举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题5.4 导数的运算（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题5.4导数的运算（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·宁夏·高二期中（文））设函数f(x)=x2，f'(xA．0 B．1 C．2 D．32．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求导错误的是（

）A．(cosx−3)C．x+1x'=−3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在A．y=x B．y=x−e C．y=2x+e 4．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知曲线y=2x+aex在点0,a处的切线方程为y=x+b,则a+b=A．2 B．e C．3 D．25．（3分）（2022·河南·高三开学考试（文））已知f(x)=14x2+sinπ2+xA． B． C． D．6．（3分）（2023·山东潍坊·高三期中）函数y=k(x−1)与y=lnx的图像有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（A．k=1 B．k≥C．k=1或k≤0 D．k≤0或k=1或k≥7．（3分）（2022·北京·高三阶段练习）已知函数f(x)=12sin2x+A．π4 B．π2 C．π 8．（3分）（2021·全国·高二课时练习）函数fx的导函数为f'x，若对于定义域为任意x1,①fx=2x+3；②fx=x2其中为恒均变函数的序号是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·广东·高三开学考试）下列函数的求导正确的是（

）A．1x'=1x2 B．sin10．（4分）若曲线y=x+ae2x（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则aA．−3 B．−2 C．0 D．111．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）设定义在R上的函数fx与gx的导数分别为f'(x)与g'(x)，若fx+3A．g1=1 B．g'C．gx的图像关于直线x=2对称 D．g12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）定义在区间[a,b]上的连续函数y=f(x)的导函数为f'(x)，若∃ξ∈[a,b]使得f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)，则称ξ为区间[a,b]上的“中值点”.下列在区间−π,π上“中值点”多于一个的函数是（

）A．f(x)=sinx B．f(x)=x+1 C．f(x)=e三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若fx=f14．（4分）已知直线y=x−a与曲线y=ex+2−1相切，则实数a的值为15．（4分）（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））已知f'(x)是函数y＝f（x）的导函数，定义f''(x)为f'(x)的导函数，若方程f''(x)＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（1201916．（4分）（2022·全国·高二单元测试）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数fx在a,b上的导函数为f'x，f'x在a,b上的导函数为f″x，若在a,b上f″x<0恒成立，则称函数fx在a,b上的“严格凸函数”，称区间a,b为函数fx的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为.①函数fx=−x3+3x2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数（1）y=x（2）y=2（3）y=x−log（4）y=cos18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）已知二次函数fx=ax2+ax−2b(1)求a、b的值；(2)设函数gx=xlnx，求曲线19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=ae（1）求导函数f'（2）若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x+1)，求a，20．（8分）如图，函数fx=2cosωx+θx∈R,0≤θ≤(1)求θ和ω的值；(2)已知Aπ2,0，点P是该函数图象上一点，点Qx0,y0是21．（8分）（2022·山西·高三阶段练习）对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f''x是函数y=fx的导函数y=f'(1)求函数fx的“拐点”A(2)求证：fx的图像关于“拐点”A对称，并求f(−2020)+f(−2019)+⋯f(2019)+f(2022)22．（8分）（2022·江苏·高二专题练习）记f'x、g'x分别为函数fx、gx的导函数.把同时满足fx0=gx0（1）求fx=2x与gx（2）若fx=ax2+12专题5.4导数的运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·宁夏·高二期中（文））设函数f(x)=x2，f'(xA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据幂函数的求导公式求导即可.【解答过程】∵f'∴f'解得x0故选：B.2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求导错误的是（

）A．(cosx−3)C．x+1x'=−【解题思路】根据求导公式直接求导可得.【解答过程】(cos3ex+1xx2故选：D.3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在A．y=x B．y=x−e C．y=2x+e 【解题思路】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式可写出直线方程.【解答过程】f(x)=xlnx，则f'(x)=1+lnx，根据导数的几何意义，切线的斜率为：f'(e故选：D.4．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知曲线y=2x+aex在点0,a处的切线方程为y=x+b,则a+b=A．2 B．e C．3 D．2【解题思路】根据导数的几何意义,求出导函数y'=−2x+2−aex,令x=0【解答过程】根据导数的运算公式y'当x=0时,y'∴2−a=1,即a=1.∵0,1满足方程y=x+b,即b=1,∴a+b=2.故选:A.5．（3分）（2022·河南·高三开学考试（文））已知f(x)=14x2+sinπ2+xA． B． C． D．【解题思路】首先对f(x)求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值排除C即可.【解答过程】因为f(x)=14x又因为f'(−x)=−1f'(π2)=故选：A.6．（3分）（2023·山东潍坊·高三期中）函数y=k(x−1)与y=lnx的图像有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（A．k=1 B．k≥C．k=1或k≤0 D．k≤0或k=1或k≥【解题思路】直线y=k(x−1)过定点1,0，利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.【解答过程】∵y=k(x−1)过定点1,0，且1,0在y=ln又∵y=lnx，则∴y=lnx在x=1处的切线斜率为结合图象可得：当k≤0时，y=k(x−1)与y=lnx的图像有且只有一个公共点，则当0<k<1时，y=k(x−1)与y=lnx的图像有两个公共点，则当k=1时，y=k(x−1)与y=lnx的图像有且只有一个公共点，则当k>1时，y=k(x−1)与y=lnx的图像有两个公共点，则综上所述：实数k的取值范围为k=1或k≤0.故选：C.7．（3分）（2022·北京·高三阶段练习）已知函数f(x)=12sin2x+A．π4 B．π2 C．π 【解题思路】求出f'(x)，根据导数的几何意义得到cos(2x1+π3)⋅【解答过程】因为f(x)=依题意可得f'所以cos(2x所以cos(2x1+π3)=1且当cos(2x1+2x1+π3=2k所以x1-x2=(所以|x1-x2所以当k1-k2=0或k当cos(2x1+2x1+π3=2k所以x1-x2=(所以|x1-x2所以当k1-k2=0或k综上所述：x1-x故选：B.8．（3分）（2021·全国·高二课时练习）函数fx的导函数为f'x，若对于定义域为任意x1,①fx=2x+3；②fx=x2其中为恒均变函数的序号是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④【解题思路】针对每一个函数，分别计算出fx1−f【解答过程】对于①，fx1−fx2x1对于②，f=x1−x2故②为恒均变函数；对于③，当x1=1，x2=0时，fx1−f对于④，当x1=π2，f'即此时fx1−f故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·广东·高三开学考试）下列函数的求导正确的是（

