第03讲平行线的性质

第03讲平行线的性质知识点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言：∵a∥b，∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）．性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．几何语言：∵a∥b，∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等），性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言：∵a∥b，∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）．知识点2：命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题．组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题．题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题．考点剖析考点一：利用平行线性质求角度【典例1】如图，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，故选：B．【变式11】如图，直线，直线，若，则（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】，，，，，，故选：B．【变式12】如图，，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．∵，∴，∴．故选：A．【变式13】如图，直线，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，∴，故选：B．考点二：利用平行线性质解决三角板问题【典例2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，故选：D．【变式21】将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点落在边上，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：．【变式22】将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（

）

A．12° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴．故选：B．【变式23】已知，一块含角的直角三角形如图放置，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过P作，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．

考点三：利用平行线性质解决折叠问题【典例3】如图，将长方形沿折叠，使点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，由折叠可知，在长方形中，，，故选：D．【变式31】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】D【解析】∵，∴，∵折叠，∴，∴，故①正确；∵，∴，又，∴，∴，故②正确；∵，∴，又，∴，故③正确；∵，，又，∴，∴，∵，∴，故④正确；根据折叠的性质可得，故⑤正确，故选：D．【变式32】将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】标记点，如图所示，

∵，∴，又∵，∴，由折叠可得，，∴，故选：C．考点四：平行线性质的实际应用【典例4】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次右拐，第二次左拐C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次左拐【答案】B【解析】如图，由选项可知，，，故第一次右拐，第二次左拐，故选：．【变式41】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（）

A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐【答案】B【解析】由题意得，过点作，如图所示，

某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，.，.若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为向左拐.故选：B.【变式42】如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则．

【答案】【解析】过点作．

，，．，，同理：．，故答案为：．【变式43】如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是度．

【答案】【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．考点五：利用平行线的判定与性质的综合【典例5】如图，在△中，，F、G是、上的两点，．

(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【变式51】如图，已知，．(1)求证：；(2)如果，求的度数．【解析】（1）∵，∴，∴．（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴．【变式52】如图，已知．

(1)判断和的位置关系，并说明理由；(2)若平分，求和的度数．【解析】（1），理由如下：，，，，，，，即，．（2），，平分，，，，，，，，．考点六：命题的判定【典例6】下列语句中，是命题的有（

）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的有4个，故选C．【变式61】下列语句是命题的是（

）A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角【答案】D【解析】A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误；B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误；D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确．故选：D．【变式62】下列语句不是命题的是（

）A．两条直线相交只有一个交点 B．大于直角的角是钝角C．同旁内角互补 D．作的平分线【答案】D【解析】A、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；B、大于直角的角是钝角，是命题，不符合题意；C、同旁内角互补，是命题，不符合题意；D、作的平分线，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意．故选：D．考点七：真假命题的判断【典例7】下列命题中，是真命题的是（

）A．同角的余角互补 B．同位角相等C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角【答案】C【解析】A.同角的余角相等，不符合题意；B.同位角不一定相等，不符合题意；C.两直线平行，内错角相等，符合题意；D.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意．故选：C．【变式71】下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意．真命题有2个，故选：B．【变式72】下列命题中，是假命题的是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两点之间，线段最短【答案】C【解析】A、“同位角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意；B、“对顶角相等”是真命题，故不符合题意；C、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题，缺少平行条件，故符合题意；D、“两点之间，线段最短”是真命题，故不符合题意．故选C．考点八：命题的改写【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”：．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【变式81】把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果……那么……”的形式．【答案】如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角【解析】“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是：一个角是锐角，结论是：这个锐角的补角大于它的余角，写成“如果……那么……”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角，故答案为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角．【变式82】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式：．【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【解析】命题“平行于同一直线的两直线平行”可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．考点九：命题的证明过程【典例9】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．已知：______，求证：______．（只须填写序号）证明：【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）【解析】已知①②，求证∶③，证明∶∵，∴，∵平分，∴，∴．故答案为∶①②；③．【变式91】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．【解析】已知,DE∥BC，∠1＝∠2.求证：∠B＝∠C.证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.【变式92】如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，；②；③.【解析】由①②得到③已知：如图，，，．求证：．证明：∵，，∴，又∵BE∥CF，∴，∴，∴．由①③得到②已知：如图，，，．求证：．证明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．过关检测一、选择题1．如图，直线，被直线所截，且．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴，故选C．2．下列语句是命题的是（

）A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角【答案】D【解析】A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误；B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误；D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确．故选：D．3．下列图形中，由能得到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】A．由可得，故A选项错误；B．如图，

∵∴，∵，∴．故B选项正确；C．由可得，故C选项错误；D．由不能得到，，故D选项错误．故选：B4．如图，点在点的正东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，

依题意，，∴，故选：A．5．如图，是的角平分线，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，．∵是的角平分线，∴，∴，故选：C．6．下列命题，其中真命题有(

)①相等的两个角是对顶角；②同旁内角互补；③垂线段最短；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则；⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①相等的两个角是对顶角，是假命题；②同旁内角互补，是假命题；③垂线段最短，是真命题；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题；⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题；⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题．所以真命题的③⑤⑥，共3个，故选：C．7．如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，

∵，∴∴∵，∴，∵，∴，故选：C．8．如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（

）

A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等【答案】D【解析】设该组平行线间的距离为h，平行四边形的面积，三角形的面积，梯形的面积，∴三个图形的面积相等，故选：D．9．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，

由题意可知，∴，∴．故选C．10．卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是