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文档简介
山西省长治市屯留县第一中学校2025届数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线与直线垂直,则()A. B.C. D.2.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为、,过作轴的平行线交椭圆于、两点,为坐标原点,双曲线的虚轴长为,且以、为顶点,以直线、为渐近线,则椭圆的短轴长为()A. B.C. D.3.在棱长为2的正方体中,是棱上一动点,点是面的中心,则的值为()A.4 B.C.2 D.不确定4.设为数列的前n项和,且,则=()A.26 B.19C.11 D.95.命题“存在,使得”的否定为()A.存在, B.对任意,C.对任意, D.对任意,6.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于,,且,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.7.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点,过F且垂直x轴的弦长为,则该椭圆的方程为()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=18.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点,则的欧拉线方程为()A. B.C. D.9.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为延长线上一点,,则为()A. B.C. D.10.用3,4,5,6,7,9这6个数组成没有重复数字的六位数,下列结论正确的有()A.在这样的六位数中,奇数共有480个B.在这样的六位数中,3、5、7、9相邻的共有120个C.在这样的六位数中,4,6不相邻的共有504个D.在这样六位数中,4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个11.若复数的模为2,则的最大值为()A. B.C. D.12.已知正方形的四个顶点都在椭圆上,若的焦点F在正方形的外面,则的离心率的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知满足的双曲线(a,b>0,c为半焦距)为黄金双曲线,则黄金双曲线的离心率为______14.已知函数f(x)=x3-3x2+2,则函数f(x)的极大值为______15.已知抛物线上一点到其焦点的距离为10.抛物线的方程为_____________;准线方程为_______16.在中,内角,,的对边分别为,,,若,且,则_______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列中,,且满足(1)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和18.(12分)已知圆经过点和,且圆心在直线上(1)求圆的标准方程;(2)直线过点,且与圆相切,求直线的方程;(3)设直线与圆相交于两点,点为圆上的一动点,求的面积的最大值19.(12分)已知函数.(1)当时,求函数在时的最大值和最小值;(2)若函数在区间存在极小值,求a的取值范围.20.(12分)已知函数在处取得极值(1)若对任意正实数,恒成立,求实数的取值范围;(2)讨论函数的零点个数21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面为矩形,,,为的中点,.请用空间向量知识解答下列问题:(1)求线段的长;(2)若为线段上一点,且,求平面与平面夹角的余弦值.22.(10分)已知双曲线C:(,)的一条渐近线的方程为,双曲线C的右焦点为,双曲线C的左、右顶点分别为A,B(1)求双曲线C的方程;(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点(点P在x轴的上方),直线AP的斜率为,直线BQ的斜率为,证明:为定值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】由两直线垂直得:,解得:.故选:C.2、C【解析】不妨取点在第一象限,根据椭圆与双曲线的几何性质,以及它们之间的联系,可得点的坐标,再将其代入椭圆的方程中,解之即可【详解】解:由题意知,在椭圆中,有,在双曲线中,有,,即,双曲线的渐近线方程为,不妨取点在第一象限,则的坐标为,即,将其代入椭圆的方程中,有,,解得,椭圆的短轴长为故选:3、A【解析】画出图形,建立空间直角坐标系,用向量法求解即可【详解】如图,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,因为正方体棱长为2,点是面的中心,是棱上一动点,所以,,,故选:A4、D【解析】先求得,然后求得.【详解】依题意,当时,,当时,,,所以,所以.故选:D5、D【解析】根据特称命题否定的方法求解,改变量词,否定结论.【详解】由题意可知命题“存在,使得”的否定为“对任意,”.故选:D.6、D【解析】直线的斜率为,计算,,利用余弦定理得到,化简知,得到答案【详解】由题意知直线的斜率为,,又,由双曲线定义知,,.由余弦定理:,,即,即,解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线,与圆的关系,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.7、C【解析】根据已知条件求得,由此求得椭圆的方程.【详解】依题意,所以椭圆方程为.故选:C8、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线,然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为,所以线段的中点的坐标,线段所在直线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为,即,因为,所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上,所以的欧拉线方程为.