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文档简介

题7.4复数的四则运算(重难点题型检测)【人教A版2019】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·高一课时练习)在复数范围内,有下列命题:①−1的平方根只有i;②i是1的平方根;③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根,则a−bi一定是方程的另一个根;④若z为纯虚数i,则A.3 B.2 C.0 D.12.(3分)(2022秋·云南·高三阶段练习)已知复数z在复平面内对应的点为1,−2,则z−2z=(A.−1−6i B.C.1−6i D.3.(3分)已知复数z=1+3i3−mim∈A.3 B.1 C.−1 D.−34.(3分)若复数z满足z1+i=2i,则A.45 B.42 C.255.(3分)(2022秋·江苏南通·高三阶段练习)已知z=1+i1−i−A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.(3分)(2023春·福建泉州·高三阶段练习)已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA.4 B.5 C.22 D.7.(3分)(2022春·北京西城·高一阶段练习)在复平面内,O为原点,四边形OABC是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为z1,z2,z3,若z1=1, z3=−2+A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i8.(3分)(2023秋·上海·高二期末)设fx=ax2+bx+c(a、b、c∈R).已知关于x的方程fx=xA.方程只有虚根解,其中两个是纯虚根B.可能方程有四个实数根的解C.可能有两个实数根,两个纯虚数根D.可能方程没有纯虚数根的解二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022秋·湖南长沙·高三阶段练习)已知复数z=−1+2iiA.z=2−i B.C.z=5 10.(4分)(2022春·安徽合肥·高一期中)在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点A.点C位于第二象限 B.z1+z3=z11.(4分)(2023秋·河北唐山·高三期末)已知i为虚数单位,复数z1=a−2iA.zB.zC.若2z1D.若z2=−12.(4分)(2023秋·重庆·高三学业考试)已知复数z1,z2是关于x的方程A.z1=z2 B.z1z2∈R三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·全国·高三专题练习)已知复数z=i+i214.(4分)(2023·高一课时练习)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是1−i,−1+2i,则向量CD对应的复数是.15.(4分)(2022·吉林长春·长春模拟预测)已知m是实数,关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z16.(4分)(2022春·上海浦东新·高一期末)以下四个命题中所有真命题的序号是.(1)若z1、z2∈(2)若z1、z2∈(3)若z1、z2∈C,z1(4)若z1、z2∈C,z1四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022春·高一课时练习)计算:(1)1+2i(2)5i(3)a+bi18.(6分)(2022·高一课时练习)如图,向量OZ对应的复数是z,分别作出下列运算的结果对应的向量:(1)z+1;(2)z−i;(3)z+(−2+i).19.(8分)(2023·高三课时练习)已知复数z满足z+z=8−4i,且z是关于x的实系数一元二次方程20.(8分)(2022·高一单元测试)复数z=a+bia,b>0满足(1)求复数z;(2)求z1−21.(8分)(2023·高一课时练习)已知复数a1+b1i,a2+b2i,a3+b(1)z1(2)z1(3)z122.(8分)(2022·高一单元测试)已知z为复数,ω=z+9(1)当−2<ω<10时,求复数z在复平面内对应的点Z的集合;(2)当−4<ω<2时,若u=α−zα+z(α>0)为纯虚数,求α的值和专题7.4复数的四则运算(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·高一课时练习)在复数范围内,有下列命题:①−1的平方根只有i;②i是1的平方根;③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根,则a−bi一定是方程的另一个根;④若z为纯虚数i,则A.3 B.2 C.0 D.1【解题思路】对于①②,根据平方根的定义即可判断;对于③,举反例即可排除;对于④,利用平方根的定义与复数相等的性质求得z=i【解答过程】对于①,−1的平方根有两个,分别为i和−i,故①对于②,1的平方根是−1和1,故②错误;对于③,令a=1,b=0,则a+bi=1是方程x2+x−2=0的一个根,但方程x2实际上,只有实系数方程的虚根才是共轭复数,故③错误;对于④,设z=i的平方根为x+yix,y∈R,则故x2−y2=0所以z=i的平方根为22+22i或综上:①②③错误,④正确,故真命题的个数为1.故选:D.2.(3分)(2022秋·云南·高三阶段练习)已知复数z在复平面内对应的点为1,−2,则z−2z=(A.−1−6i B.C.1−6i D.【解题思路】由复数的坐标表示,共轭复数定义可得答案.【解答过程】由题意知z=1−2i,z故选:A.3.(3分)已知复数z=1+3i3−mim∈A.3 B.1 C.−1 D.−3【解题思路】求出复数z的代数形式,再根据纯虚数的概念列式计算.【解答过程】z=1+3因为复数z是纯虚数,则3−3m=09+m≠0,解得m=1故选:B.4.(3分)若复数z满足z1+i=2i,则A.45 B.42 C.25【解题思路】利用复数的除法化简复数z,利用共轭复数的定义以及复数的运算可得出z+i【解答过程】因为z1+i=2i,则所以,z+i因此,z+i故选:D.5.(3分)(2022秋·江苏南通·高三阶段练习)已知z=1+i1−i−A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解题思路】利用复数的运算化简复数z,可得其共轭复数z,利用复数的几何意义可得出结论.【解答过程】因为i4=1,则i2022所以,z=1−i,因此,复数故选:D.6.(3分)(2023春·福建泉州·高三阶段练习)已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA.4 B.5 C.22 D.【解题思路】将1−i代入方程,利用复数相等得到方程组解出p,q【解答过程】由题意可得1−i即1−2i所以p+q−p+2所以p+q=0p+2=0,解得p=−2所以p+qi故选:C.7.