6m/s时，所需的时间t＝eq\f(v,a)＝eq\f(6,1)s＝6s在这段时间内的人的位移x1＝vt＝6×6m＝36m汽车的位移x2＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×1×62m＝18m因为x1<x2＋20m，所以人不能追上汽车，此时两车有最小距离，最小距离Δx＝x2＋20m－x1＝2m.(2)当汽车速度达到7m/s时，所需的时间t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(7,1)s＝7s在这段时间内的人的位移x1′＝v1t1＝7×7m＝49m汽车的位移x2′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×1×72m＝24.5m因为x1′>x2′＋20m，所以人能追上公共汽车．设经过t′时间人追上汽车，有v1t′＝eq\f(1,2)at′2＋20m解得t1′＝4s，t2′＝10s(舍去)若速度大的匀速直线运动的后者追速度小的匀加速直线运动的前者，v1>v2两者距离减小，v1<v2两者距离增大；能否追上的临界条件是速度相等时位移关系．若v1＝v2时x1≥x2＋s0(s0为两车初始距离)则能追上．若追不上，v1＝v2时，两者有最小距离．1．(用图象分析追及相遇问题)甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在如图2描述两车运动的v－t图中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是()图2A．在0～10s内两车逐渐靠近B．在10～20s内两车逐渐远离C．在t＝10s时两车在公路上相遇D．在5～15s内两车的位移相等答案D解析在0～10s内，乙车在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，则两车逐渐远离，故A错误．在10～20s内，乙车在甲的前方，乙的速度小于甲的速度，则两车逐渐靠近．故B错误．根据图象的“面积”等于物体的位移大小，可以看出，在t＝10s时乙车的位移大于甲车的位移，t＝0时刻又在同一位置出发，所以在t＝10s时两车没有相遇，故C错误．在5～15s内两车图线的“面积”相等，则通过的位移相等．故D正确．2．(追及问题分析)一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？(2)在汽车追上自行车前，当v汽<v自时，两者间的距离如何变化？当v汽>v自时，两者间的距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？答案见解析解析(1)因为汽车做加速运动，自行车做匀速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即eq\f(1,2)at2＝v自t，得：t＝eq\f(2v自,a)＝eq\f(2×6,3)s＝4sv汽＝at＝3×4m/s＝12m/s.(2)开始阶段，v汽<v自，两者间的距离逐渐变大．后来v汽>v自，两者间的距离又逐渐减小．所以汽车追上自行车前，当v汽＝v自时，两者距离最大．设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则at1＝v自，代入数据得t1＝2s此时x自′＝v自t1＝6×2m＝12mx汽′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×3×22m＝6m最大距离Δx＝x自′－x汽′＝6m.3．(避碰问题分析)一辆货车以8m/s的速度在平直公路上行驶，由于调度失误，在后面600m处有一辆客车以72km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2000m才能停止．求：(1)客车滑行的加速度大小；(2)通过计算分析两车是否会相撞．答案(1)0.1m/s2(2)见解析解析(1)设v2＝72km/h＝20m/s，由v2－veq\o\al(,02)＝2ax得客车刹车的加速度大小为a＝eq\f(v\o\al(,22),2x)＝eq\f(202,2×2000)m/s2＝0.1m/s2.(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则v2－at＝v1，t＝120s货车在该时间内的位移x1＝v1t＝8×120m＝960m客车在该时间内的位移x2＝eq\f(v1＋v2,2)t＝1680m位移大小关系：x2＝1680m>600m＋x1＝1560m，故会相撞．课时作业一、选择题(1～2为单项选择题，3～5为多项选择题)1．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图1所示，由图可知()图1A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B．t＝20s时，乙追上甲C．在t＝20s之前，甲比乙运动快；在t＝20s之后，乙比甲运动快D．由于乙在t＝10s时才开始运动，所以t＝10s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离答案C解析从题图中看出开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20s，D选项错误．2．甲车以3m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止出发，以4m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车速度方向一致．在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是()A．18m B．24mC．22m D．28m答案B解析乙车从静止开始做匀加速直线运动，落后甲2s，则开始阶段甲车在前．