2021年中考 临考专题训练：相似三角形及其应用（含答案）

2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用

一、选择题

1.如图，在△ABC中,点、D,E分别在边AB,AC上，DE〃BC.若BD=2AD,

则（）

A也」B隹」

AB20-EC2

2.下列命题是真命题的是（）

A.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的周长比为273

B.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的周长比为4；9

C.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的面积比为2；3

D.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的面积比为4；9

Ap2

3.（2020・永州）如图，在□A3c中，EF//BC,——=一，四边形BCTE的面积

EB3

为21,则□ABC的面积是（）

C.35D.63

4.（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A

（1,2）,B（1,1）,C（3,1）,以原点为位似中心，在原点的同侧画△OEF使

△OEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1,则线段OF的长度为（）

A.75B.2C.4D.2行

5.（2019•重庆）下列命题是真命题的是

A.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为2：3

B.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为4：9

C.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为2：3

D.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为4：9

6.（2019•贵港）如图，在△ABC中，点E分别在AB,AC边上，DE//BC,

ZACD^ZB,若AD=28D,BC=6,则线段CO的长为

A.2>/3B.3V2

C.276D.5

7.（2020.嘉兴）如图，在直角坐标系中，△048的顶点为0（0,0）,A（4,3）,

B（3,0）.以点。为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为』的位似图

3

形△OC0,则点C坐标为（）

AA

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-

33

2,-1)

8.如图，在放AABC中，ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB

的垂直平分线，垂足为E.若BC=3,则DE的长为（）

A.1B.2C.3D4

BC

/)

二、填空题

9.如图，在△ABC中，ZACD=ZB,若AO=2,BD=3,则AC长为.

10.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼

的影长为90m,则这栋楼的高度为m.

11.（2019•大庆）如图，在4ABC中，D、E分别是BC,AC的中点，AD与BE

相交于点G,若DG=1,则AD=.

12.如图，在口ABC。中，过对角线BD上一点P作EF//BC,GH//AB,且CG=2BG,

SABPG=1,则S.AEPH=.

AHD

BGC

13.（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,AABC

和△。所的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为Ci,△DEE的周长为

C2,则G的值等于▲.

14.（2020.杭州）如图是一张矩形纸片，点E在45边上，把△3CE沿直线CE对折,

使点3落在对角线AC上的点F处，连接。£若点、E,F,。在同一条直线上，AE=2,

则。尸=,BE=.

D

15.（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边80,CO分别在x轴,

了轴上，A点的坐标为（-8,6）,点p在矩形ABOC的内部，点E在3。边上，满

足APBEsACBO,当△4PC是等腰三角形时，P点坐标为.

16.（2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶

点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知R/4A8C是6

X6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与RrAABC相似的格点三角形

中.面积最大的三角形的斜边长是—.

三、解答题

17.（2019•张家界）如图，在平行四边形A3CO中，连接对角线AC,延长AB至点

E,使连接OE,分别交8C,AC交于点尸，G.

⑴求证：BF=CF；

（2）若BC=6,DG=4,求/G的长.

"--------yrD

G

B

E

18.如图，AB是。。的直径，点C为前的中点，CT为。。的弦，且CFLA3,

垂足为E,连接8。交CF于点G,连接。，AD,BF.

(1)求证:△BFG学ACDG;

(2)若AO=BE=2,求BQ的长.

19.如图，00是△ABC的外接圆，AB是直径，。是AC中点，直线0。与。。

相交于E,尸两点，P是。。外一点，且P在直线0。上，连接B4,PC,AF,

满足NPCA=NABC.

(1)求证:用是。。的切线；

⑵证明:E/=40〃0P;

⑶若8C=8,tanZAFP=~,求OE的长.

3

20.(2019・上海)如图1,A。、83分别是△A8C的内角NR4C、NABC的平分

线，过点A作AELAD交3。的延长线于点£

图1图2

(1)求证：N-iZC；

2

(2)如图2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cos/ABC的值；

(3)如果NA8C是锐角，且△A8C与△ADE相似，求NABC的度数，并直接

写出上班的值.

SABC

21.在矩形ABC。中，AD=4,M是AO的中点，点E是线段A8上一点，连接

EM并延长交线段CD的延长线于点F.

(1)如图①，求证：△4而且△OQW；

(2)如图②，若48=2,过点M作MGLEE交线段8C于点G,求证：AGEF是

等腰直角三角形；

(3)如图③，若AB=24,过点M作MGVEF交线段BC的延长线于点G,若

MG=nME,求n的值.

22.如图,A8是。。的直径，点E为线段03上一点(不与0、3重合)，作ECLOB

交。。于点C,作直径C。过点。的切线交DB的延长线于点P,作AFJ_PC于

点、F,连接

⑴求证：AC平分NE4&

(2)求证：BC=CECP；

(3)当48=4/且各=%寸，求劣弧俄)的长度.

23.如图，已知△ABCSAAIBICI,相似比为网攵>1),且AABC的三边长分别

为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为ai、bi、c\.

⑴若c=ai,求证：a=kc；

⑵若c=m,试给出符合条件的一对4ABC和△A1B1C1,使得。、。、c和⑶、历、

a都是正整数，并加以说明；

(3)若c=b\,是否存在△ABC和△AFiCi使得攵=2?请说明理由.