(3分)(2022春·北京西城·高一阶段练习)在复平面内,O为原点,四边形OABC是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为z1,z2,z3,若z1=1, z3=−2+A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点,四边形OABC是复平面内的平行四边形,又因为z1所以由复数加法的几何意义可得,z2故选:C.8.(3分)(2023秋·上海·高二期末)设fx=ax2+bx+c(a、b、c∈R).已知关于x的方程fx=xA.方程只有虚根解,其中两个是纯虚根B.可能方程有四个实数根的解C.可能有两个实数根,两个纯虚数根D.可能方程没有纯虚数根的解【解题思路】根据给定条件,设x=mi【解答过程】a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,关于x的方程则有f(mi)=mi,即−am2+c+bmi方程f(x)=x化为x2+m方程f(f(x))=x化为:a2整理得(a2x2+2ax+因此方程f(f(x))=x有两个纯虚数根±mi而方程a2x2因此方程a2x2所以选项A正确,选项B,C,D均不正确.故选:A.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022秋·湖南长沙·高三阶段练习)已知复数z=−1+2iiA.z=2−i B.C.z=5 【解题思路】先化简复数z,然后求出z的共轭复数即可验证选项AB,求出复数z的模验证选项C,化简选项D即可【解答过程】因为z=−1+2所以z=2−z的虚部为−1,故选项B错误;由z=由1+i所以z=3−故选项D错误,故选:AC.10.(4分)(2022春·安徽合肥·高一期中)在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点A.点C位于第二象限 B.z1+z3=z【解题思路】由题意画出图形,求出C的坐标,得到z3,然后逐一分析【解答过程】解:如图,由题意,O(0,0),A(1,1),B(1,2),∵OABC为平行四边形,则C(0,1),∴z3=i,点z1+z|z1−z1z3故选:BC.11.(4分)(2023秋·河北唐山·高三期末)已知i为虚数单位,复数z1=a−2iA.zB.zC.若2z1D.若z2=−【解题思路】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.【解答过程】A选项,z1B选项,z1C选项,2zz1若2z1+z2D选项,当a=0时,z2故选:AC.12.(4分)(2023秋·重庆·高三学业考试)已知复数z1,z2是关于x的方程A.z1=z2 B.z1z2∈R【解题思路】在复数范围内解方程得z1【解答过程】Δ=b2−4<0,∴x=−b±z1z1z1z2=1,∴z1b=1时,z1=−12+z22=z1故选:ACD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·全国·高三专题练习)已知复数z=i+i2+i【解题思路】先利用等比数列的前n项和求出z=i−i【解答过程】z====i因为i4n=1,i所以i2023=−i故答案为:i.14.(4分)(2023·高一课时练习)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是1−i,−1+2i,则向量CD对应的复数是2−3i.【解题思路】利用复数的几何意义,由OA−【解答过程】因为向量OA,OB对应的复数分别是1−i,−1+2i,所以OA故答案为:2−3i.15.(4分)(2022·吉林长春·长春模拟预测)已知m是实数,关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z1,【解题思路】根据Δ<0求出参数m的取值范围,再由韦达定理及虚根成对原理求出z1,z2【解答过程】解:因为关于x的方程x2−m+2x+m2+3m+1=0则Δ=(m+2)2−4(m所以z1+z根据虚根成对原理可得z1=z2,又因为z1于是m+222+1=m2+3m+1故答案为:−4±2716.(4分)(2022春·上海浦东新·高一期末)以下四个命题中所有真命题的序号是(1).(1)若z1、z2∈(2)若z1、z2∈(3)若z1、z2∈C,z1(4)若z1、z2∈C,z1【解题思路】设出复数z1、z2,由共轭复数及复数的运算即可判断(1)、(2);取特殊的复数z1【解答过程】设z1=a+bi,z=ac+bd+bc−ad对于(2),z1z12+2对于(3),取z1=i,z2=1+i,显然满足z对于(4),取z1=1+2i,z2=2+i,显然满足z故答案为:(1).四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022春·高一课时练习)计算:(1)1+2i(2)5i(3)a+bi【解题思路】(1)(2)(3)根据复数的加减运算法则即可求解;【解答过程】(1)解:1+2i(2)解:5i(3)解:a+bi18.(6分)(2022·高一课时练习)如图,向量OZ对应的复数是z,分别作出下列运算的结果对应的向量:(1)z+1;(2)z−i;(3)z+(−2+i).【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的,根据平行四边形法则作出相应向量即可.【解答过程】(1)复数1与复平面内点A(1,0)一一对应,利用平行四边形法则作出所求向量,如图所示:(2)复数−i与复平面内点A(0,−1)一一对应,利用平行四边形法则作出所求向量,如图所示:(3)复数−2+i与复平面内点A(−2,1)一一对应,利用平行四边形法则作出所求向量如图所示:19.(8分)(2023·高三课时练习)已知复数z满足z+z=8−4i,且z是关于x的实系数一元二次方程【解题思路】设z=a+bia,b∈R,根据条件求出z,由z和z为实系数一元二次方程【解答过程】设z=a+bia,b∈R,则得a2+所以z=3+4i,z=3−4i所以m=−z+20.(8分)(2022·高一单元测试)复数z=a+bia,b>0满足(1)求复数z;(2)求z1−【解题思路】(1)由复数的乘法运算,纯虚数的概念,复数的模长公式求解即可;(2)有复数的除法与乘方运算求解即可【解答过程】(1)因为z=a+bi所以z2则由题意可得:a2+b所以z=1+i(2)z1−21.(8分)(2023·高一课时练习)已知复数a1+b1i,a2+b2i,a3+b(1)z1(2)z1(3)z1【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明(1)(2)(3)【解答过程】(1)z1z2则z1(2)z=az==a则z1(3)z=az===a则z122.(8分)(2022·高一单元测试)已知z为复数,ω=z+9(1)当−2<ω<1

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