举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）（含答案及解析）

题7.4复数的四则运算（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①−1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，则a−bi一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则A．3 B．2 C．0 D．12．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为1,−2，则z−2z=（A．−1−6i B．C．1−6i D．3．（3分）已知复数z=1+3i3−mim∈A．3 B．1 C．−1 D．−34．（3分）若复数z满足z1+i=2i，则A．45 B．42 C．255．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知z=1+i1−i−A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程fx=xA．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数z=−1+2iiA．z=2−i B．C．z=5 10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1=1+i，点B对应的复数为z2=1+2i，点A．点C位于第二象限 B．z1+z3=z11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i为虚数单位，复数z1=a−2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=−12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数z1,z2是关于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数z=i+i214．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是1−i，−1+2i，则向量CD对应的复数是.15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）已知m是实数，关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z16．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：(1)1+2i(2)5i(3)a+bi18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）z+1；（2）z−i；（3）z+(−2+i).19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数z满足z+z=8−4i，且z是关于x的实系数一元二次方程20．（8分）（2022·高一单元测试）复数z=a+bia,b>0满足(1)求复数z；(2)求z1−21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数a1+b1i，a2+b2i，a3+b(1)z1(2)z1(3)z122．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，ω=z+9(1)当−2<ω<10时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；(2)当−4<ω<2时，若u=α−zα+z（α>0）为纯虚数，求α的值和专题7.4复数的四则运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①−1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，则a−bi一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则A．3 B．2 C．0 D．1【解题思路】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得z=i【解答过程】对于①，−1的平方根有两个，分别为i和−i，故①对于②，1的平方根是−1和1，故②错误；对于③，令a=1,b=0，则a+bi=1是方程x2+x−2=0的一个根，但方程x2实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；对于④，设z=i的平方根为x+yix,y∈R，则故x2−y2=0所以z=i的平方根为22+22i或综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为1.故选：D.2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为1,−2，则z−2z=（A．−1−6i B．C．1−6i D．【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.【解答过程】由题意知z=1−2i，z故选：A.3．（3分）已知复数z=1+3i3−mim∈A．3 B．1 C．−1 D．−3【解题思路】求出复数z的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.【解答过程】z=1+3因为复数z是纯虚数，则3−3m=09+m≠0，解得m=1故选：B.4．（3分）若复数z满足z1+i=2i，则A．45 B．42 C．25【解题思路】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义以及复数的运算可得出z+i【解答过程】因为z1+i=2i，则所以，z+i因此，z+i故选：D.5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知z=1+i1−i−A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解题思路】利用复数的运算化简复数z，可得其共轭复数z，利用复数的几何意义可得出结论.【解答过程】因为i4=1，则i2022所以，z=1−i，因此，复数故选：D.6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．【解题思路】将1−i代入方程，利用复数相等得到方程组解出p,q【解答过程】由题意可得1−i即1−2i所以p+q−p+2所以p+q=0p+2=0，解得p=−2所以p+qi故选：C.7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1所以由复数加法的几何意义可得，z2故选：C.8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程fx=xA．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解【解题思路】根据给定条件，设x=mi【解答过程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，关于x的方程则有f(mi)=mi，即−am2+c+bmi方程f(x)=x化为x2+m方程f(f(x))=x化为：a2整理得(a2x2+2ax+因此方程f(f(x))=x有两个纯虚数根±mi而方程a2x2因此方程a2x2所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数z=−1+2iiA．z=2−i B．C．z=5 【解题思路】先化简复数z，然后求出z的共轭复数即可验证选项AB，求出复数z的模验证选项C，化简选项D即可【解答过程】因为z=−1+2所以z=2−z的虚部为−1，故选项B错误；由z=由1+i所以z=3−故选项D错误，故选：AC.10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1=1+i，点B对应的复数为z2=1+2i，点A．点C位于第二象限 B．z1+z3=z【解题思路】由题意画出图形，求出C的坐标，得到z3，然后逐一分析【解答过程】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，∵OABC为平行四边形，则C(0,1)，∴z3=i，点z1+z|z1−z1z3故选：BC．11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i为虚数单位，复数z1=a−2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=−【解题思路】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.【解答过程】A选项，z1B选项，z1C选项，2zz1若2z1+z2D选项，当a=0时，z2故选：AC.12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数z1,z2是关于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R【解题思路】在复数范围内解方程得z1【解答过程】Δ=b2−4<0，∴x=−b±z1z1z1z2=1，∴z1b=1时，z1=−12+z22=z1故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数z=i+i2+i【解题思路】先利用等比数列的前n项和求出z=i−i【解答过程】z====i因为i4n=1,i所以i2023=−i故答案为：i.14．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是1−i，−1+2i，则向量CD对应的复数是2−3i.【解题思路】利用复数的几何意义，由OA−【解答过程】因为向量OA，OB对应的复数分别是1−i，−1+2i，所以OA故答案为：2−3i.15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）已知m是实数，关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z1,【解题思路】根据Δ<0求出参数m的取值范围，再由韦达定理及虚根成对原理求出z1，z2【解答过程】解：因为关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0则Δ=(m+2)2−4(m所以z1+z根据虚根成对原理可得z1=z2，又因为z1于是m+222+1=m2+3m+1故答案为：−4±2716．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是（1）．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1【解题思路】设出复数z1、z2，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数z1【解答过程】设z1=a+bi,z=ac+bd+bc−ad对于（2），z1z12+2对于（3），取z1=i,z2=1+i，显然满足z对于（4），取z1=1+2i,z2=2+i，显然满足z故答案为：（1）.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：(1)1+2i(2)5i(3)a+bi【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；【解答过程】(1)解：1+2i(2)解：5i(3)解：a+bi18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）z+1；（2）z−i；（3）z+(−2+i).【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【解答过程】（1）复数1与复平面内点A(1,0)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数−i与复平面内点A(0,−1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数−2+i与复平面内点A(−2,1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数z满足z+z=8−4i，且z是关于x的实系数一元二次方程【解题思路】设z=a+bia,b∈R,根据条件求出z，由z和z为实系数一元二次方程【解答过程】设z=a+bia,b∈R，则得a2+所以z=3+4i，z=3−4i所以m=−z+20．（8分）（2022·高一单元测试）复数z=a+bia,b>0满足(1)求复数z；(2)求z1−【解题思路】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可；（2）有复数的除法与乘方运算求解即可【解答过程】（1）因为z=a+bi所以z2则由题意可得：a2+b所以z=1+i（2）z1−21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数a1+b1i，a2+b2i，a3+b(1)z1(2)z1(3)z1【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）【解答过程】（1）z1z2则z1（2）z=az==a则z1（3）z=az===a则z122．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，ω=z+9(1)当−2<ω<1