高考数学一轮复习专练30平面向量的数量积

三十平面向量的数量积(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(ab),则a和b的夹角大小为()A.30° B.135° C.75° D.45°【解析】选D.由a⊥(ab),则a·(ab)=a2a·b=a2abcos<a,则11×2cos<a,b>=0,得cos<a,b>=22,0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·bA.9 B.3 C.6 D.9【解析】选D.因为a+b=5,所以a+b2=25,即得a2+b2又a-b=4,同理可得a2+b22a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是 ()A.(3,3) B.(3,3)C.(3,3) D.(3,3)【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3)2+12=2,所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b= (A.5 B.10 C.5 D.10【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,又因为a·b=10,a+b=5所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是 ()A.若a·c=b·c,则a=bB.若a+b=a-b,C.若a∥c,b∥c,则a∥bD.若a∥b,则a·b=a【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,则accos<a,c>=bccos<b,则acos<a,c>=bcos<b,c>,但cos<a,c>与cos<b,c>不一定相同,所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;对于B,若a+b=平方得a2+2a·b+b2=a22a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcos<a,ba·b=abcos<a,b>,若a∥b,则cos<a,b>=±1,若cos<a,b6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则 ()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量为32【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,而AD=2,OD=EDsin30°=12,则AO=32,|AE+AC|=2|AO|=3>|所以AD≠2(AE+AC),A不正确;对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cos60°=1=|AB|2,B正确;对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;对于D,EF=CB=e,<AE,EF>=150°,|AE|=2|AF|cos30°=3,向量AE在CB方向上的投影向量为|AE|cos<AE,CB>·CBCB=3cos150°(e)=32D正确.7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=________.

【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,由余弦定理知,cos∠ACB=52+52-(5)22×5×5=910,所以AC·CB=CA·CB=|CA答案:458.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2ab与b的夹角是__________【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2ab)·b=2a·bb=2×1×2cosπ34=2,且2a-b=设向量2ab与b的夹角为θ,所以cosθ=(2a-b)·因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2ab与b的夹角为2π答案:2π9.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;(2)若(a+kc)⊥(a2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.【解析】(1)设d=λa(λ<0),则d=λa=(λ,2λ),由d=25可得λ2+(2λ)2=25⇒λ(2)a+kc=(1+3k,2+3k),a2b=(3,0),由题意得3(1+3k)=0⇒k=13所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模为(a+kc)·a【加练备选】1.(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足a=2,b=(1,1),a·b=2,则sin<a+b,b>= ()A.12 B.22 C.32【解析】选D.由(a+b)·b=a·b+b2=2+2=0,则cos<a+b,b>=(a由<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=π2,故sin<a+b,b>=12.(多选题)已知a=b=a+b=1,下述结论正确的是 (A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<ab,b>=π6 D.(a2b)·a【解析】选AB.因为a=b=a+所以a+b2=a2+2a·b+b2=1⇒a·b=12⇒<a,对于A项,a-b2=a22a·b+b2=3⇒a-b对于B项,(a+b)·b=a·b+b2=12,B正确对于C项,cos<ab,b>=(a-b)·ba-bb=a·b-b23=3对于D项,(a2b)·a=a22a·b=2≠0,故D错误.【能力提升练】10.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.6 B.5 C.5 D.6【解析】选C.c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,即9+3t+165|c|=11.(5分)已知向量a=(2,1),b=(3,1),下列说法不正确的是 ()A.与向量a方向相同的单位向量是(255,B.(a+b)⊥aC.向量a在向量b上的投影向量是102D.a+2【解析】选C.对于A,因为向量a=(2,1),b=(3,1),所以与向量a共线且方向相同的单位向量为aa=(2,1)22+12=(255,55),故A正确,不符合题意;对于B,因为a=(2,1),b=(3,1),故a+b=(1,2),所以(a+b)·a=1×2+2=0,故(a+b)⊥a成立,故B正确,不符合题意;对于C,向量a在向量b上的投影向量是a(a·bab)·bb=2×(-3)+1×110·b=12b,故12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是 ()A.ACAE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量为3【解析】选CD.对A,ACAE=EC,显然由题图可得EC与BF为相反向量,故A错误;对B,由图易得AE=AC,直线AD平分∠EAC,且△ACE为正三角形,根据平行四边形法则有AC+AE=2AH,与AD共线且同方向,易知△EDH,△AEH均为含π6角的直角三角形,故EH=3AH=3EH=3DH,则AD=4DH,而2AH=6DH,故2AHAD故AC+AE=32AD,故B错误;对C,因为∠BCD=∠ABC=AB=BC=DC,所以∠BDC=∠DBC=π6,则∠ABD=π又因为AD∥BC,所以∠DAB=π3,AD=2ABAD·AB=ADABcosπ3=2AB2×12=AB2对D,连接AE,作CG垂直AB所在直线,垂足为G,记AB=m,由C选项可知EA⊥AB,所以EC在AB上的投影向量为AG,易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m,所以BG=12m,所以AG=3故AG=32AB,故D13.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=AE=2,AF=6,则AC·BD=__________.