当乙车速度小于甲车的速度时，两车距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两车距离减小，则当两车速度相等时距离最大．即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，解得：t乙＝6s；两车距离的最大值为Δx＝x甲－x乙＝eq\f(1,2)a甲(t乙＋2)2－eq\f(1,2)a乙teq\o\al(,乙2)＝24m，故选B.3．A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时()A．两质点速度相等B．A与B在这段时间内的平均速度相等C．A的瞬时速度是B的2倍D．A与B的位移相同答案BCD解析设A的加速度为a，B的速度为v，经过时间t，A、B再次位于同一位置，由题意可得eq\f(1,2)at2＝vt，t＝eq\f(2v,a)，故此时A的速度v′＝at＝2v，所以A错误，C正确；由题意知A、B在t时间内位移相同，根据平均速度的定义式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)，可知A与B在这段时间内的平均速度相等，所以B、D正确．4．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移x(m)随时间t(s)变化的规律：汽车为x＝10t－eq\f(1,4)t2，自行车为x＝6t，则下列说法正确的是()A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速运动B．不能确定汽车和自行车各做什么运动C．开始经过路标后较小时间内汽车在前，自行车在后D．当自行车追上汽车时，它们距路标96m答案ACD解析汽车的位移时间关系为x＝10t－eq\f(1,4)t2，可知汽车做匀减速直线运动，自行车的位移时间关系为x＝6t，可知自行车做匀速直线运动，选项A正确，B错误；开始阶段汽车的初速度大于自行车的速度，所以在较小时间内汽车的位移大于自行车的位移，汽车在前，自行车在后，选项C正确；根据10t－eq\f(1,4)t2＝6t得t＝16s，此时距路标的距离s＝96m，选项D正确．5．一辆汽车正在以v＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x0＝33m处有一只狗，如图2甲所示，若从司机看见狗开始计时(t＝0)，司机采取了一系列动作．整个过程中汽车的运动规律如图乙所示，g取10m/s2.则下列判断正确的是()图2A．汽车先做匀速运动再做反向匀减速运动B．汽车减速运动的加速度大小为5m/s2C．若狗正以v′＝4m/s的速度与汽车同向奔跑，则不能摆脱被撞的噩运D．汽车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离为48.4m答案BC解析汽车先做匀速运动，再做同方向的匀减速运动，A错误；汽车做匀减速运动的加速度为a＝－eq\f(20,4)m/s2＝－5m/s2，B正确；当汽车由v＝20m/s减速到v1＝4m/s时，所需时间为t＝eq\f(Δv,a)＝eq\f(4－20,－5)s＝3.2s，司机的反应时间为t1，从司机看到狗到汽车速度减为v1＝4m/s时间内，汽车所通过的位移为x1＝vt1＋eq\f(v\o\al(,12)－v2,2a)＝(20×0.5＋eq\f(42－202,－2×5))m＝48.4m，而狗通过的位移为x2＝v′(t1＋t)＝4×(0.5＋3.2)m＝14.8m，x1＞x2＋x0＝47.8m，所以狗将被撞，C正确；汽车从司机看见狗至停止运动的时间段内前进的距离为x3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.5＋4.5×20×\f(1,2)))m＝50m，D错误．二、非选择题6．慢车以0.1m/s2的加速度从车站启动开出，同时在距车站2km处，在与慢车平行的另一轨道上，有一辆以72km/h的速度迎面开来的快车开始做匀减速运动，以便到站停下，问：(1)两车何时错车？(2)错车点离车站多远？答案(1)100s(2)500m解析(1)a1＝0.1m/s2，v＝72km/h＝20m/s，快车做匀减速直线运动的加速度大小a2＝eq\f(v2,2x)＝eq\f(400,4000)m/s2＝0.1m/s2，设经过t时间开始错车，则有：eq\f(1,2)a1t2＋vt－eq\f(1,2)a2t2＝x，代入数据解得t＝100s.(2)由位移时间公式可得x′＝eq\f(1,2)a1t2＝eq\f(1,2)×0.1×1002m＝500m.7．已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10m/s，B车在后，速度v2＝30m/s，B车在距A车x0＝75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过x＝180m才能停下来．求：(1)B车刹车过程的加速度大小；(2)B车刹车时A仍按原速率行驶，两车是否会相撞？(3)若相撞，求B车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求两车的最小距离．答案(1)2.5m/s2(2)两车会相撞(3)6s解析(1)设B车加速度大小为aB，刹车至停下来的过程中，由veq\o\al(2,2)＝2aBx解得：aB＝2.5m/s2(2)B车在开始刹车后t时刻的速度为vB＝v2－aBtB车的位移xB＝v2t－eq\f(1,2)aBt2A车的位移xA＝v1t设t时刻两车速度相等，vB＝v1解得：t＝8s将t＝8s代入公式得xB＝160m，xA＝80m因xB＞xA＋x0＝155m故两车会相撞．(3)设B车从开始刹车到两车相撞所用时间为t′，则满足xB＝xA＋x0代入数据解得：t1′＝6s，t2′＝10s(不符合题意)故B车从开始刹车到两车相撞用时6s.8．公交车作