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PAGE其次部分专题三第2讲专题训练十二空间点、线、面的位置关系(文理)一、选择题1.若平面α⊥平面β,m是β内的随意一条直线,则下列结论正确的是__B__A.随意直线l⊂α,都有l⊥βB.存在直线l⊂α,使得l∥βC.随意直线l⊂α,都有l⊥mD.存在直线l⊂α,使得l∥m【解析】如图所示,因为平面A1B1C1D⊥平面DD1设α=平面A1B1C1D1,β=平面DD1如B1D⊂平面A1B1C1D,B1D1不重直于平面DD1C1C,故A错;如A1B1⊂平面A1B1C1D1,A1B1∥平面DD1C1C,故B正确;如A1B2⊂平面A1B1C1D1,DC⊂平面DD1C1C,A1B1∥DC,故C错;如m=C1C⊂平面DD1C1C,m⊥平面A12.(2024·张家口、沧州模拟)已知直线a,b和平面α,a⊂α,则b⊄α是b与a异面的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意,若直线b不在平面α内,则b与α相交或b∥α,不肯定有b与a异面,反之,若b与a异面,肯定有直线b不在平面α内,即“b⊄α”是“b与a异面”的必要不充分条件.故选B.3.(2024·石家庄模拟)已知α,β是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是(D)①m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β;②m∥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β;③m⊥α,n⊥β,且m∥n,则α∥β;④m⊥α,n⊥β、且m⊥n,则α⊥β.A.①②③ B.①③④C.②④ D.③④【解析】对于①,当m∥α,n∥β,且m∥n时,有α∥β或α、β相交,所以①错误;对于②,当m∥α,n∥β,且m⊥n时,有α⊥β或α∥β或α、β相交且不垂直,所以②错误;对于③,当m⊥α,n⊥β,且m∥n时,得出m⊥β,所以α∥β,③正确;对于④,当m⊥α,n⊥β、且m⊥n时,α⊥β成立,所以④正确.综上知,正确的命题序号是③④.故选D.4.(2024·珠海三模)已知两条不同直线l,m,两个不同平面α,β,则下列命题正确的是(B)A.若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥mB.若α∥β,m∥α,l⊥β,则l⊥mC.若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l∥mD.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l⊥m【解析】对于A,由α∥β,l⊂α,m⊂β,得l∥m或l与m异面,故A错误;对于B,若α∥β,l⊥β,则l⊥α,又m∥α,则l⊥m,故B正确;对于C,若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l⊥m,故C错误;对于D,若α⊥β,l∥α,m∥β,则l与m的位置关系是平行、相交或异面,相交与平行时,可能垂直,也可能不垂直,故D错误.故选B.5.(2024·广元模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为梯形,AD∥BC,AD=3,BC=6,E,F分别为棱PB,PC的中点,则(D)A.AE≠DF,且直线AE,FD是共面直线B.AE≠DF,且直线AE,FD是异面直线C.AE=DF,且直线AE,FD是异面直线D.AE=DF,且直线AE,FD是共面直线【解析】如图,连接EF,∵E,F分别为棱PB,PC的中点,AD∥BC,AD=3,BC=6,∴EF∥BC,EF=eq\f(1,2)BC,∴EF∥AD,且EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形,∴AE=DF,且AE∥DF,∴AE,FD是共面直线.故选D.6.(2024·安阳二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在线段BC,CC1上,且CF=CG=eq\f(1,4)BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的条数为(B)A.0 B.1C.2 D.3【解析】作出图形如下所示,取CE的中点I,可知AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,故GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,故在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的条数为1.故选B.7.(2024·四川模拟)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=eq\r(2)AB,D是BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为(C)A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)【解析】如图,取B1C1中点E,连接A1E,CE,则A1E∥AD,∠A1EC∴∠CA1E即为异面直线AD与A1C设AB=2,则AA1=2eq\r(2),A1E=eq\r(3),CE=3,tan∠CA1E=eq\f(3,\r(3))=eq\r(3),∴∠CA1E=eq\f(π,3).故选C.8.(2024·吉安一模)如图,长为4,宽为2的矩形纸片ABCD中,E为边AB的中点,将∠A沿直线DE翻转至A1(A1∉平面ABCD),若M为线段A1C的中点,则在△ADEA.MB∥平面A1DEB.异面直线BM与A1E所成角是定值C.三棱锥A1-ADE体积的最大值是eq\f(2\r(2),3)D.肯定存在某个位置,使DE⊥A1【解析】由题意,对于A,延长CB,DE交于H,连接A1H,由E为AB的中点,可得B为CH的中点,又M为A1C的中点,可得BM∥A1H,BM⊄平面A1DEA1H⊂平面A1DE,则BM∥平面A1DE,∴A正确;对于B,AB=2AD=4,过E作EG∥BM,G∈平面A1DC,则∠A1EG是异面直线BM与A1E所成的角或所成角的补角,且∠A1EG=∠EA1H,在△EA1H中,EA1=2,EH=DE=2eq\r(2),则A1H=eq\r(22+2×22-2×2×2\r(2)×cos135°)=2eq\r(5),则∠EA1H为定值,即∠A1EG为定值,∴B正确;对于C,设O为DE的中点,连接OA1,由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半,可得平面A1DE⊥平面ADE时,三棱锥A1-ADE的体积最大,最大体积为V=eq\f(1,3)S△ADE·A1O=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×eq\r(2)=eq\f(2\r(2),3),∴C正确;对于D,连接A1O,可得DE⊥A1O,若DE⊥A1C,即有DE⊥平面A1CO则DE⊥OC,因为O为DE的中点,所以CD=CE,而由已知得:CD=4≠CE=2eq\r(2)冲突,可得AC与DE垂直,但AC与DE不垂直,则不存在某个位置,使DE⊥MO,∴D错误.