）A．1x'=1x2 B．sin【解题思路】对每一选项的函数分别求导即得解.【解答过程】解：A.1xB.sinxC.xeD.ln2x故选：BC.10．（4分）若曲线y=x+ae2x（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则aA．−3 B．−2 C．0 D．1【解题思路】设切点为Px0,x0+ae【解答过程】设切点为Px0,所以切线的斜率k=2则此曲线在P处的切线方程为y−x0+a又此切线过坐标原点，所以−x由此推出2x02+2ax0−a=0故选：AD．11．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）设定义在R上的函数fx与gx的导数分别为f'(x)与g'(x)，若fx+3A．g1=1 B．g'C．gx的图像关于直线x=2对称 D．g【解题思路】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可．【解答过程】解：∵g(−x+1)=−g(x+1)，令x=0，得g(1)=0，故A错误；∵f'(x−1)=fx∵fx+3=g−xgx+1令x=1，得a=2，∴gx+1∴gx关于直线x∴g∴函数g'(x)的图像关于点∵g(−x+1)=−g(x+1)，∴g(x)=−g(2−x)，∵g(x+1)=g(3−x)，∴g(x)=g(4−x)，∴g(4−x)=−g(2−x)，即g(2+x)=−g(x)，∴g(4+x)=−g(2+x)=g(x)，∴gx的周期T=4故选：BCD．12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）定义在区间[a,b]上的连续函数y=f(x)的导函数为f'(x)，若∃ξ∈[a,b]使得f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)，则称ξ为区间[a,b]上的“中值点”.下列在区间−π,π上“中值点”多于一个的函数是（

）A．f(x)=sinx B．f(x)=x+1 C．f(x)=e【解题思路】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.【解答过程】对于A，f(π)=sinπ=0，f(−π)=sin−π=0，又f对于B，f(π)=π+1，f(−π)=−π+1，f(π)−f(−π)=2π，又f'(x)=1，对于对于C，f(π)=eπ，f(−π)=e−π，f(π)−f(−π)=eπ−e−π对于D，f(π)=π3，f(−π)=−π3，f(π)−f(−π)=2π3，又f'故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若fx=f【解题思路】求导，得到f'x=3f'π9【解答过程】f'故f'即f'π9则f'故f'故答案为：−9314．（4分）已知直线y=x−a与曲线y=ex+2−1相切，则实数a的值为【解题思路】首先求出函数的导函数，设切点为x0【解答过程】∵y=ex+2−1，∴y'=ex+2故答案为:−2.15．（4分）（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））已知f'(x)是函数y＝f（x）的导函数，定义f''(x)为f'(x)的导函数，若方程f''(x)＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（12019【解题思路】对f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求导得f'(x)＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），再对f'(x)求导得f''(x)【解答过程】∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，∴f'(x)＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），f'由f''(x)＝6x﹣6＝0可得x根据已知定义可知，f（x）的对称中心（1，1），从而有f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（12019）+f（22019）+……+f（40372019故答案为：4037.16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数fx在a,b上的导函数为f'x，f'x在a,b上的导函数为f″x，若在a,b上f″x<0恒成立，则称函数fx在a,b上的“严格凸函数”，称区间a,b为函数fx的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为①②.①函数fx=−x3+3x2【解题思路】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.【解答过程】fx=−x3+3故f″x<0所以函数fx=−x3+3fx=lnxx由f″x<0可得2所以函数fx=lnxxfx=ex−因为fx为1,4上的“严格凸函数”，故f″x所以ex−m<0在1,4上恒成立，即m>e故m≥e4，所以所以正确命题为：①②.故答案为：①②.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数（1）y=x（2）y=2（3）y=x−log（4）y=cos【解题思路】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.【解答过程】（1）因为y=x4−3（2）因为y=2x+（3）因为y=x−log2x（4）因为y=cosxx18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）已知二次函数fx=ax2+ax−2b(1)求a、b的值；(2)设函数gx=xlnx，求曲线【解题思路】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【解答过程】（1）解：因为fx=ax所以，f2=6a−2b=−4f（2）解：因为gx=xlnx的定义域为所以，g'1=1，g所以，函数gx在x=1处的切线方程为y=x−119．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=ae（1）求导函数f'（2）若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x+1)，求a，【解题思路】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.【解答过程】（1）由f(x)=ae得f'x=(a（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，于是将x=1代入切线方程y=e(x+1)，得y=2e，又f(1)=be，则而切线y=e(x+1)的斜率为e，即f'(1)=e，又f所以a=1，b=2.20．（8分）如图，函数fx=2cosωx+θx∈R,0≤θ≤(1)求θ和ω的值；(2)已知Aπ2,0，点P是该函数图象上一点，点Qx0,y0是【解题思路】（1）结合导数以及0,3求得θ,ω（2）求得P点的坐标并代入fx解析式，从而求得