福建省龙海市程溪中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）

20172018高二年下学期数学期中考试卷班级姓名号数一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1+i-2i=(  )A.-12-12i B.-函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为A.4x-y+2=0 B.4x-y-2=0 C.4x+y+2=0 D.4x+y-2=0复数i32i-1(i为虚数单位)的共轭复数是A.-25+15i B.2若1a(2x+1x)dx=3+A.6 B.4 C.3 D.2已知a∈R，i为虚数单位，若(1-i)(a+i)为纯虚数，则a的值为(  )A.2 B.1 C.-2 D.-1函数f(x)=exx的图象大致为A. B.

C. D.已知f(x)=x2+3xf'(1)，则A.1 B.2 C.4 D.8若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是(  )

A.B.

C.D.观察下列一组数据

a1=1，

a2=3+5，

a3=7+9+11，

a4=13+15+17+19，

…A.91 B.89 C.55 D.45设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0，当x>0时，有xf'(x)-f(x)x2<0恒成立，则f(x)xA.(-2，0)∪(2，+∞) B.(-2，0)∪(0如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案(  )A.180种 B.240种 C.360种 D.420种已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞，0)时，成立，若a=(20.6)⋅f(20.6A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若(1+2x)5=a0+在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______．计算：-11(21-已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为12cr三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：

(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；

(2)两个唱歌节目不相邻；

(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R).若函数f(x)在x=1处有极值-4．

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)已知(2x+1x)n展开式前三项的二项式系数和为22．

(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)

求展开式中的常数项；

(III)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100].规定90分及其以上为合格．

(Ⅰ)求图中已知函数f(x)=a⋅exx(a∈R，a≠0)．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处切线的方程；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)当

答案和解析【答案】1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 7.A

8.C 9.A 10.B 11.D 12.B 13.121

14.1215.π

16.3VS17.解：(1)先排歌曲节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22A66=1440种排法．

(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有18.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b，依题意有f'(1)=0，f(1)=-4，

即3+2a+b=01+a+b=-4得a=2b=-7．

所以f'(x)=3x2+4x-7=(3x+7)(x-1)，

由f'(x)<0，得-73<x<1，

所以函数f(x)的单调递减区间(-73,1)．

(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-7x，f'(x)=3x19.解：由题意，(2x+1x)n展开式前三项的二项式系数和为22．

(Ⅰ)二项式定理展开：前三项系数为：Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n-1)2=22，

解得：n=6或n=-7(舍去)．

即n的值为6．

(Ⅱ)由通项公式Tk+1=C6k(2x)6-k20.解：(1)如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系

C-xyz．

则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(2，0，1)．

所以DC1=(-2，0，1)，B1C=(0，-2，-2).

21.解：(I)由直方图知.(0.01+0.02+0.06+0.07+a)×5=1．

解得a=0.04．

(Ⅱ)设事件A为“某名学员交通考试合格”．

由直方图知，P(A)=(0.06+0.02)×5=0.4．

(III)以题意得出X的取值为0，1，2，3．

P(X=0)=(1-0.4)3=0.216．

P(X=1)=C

X

0

1

2

3

P

0.216

0.432

0.2880.064E(X)=0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064=1.2．

22.解：(Ⅰ)由f(x)=a⋅exx，得：

f'(x)=ax⋅ex-aexx2=aex(x-1)x2，x≠0．

当a=1时，f'(x)=ex(x-1)x2．

依题意，即在x=1处切线的斜率为0．

把x=1代入f(x)=exx中，得f(1)=e．

则曲线f(x)在x=1处切线的方程为y=e．

(Ⅱ)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

由于f'(x)=ax⋅ex-aexx2=aex(x-1)x2．

①若a>0，

当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)为增函数；

当x<0和0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)为减函数．

②若a<0，

当x<0和0<x<1时，f'(x)>0，函数f(x)为增函数；

当x>1时，f'(x)<0，函数f(x)为减函数．

综上所述，a>0时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；单调减区间为(-∞，0)【解析】1.解：1+i-2i=(1+i)i-2i22.解：∵f(x)=x3+x

∴f'(x)=3x2+1

∴容易求出切线的斜率为4

当x=1时，f(x)=2

利用点斜式，求出切线方程为4x-y-2=0

故选B．3.解：复数i32i-1=i1-2i=i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-25+14.解：因为1a(2x+1x)dx=3+ln2，

所以(x25.解：∵(1-i)(a+i)=1+a+(1-a)i为纯虚数，

∴1+a=01-a≠0，解得：a=-1．

故选：D．

直接由复数代数形式的乘法运算化简(1-i)(a+i)6.解：函数f(x)=exx的定义域为：x≠0，x∈R，当x>0时，函数f'(x)=xex-exx2，可得函数的极值点为：x=1，当x∈(0，1)时，函数是减函数，x>1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B、D7.【分析】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解.本题求出f'(1)是关键步骤．先求出，令x=1，求出f'(1)后，导函数即可确定，再求．

【解答】解：，令x=1，得，

∴f'(x)=2x-3．

．

故选A．8.解：由y=f'(x)可得y=f'(x)有两个零点，x1，x2，且0<x1<x2，

当x<x1，或x>x2时，f'(x)<0，即函数为减函数，

当x9.解：观察数列{an}

中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19，…，

各组和式的第一个数为：1，3，7，13，…

即1，1+2，1+2+2×2，1+2+2×2+2×3，10.解：设g(x)=f(x)x，f(x)是R上的奇函数，∴g(x)为偶函数；

x>0时，g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0；

∴g(x)在(0，+∞)上单调递减，g(2)=0；

∴由g(x)>0得，g(x)>g(2)；

∴g(|x|)>g(2)；

∴|x|<2，且x≠0；

∴-2<x<0，或0<x<2；

∴f(x)x>0的解集为(-2，0)∪(0，2)．

故选：B．

可设g(x)=f(x)x，根据条件可以判断g(x)为偶函数，并可得到x>0时，11.解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，

若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；

或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，

若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，

故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案，

故选D．

若512.解：根据题意，令h(x)=xf(x)，

h(-x)=(-x)f(-x)=-xf(x)=-h(x)，则h(x)为奇函数；

当x∈(-∞，0)时，，则h(x)在(-∞，0)上为减函数，

又由函数h(x)为奇函数，则h(x)在(0，+∞)上为减函数，

a=(20.6)⋅f(20.6)=h(20.6)，b=(ln2)⋅f(ln2)=h(ln2)，c=(log218)⋅f(log13.解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=35；

再令x=-114.解：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B．

则由题意知，P(A)=59，P(AB)=5×49×8=518，

所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=15.解：∵y=1-x2表示x轴上方的半圆，

∴-111-16.解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．

∴根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，

∴根据体积相等可得13R(S1+S2+S3+S17.(1)先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；

(2)先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；

(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．

本题考查排列组合知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．18.此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力．

(1)首先求出函数的导数，然后令f'(x)=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．

(2)由(1)求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f(x)在[-1，19.(Ⅰ)利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n．

(Ⅱ)利用通项公式求解展开式中的常数项即可．

(III)利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．

本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题．20.(1)以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．

(2)21.(I)根据直方图知.(0.01+0.02+0.06+0.07+