故选:D【点睛】本题主要考走查直线的方程,解题的关键是准确找出欧拉线,属于中档题.9、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选:B10、A【解析】A选项,特殊位置优先考虑求出这样的六位数中,奇数个数;B选项,相邻问题捆绑法求解;C选项,不相邻问题插空法求解;D选项,定序问题使用倍缩法求解.【详解】用3,4,5,6,7,9这6个数组成没有重复数字的六位数,个位为3,5,7,9中的一位,有种,其余五个数位上的数字进行全排列,有种,综上:在这样的六位数中,奇数共有个,A正确;在这样的六位数中,3、5、7、9相邻,将3、5、7、9捆绑,有种排法,再与4,6进行全排列,故共有个,B错误;在这样的六位数中,4,6不相邻,先将3、5、7、9进行全排列,再从五个位置中任选两个将4,6排列,综上共有个,C错误;在这样的六位数中,4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有个,D错误.故选:A11、A【解析】由题意得,表示以为圆心,2为半径的圆,表示过原点和圆上的点的直线的斜率,由图可知,当直线与圆相切时,取得最值,然后求出切线的斜率即可【详解】因为复数的模为2,所以,所以其表示以为圆心,2为半径的圆,如图所示,表示过原点和圆上的点的直线的斜率,由图可知,当直线与圆相切时,取得最值,设切线方程为,则,解得,所以的最大值为,故选:A12、C【解析】如图由题可得,进而可得,即求.【详解】如图根据对称性,点D在直线y=x上,可设,则,∴,可得,,即,又解得.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、##【解析】根据题设及双曲线离心率公式可得,结合双曲线离心率的性质即可求离心率.【详解】由题设,,整理得:,所以,而,故.故答案为:.14、2【解析】利用导数研究函数的单调区间,从而得到极大值.【详解】,令,解得:,00极大值极小值所以当时,函数取得极大值,即函数的极大值为.故答案为:15、①.②.【解析】由题意得:抛物线焦点为F(0,),准线方程为y=﹣.因为点到其焦点的距离为10,所以根据抛物线的定义得到方程,得到该抛物线的准线方程【详解】∵抛物线方程∴抛物线焦点为F(0,),准线方程为y=﹣,又∵点到其焦点的距离为10,∴根据抛物线的定义,得9+=10,∴p=2,抛物线∴准线方程为故答案为:,.16、【解析】代入,展开整理得,①化为,与①式相加得,转化为关于的方程,求解即可得出结论.【详解】因为,所以,所以,因为,所以,则,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化,考查三角函数化简求值,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;;(2).【解析】(1)根据等差数列的定义证明为常数即可;(2)利用错位相减法即可求和.【小问1详解】由得,,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,∴,∴;【小问2详解】①,②,①-②得:,.18、(1)(2)或(3)【解析】(1)解法一,根据题意设圆的标准方程为,进而待定系数法求解即可;解法二:由题知圆心在线段的垂直平分线上,进而结合题意得圆的圆心与半径,写出方程;(2)分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可;(3)由几何法求弦长得,进而到直线距离的最大值为,再计算面积即可.【小问1详解】解:解法一:设圆的标准方程为,由已知得,解得,所以圆的标准方程为;解法二:由圆经过点和,可知圆心在线段的垂直平分线上,将代入,得,即,半径,所以圆的标准方程为;【小问2详解】解:当直线的斜率存在时,设,即,由直线与圆相切,得,解得,此时,当直线的斜率不存在时,直线显然与圆相切所以直线的方程为或;【小问3详解】解:圆心到直线的距离,所以,则点到直线距离的最大值为,所以的面积的最大值19、(1)最大值为9,最小值为;(2).【解析】(1)利用导数研究函数的单调性,进而确定在的极值、端点值,比较它们的大小即可知最值.(2)讨论参数a的符号,利用导数研究的单调性,结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.【小问1详解】由题,时,,则,令,得或1,则时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.∴在时取极大值,在时取极小值,又,,综上,在区间上取得的最大值为9,最小值为.小问2详解】,且,当时,单调递增,函数没有极值;当时,时,单调递增;时,单调递减;时,,单调递增.∴在取得极大值,在取得极小值,则;当时,时,单调递增;时,单调递减;时,,单调递增.∴在取得极大值,在取得极小值,由得:.综上,函数在区间存在极小值时a的取值范围是.20、(1)(2)答案见解析.【解析】(1)根据极值点求出,再利用导数求出的最大值,将不等式恒成立化为最大值成立可求出结果;(2)利用导数求出函数的极大、极小值,结合函数的图象分类讨论可得结果.【小问1详解】函数的定义域为,因为,且在处取得极值,所以,即,得,此时,当时,,为增函数;当时。,为减函数,所以在处取得极大值,也是最大值,最大值为,因为对任意正实数,恒成立,所以,得.【小问2详解】,,由,得,由,得或,所以在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,所以在时取得极大值为,在时取得极小值为,因为当大于0趋近于0时,趋近于负无穷,当趋近于正无穷时,趋近于正无穷,所以当,即时,有且只有一个零点;当,即时,有且只有两个零点;当,即时,有且只有三个零点;当,即时,有且只有两个零点;当,即时,有且只有一个零点.综上所述:当或时,有且只有一个零点;当或时,有且只有两个零点;当时有且只有三个零点.21、(1)(2)【解析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,由已知可得出,求出的值,即可得解;(2)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】解:平面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则、、、,则,,,则,解得,故.【小问2详解】解:,则,又、、,所以,,,设为平面的法向量,则,取,可得,显然,为平面的一个法向量,,因此,平面与平面夹角的余弦值为.22、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)由题可得,,即求;(2)
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