重庆市酉阳县2025届数学高二上期末教学质量检测模拟试题含解析

重庆市酉阳县2025届数学高二上期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）A.1 B.C. D.2．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.3．已知直线与圆相切，则的值是（）A. B.C. D.4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.565．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或46．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（）A. B.C. D.7．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B.C. D.8．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（）A. B.C. D.9．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）A.， B.，C.， D.，10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于（）A. B.C. D.11．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.12．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为____________.14．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______15．若不同的平面的一个法向量分别为，，则与的位置关系为___________.16．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，其圆心在直线上.（1）求的值；（2）若过点的直线与相切，求的方程.18．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性;（2）若，证明:20．（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明：.21．（12分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角.22．（10分）已知数列满足（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB'C平行，从而求出投影面积的最大值.【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB'C平行，三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影面积为故选：C2、B【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设，则，由，可得，所以，因为，可得，又由，两式相减得，即，即，又因为，所以，即又由，所以，解得.故选：B.3、D【解析】直线与圆相切，直接通过求解即可.【详解】因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，.故选：D4、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B5、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6、B【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为是平行六面体，所以，所以有：，因此有：，因为，，，，，所以，所以，故选：B7、D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D8、B【解析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，∴，则故选：B.9、B【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.【详解】直线方程化成截距式为，所以，故选：B.10、C【解析】先由cosA的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.【详解】因为cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故选：C11、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C12、C【解析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，不妨设则，解之得代入，可得整理得，即，也就是故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.【详解】命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为“”.故答案为：.14、①.②.l【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为故P到坐标原点的距离的最小值为故答案为：；；15、平行【解析】根据题意得到，得出，即可得到平面与的位置关系.【详解】由题意，平面的一个法向量分别为，，可得，所以，所以，即平面与的位置关系为平行.故答案为：平行16、【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，即，∴由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.（2）设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.【小问1详解】圆的标准方程为：，所以，圆心为由圆心在直线上，得.所以，圆的方程为：【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，即由于直线和圆相切，得解得：所以，直线方程为：或.18、（1）（2）【解析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.【小问1详解】设公切线与的图像切于点，f'(x)=1+lnx⇒f由题意得：；【小问2详解】当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：19、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见详解【解析】（1）对函数进行求导，然后根据参数进行分类讨论；（2）构造函数，求函数的最小值即可证出.【详解】（1）的定义域为，.当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，.令，，则.，令，.恒成立，所以在上单调递增.因为，，所以存在唯一的，使得，即.①当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增.所以，，②方法一：把①代入②得，.设，.则恒成立，所以在上单调递减，所以.因为，所以，即，所以，所以时，.方法二：设，.则，所以在上单调递增，所以，所以.因为，所以，所以，所以时，.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.20、（1）在上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析【解析】（1）当时，利用求得的单调区间.（2）将问题转化为证明，利用导数求得的最小值大于零，从而证得不等式成立.【小问1详解】当时，，且，又与均在上单调递增，所以在上单调递增.当时，单调递减；当时，单调递增综上，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】因为，所以，要证，只需证当时，即可.，易知在上单调递增，又，所以，且，即，当时，单调递减；当时，单调递增，，所以.【点睛】在证明不等式的过程中，直接证明困难时，可考虑证明和两个不等式成立，从而证得成立.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，