【解析】设AB=a,AD=b,由DE=12EC,BF=12FC,可得AE=AD+DE=1AF=AB+BF=a+13b,又因为AE=2,AF=6所以AE2=(13a+b)2=19a2+b2+23a·b=2,AF2=(a+13b)2=两式相减得到89a289b2=4,可得a2b2=又由AC=a+b,BD=ba,所以AC·BD=(a+b)·(ba)=b2a2=92答案:9【加练备选】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足OE=12ED,则EO·EA的值为【解析】OA·OB=1×2×cos<OA,OB>=2cos<OA,OB>=1,cos<OA,OB>=12由于0≤<OA,OB>≤π,所以<OA,OB>=2π3.AB=12+S△OAB=12×7×OD=12×1×2×sin2π3,OD=37,由于OE=12ED,所以OE=ED=37×23=221,DA=12-(37)所以cos∠OEA=1212+4212-122×121×421=12答案:214.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a2b).(1)求向量a,b的夹角;(2)若ab=(12,32),向量c与向量ab共线,且|c|=|a+b|,求向量【解析】(1)因为a⊥(a2b),所以a·(a2b)=a22a·b=0,又因为a,b是单位向量,设a与b的夹角为θ,所以a·(a2b)=a22a·b=12cosθ=0,解得cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=π3(2)因为|c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=3.设c=(x,y),则有|c|=x2+y2=3,因为向量c与向量所以32x=12y,解得y=3x,联立两式解得:x=所以c为(32,32)或(32,15.(10分)(2023·苏州模拟)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是边AB(含端点)(1)若AQ=25AB,O点为AP与CQ的交点,请用AB,AC表示(2)若点Q使得AP⊥CO,求cos∠BAC的取值范围.【解题指南】(1)由已知得AP=23AB+13AC,再由A,O,P三点共线,令AO=λAP,由AQ=25AB得AO=5λ3AQ+λ3AC,然后由(2)由(1)中信息,设AQ=tAB(0≤t≤1),则CQ=tABAC,再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律,求出cos∠BAC,借助函数的单调性求解作答.【解析】(1)因为BP=13BC,所以AP=23AB+13AC.又A所以有λ∈R,AO=λAP=2λ3AB+λ3AC,又AB=52AQ,即有AO=5λ3AQ+λ3AC,而C,O,Q三点共线,于是5λ3+(2)由(1)知,AP=13AC+23AB,而CQ=AQAC,设AQ=tAB(0≤t≤1),则CQ=由AP⊥CO,得AP·CQ=0,即(13AC+23AB)·(整理得t3AC·AB13AC2+23tAB223AC·AB=0,于是cos∠BAC=3-83t2(t-2)=-83(t-2)-732(t-2)=4376(t-2),显然函数y【加练备选】如图,设△ABC中的∠BAC,∠ABC,∠ACB所对的边是a,b,c,AD为∠BAC的平分线,已知AB=1,AD=34AB+14AC,ABAB·ACAC=12,点E,F分别为边AB,AC上的动点,线段EF交AD于点G,且(1)求边BC的长度;(2)设AG=kAD,AE=λAB,AF=μAC,当AG·EF=4528时,求k的值【解题指南】(1)由ABAB·ACAC=12,可得∠BAC=π3,过D分别作DN∥AB,交AB,AC于点M,N,由平行线分线段成比例可得AMAB=34,ANAC进而可得BDDC=ABAC=BMAM=13,结合余弦定理可得a2=b2+c22bccos∠(2)由△AEF的面积是△ABC面积的一半,可得λμ=12①,由E,F,G三点共线,得k=2由AG·EF=4528,得27μ-9λ12μ+4【解析】(1)由ABAB·ACAC=12,得cos∠BAC=12,又因为∠BAC∈(0,π),所以∠又因为AD=34AB+14AC,过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点所以AMAB=34,ANAC=14,所以BDDC=ABAC=BMAM=1又因为a2=b2+c22bccos∠BAC=7,所以BC=a=7;(2)因为AG=kAD,AE=λAB,AF=μAC(0≤λ,μ,k≤1),△AEF的面积是△ABC面积的一半,所以12|AE|·|AF|sin∠BAC=12×12|AB|·|