故选D.二、填空题9.(2024·东城区二模)设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列三个结论:①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中,正确结论的序号为__①②__.【解析】α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,对于①,若m⊥α,n⊥α,由垂直于同一平面的两直线平行,可得m∥n,故①正确;对于②,若m⊥α,m⊥β,由垂直于同始终线的两平面平行,可得α∥β,故②正确;对于③,若α⊥γ,β⊥γ,考虑墙角处的三个平面两两垂直,可推断α、β相交,则α∥β不正确.10.(2024·福州模拟)已知三棱锥P-ABC的各棱长均为2,M,N分别为BC,PA的中点,则异面直线MN与PC所成角的大小为__45°__.【解析】取AB中点O,PB中点D,连接PO,CO,MD,ND,∵三棱锥P-ABC的各棱长均为2,M,N分别为BC,PA的中点,∴ND∥AB,且ND=eq\f(1,2)AB=1,MD∥PC,且MD=eq\f(1,2)PC=1,∴∠NMD是异面直线MN与PC所成角(或所成角的补角),PO⊥AB,CO⊥AB,∵PO∩CO=O,∴AB⊥平面POC,∵PC⊂平面POC,∴AB⊥PC,∴DN⊥DM,∵DN=DM,∴∠NMD=45°,∴异面直线MN与PC所成角的大小为45°.11.(2024·海东市四模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为__eq\f(9,2)__.【解析】P,Q分别为D1C1,B1C1的中点,连接PQ,DP,DB,则PQ∥B1D1,B1D1∥BD,所以PQ∥BD,故P,Q,B,D在同一平面内,连接MQ,因为M,Q分别为A1D1,B1C1中点,所以MQ∥AB,MQ=AB所以四边形ABQM是平行四边形,所以AM∥BQ,又因为BQ⊂面BDPQ,AM不在面BDPQ内,所以AM∥面BDPQ,同理AN∥面BDPQ,因为AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDPQ,所以截面为等腰梯形BDPQ,其中PQ∥BD∥MN,BQ∥AM,PD∥AN,PQ=eq\r(2),BD=2eq\r(2),BQ=PD=eq\r(5),故等腰梯形BDPQ的高为eq\r(\r(5)2-\f(\r(2),2)2)=eq\f(3\r(2),2),故截面的截面积为eq\f(1,2)×(eq\r(2)+2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)=eq\f(9,2).12.(2024·内江三模)如图所示,在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,在BC边上任取一点D,并将△ABD沿直线AD折起,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后B、C两点间距离的最小值为__eq\r(13)__.【解析】如图所示,设∠BAD=θ,则∠CAD=eq\f(π,2)-θ,过点C作CE⊥AD于E,过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F,所以BF=4sinθ,CE=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))=3sinθ,所以EF=4cosθ-3sinθ,所以|BC|=eq\r(CE2+EF2+BF2)=eq\r(3cosθ2+4cosθ-3sinθ2+4sinθ2)=eq\r(9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ-24sinθcosθ+16sin2θ)=eq\r(25-24sinθcosθ)=eq\r(25-12sin2θ),当sin2θ=1时,|BC|min=eq\r(13).三、解答题13.(2024·江苏省镇江中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD,E为PA的中点.(1)证明:DE∥平面PBC;(2)证明:DE⊥平面PAB.【证明】(1)设PB的中点为F,连接EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,所以EF∥DC,且EF=eq\f(1,2)AB=DC.故四边形CDEF为平行四边形,可得ED∥CF,又ED⊄平面PBC,CF⊂平面PBC,故DE∥平面PBC.注:(证面面平行也同样给分)(2)因为PD⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PD又因为AB⊥AD,PD∩AD=D,AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PADED⊂平面PAD,故ED⊥AB.又PD=AD,E为PA的中点,故ED⊥PA;PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以ED⊥平面PAB14.(2024·南通模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC,A1C∥平面(1)D是BC的中点;(2)平面ADB1⊥平面BCC1B1.【证明】(1)连接A1B,交AB1于点O,连接DO,如图所示;因为A1C∥平面ADB1,平面A1BC∩ADB1=OD所以A1C∥OD又O为A1B的中点,所以OD是△A1BC的中位线,所以D是BC的中点.(2)由(1)知D是BC的中点,且AB=AC,所以AD⊥BC;又A1C⊥BC,A1C∥所以OD⊥BC;又AD∩OD=D,所以BC⊥平面ADB1;又BC⊂平面BCC1B1,所以平面ADB1⊥平面BCC1B115.(2024·吴忠模拟)已知四棱锥P-ABCD中,面PAB⊥面ABCD,底面ABCD为矩形,且PA=PB=4,AB=2,BC=3,O为AB的中点,点E在AD上,且AE=eq\f(1,3)AD.(1)证明:EC⊥PE;(2)在PB上是否存在一点F,使OF∥面PEC,若存在,试确定点F的位置.【解析】(1)证明:如图1所示,连接OE,由平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,O为AB的中点,所以PO⊥AB,所以PO⊥平面ABCD,PO⊥CE.又四边形ABCD为矩形,BC=AD=3,CD=AB=eq\f(2,3)AD=2,所以AE=eq\f(1,3)AD=1,DE=2,EC=eq\r(22+22)=2eq\r(2),OE=eq\r(12+12)=e
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