举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型1不等关系的建立】【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；②人跑开的速度为每秒4米；③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【题型2利用不等式的性质判断正误】【方法点拨】(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【变式2-1】（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【变式2-2】（2022春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1【变式2-3】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a2【题型3利用作差法比较大小】【方法点拨】(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【例3】（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【变式3-1】（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【变式3-2】（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【变式3-3】（2021秋•滦南县校级月考）设m＞1，P＝m+4m−1，Q＝5，则P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定【变式4-1】（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【变式4-3】（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【题型5利用不等式的性质证明不等式】【方法点拨】(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明：ab【变式5-1】（2022春•库尔勒市校级期末）已知a＞1，求证：a+1+a−【变式5-2】（2021秋•故城县校级月考）求证：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【变式5-3】用比较法证明以下各题：（1）已知a＞0，b＞0．求证：1a（2）已知a＞0，b＞0．求证：ba【题型6利用不等式的性质求取值范围】【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．【例6】（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．【变式6-1】（2022春•鸡冠区校级期末）已知−π2＜α＜β＜π2，求【变式6-2】（2022春•宁江区校级期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及ab【变式6-3】（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型1不等关系的建立】【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M【解题思路】根据题意列出不等式即可．【解答过程】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c，∴a+b+c≤M，故选：A．【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；②人跑开的速度为每秒4米；③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可．【解答过程】解：由题意可得4×x0.6故选：B．【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程＝速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间，是x0.5s【解答过程】解：根据题意得4×x0.5故选：C．【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③④．【解答过程】解：对于①，可得a≥300，故①正确；对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误；对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x−32）2+34＞0，可得M对于④，因为x≠﹣2且y≠1，所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正确．故选：B．【题型2利用不等式的性质判断正误】【方法点拨】(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．【变式2-1】（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【解题思路】由1a＜1b＜0得【解答过程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故选项B正确，故选：B．【变式2-2】（2022春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1【解题思路】根据不等式的性质直接判断．【解答过程】解：选项A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，选项A错误，选项B，如c＝0，不等式不成立，选项B错误，选项C，根据不等式两边同除以﹣3，不等号改变，∴选项C正确，选项D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，选项D错误，故选：C．【变式2-3】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a2【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜0因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；因为a＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以−故选：D．【题型3利用作差法比较大小】【方法点拨】(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【例3】（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．【解答过程】解：∵a=2，b=7−∴由a−b=2+3−7由a−c=22−6且(2由b−c=(7+2)−(6+3)且(6故选：B．【变式3-1】（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【解题思路】利用作差法直接化简判断即可．【解答过程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，则a﹣b＜0，又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故选：B．【变式3-2】（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【解题思路】直接利用作差法和关系式的变换的应用求出结果．【解答过程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．故P＞Q．故选：A．【变式3-3】（2021秋•滦南县校级月考）设m＞1，P＝m+4m−1，Q＝5，则P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【解题思路】利用作差法即可判断大小．【解答过程】解：P﹣Q＝m+4m−1−因为m＞1，所以（m﹣3）²≥0，m﹣1＞0，所以(m−3)2m−1≥0，所以故选：C．【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定【解题思路】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较【解答过程】解：设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，显然v1＜v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1+而s=s(故sv故选：B．【变式4-1】（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点【解题思路】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，设全程的距离为2s，对于甲，前半程s的时间为sa，后半程的时间为sb，则甲的时间t1对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×t22+b变形可得t2=4s则有t1﹣t2=s(a+b)ab−4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，则t1﹣t2＞0，故乙先到达终点，故选：B．【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【解题思路】当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解答过程】解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A，D．【变式4-3】（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【解题思路】根据两家的政策，求出坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，作差，即可得出结论．【解答过程】解：设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2．因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．【题型5利用不等式的性质证明不等式】【方法点拨】(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明：ab【解题思路】利用分析法，先证明(a【解答过程】证明：要证ab只需证a即证(a+b即证a+b即证a+b≥2该式显然成立，所以ab【变式5-1】（2022春•库尔勒市校级期末）已知a＞1，求证：a+1+a−【解题思路】利用分析法即可证明结论【解答过程】解：要证a+1+a−只要证a+1+a﹣1+2a2−1＜只要证a2−1只要证a2﹣1＜a2，只要证明﹣1＜0，显然成立，故求证：a+1+a−【变式5-2】（2021秋•故城县校级月考）求证：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【解题思路】（1）利用做差法证明不等式的大小即可；（2）利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立．【解答过程】证明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2＝（a