24.如图，已知一个直角三角形纸片ACB,其中NACB=90°,AC=4,BC=3,

E、厂分别是AC、AB边上的点，连接EE

(1)如图①，若将纸片AC3的一角沿EE折叠，折叠后点A落在45边上的点。

处，且使S四边彩ECBF=3SAEDF,求AE的长；

(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M

处，且使M尸〃C4.

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长.

2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用

-答案

一、选择题

ADAE

1.【答案】B【解析】；DE〃BC,.•.△ADEs^ABC,•.•BD=2AD,.•.,=行

ADAC

1.AE1+3生

=§,.•gc=2,故选区D

2.【答案】B

3.【答案】B

【详解】解：YE尸〃5c

:.ZAEF=/B,ZAFE=/C

：.UAEF^CABC

...AE=—2

EB3

.AE_2

**7B-5

.SAEB_4

S四边形6CFE21

•*S四边形8CFE=21

••SAEB=4

••SABC=25

故选：B.

4.【答案】D

【解析】VA(1,2),B(1,1),C(3,1),/.AB=1,BC=2,AC=6.丁ADEF与

△ABC成位似图形，且相似比为2,...DF=2AB=2.

5.【答案】B

【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比

为4：9,是假命题；

B、如果两个三角形相似，相彳以比为4：9,那么这两个三角形的周长比为4：9,

是真命题；

C、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为16：81,

是假命题；

D、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为16：81,

是假命题，

故选B.

6.【答案】C

【解析】设4O=2x,BD=x,：.AB=3x,

VDE//BC,：.^ADE^^ABC,

.DEADAE.DE_2x

,・诟一花一就，"~r~3x'

.AE2

♦•DE=4,——=—>

AC3

■:ZACD=ZB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA,/.AADE^AACD,

.ADAEDE

''~AC~~AD~~CD'

,几47r“Q.AD-2y

设AE1=2y,AC=3y,..

3yAD

r-2y4「

/.AD=sJ6y,:.CD=2展,

故选C.

7.【答案】B

【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如

果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为

k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或Jkx,

i4

-ky).由A(4,3),位似比攵=§,可得C(-§,-1)因此本题选B.

8.【答案】A【解析】'：AD是N3AC的平分线，AC±BC,AE1DE,：.DC=

DE,AE=AC.又•.•OE是A3的垂直平分线，：.BE^AE,即AB=2AE=2AC,二

Y1

设则在中，丁一，解得：

N8=30°.80=3—x.RtZXBOE3—x=72x=l,.DE

的长为L

二、填空题_

9.【答案】同[Wt/f]VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.AACD^>/\ABC,

R||

•••A■—C_—A—D—,曰.A.C.._2,

ABAC2+3AC

，4。=旧或AC=国舍去).

10.【答案】54

11.【答案】3

【解析】VD.E分别是BC,AC的中点，

...点G为AABC的重心，，AG=2DG=2,

，AD=AG+DG=2+1=3.故答案为：3.

12.【答案】4［解析］由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角

形”可推出的面积等于口PGCF的面积.

・：CG=2BG,：.BG：BC=\；3,BG：PF=\：2.

•：4BPGS/\BDC,且相似比为1..3,

/.5ABDC=9SABPG=9.

•：kBPGsAPDF,且相似比为1；2,

••SAPDF=4S&BPG=4.

••SSEPH=S”PGCF=9-1-4=4.

13.【答案】—

2

【解析】由图形易证AABC与4DEF相似，且相似比为1:血，所以周长比为

1:血.故答案为：.

2

14.【答案】2百一1

【解析】设BE=x,则AB=AE+BE=2+x.•.•四边形ABCD是矩形，，CD=AB

=2+x,AB〃CD,.，.ZDCE=ZBEC.由折叠得/BEC=NDEC,EF=BE=x,

/.ZDCE=ZDEC.，DE=CD=2+x.1•点D,F,E在同一条直线上，/.DF=

DCDFx+2

DE—EF=2+x—x=2.VAB/7CD,/.ADCF^AEAF,:.EA=EF.：.2

2

=x,解得xl=«—1,x2=一6一1.经检验，xl=^—1,x2=一石一1都

是分式方程的根.••”>（），右一1，即BE=>^—1.

15.【答案】（一三卷）或（一4,3）

【解析】•••点尸在矩形ABOC的内部，且是等腰三角形，

：.P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与B0

的交点即是E,如图1所示,

VPELBO,COLBO,

:.PE//CO,

/.APBEs△C8。，

•••四边形A80C是矩形，A点的坐标为(-8,6),

，点P横坐标为-4,。。=6,30=8,BE=4,

,：APBEs△CB。，

.PE_BE当

••一,IAJ—,

COB068

解得：PE=3,

...点P(-4,3).

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P,

过点尸作PEL30于E,如图2所示，

VCOLBO,：.PE//C0,

:.APBEs△C8O,

•.•四边形AB0C是矩形，A点的坐标为(-8,6),

...AC=B0=8,CP=8,AB=0C=6,

BC-VBO2+OC2->/82+62-10»BP-2»

,/4PBEs△CB。，

.PEBEBPPEBE2

..——=——=——，Rr即l：一=——=——，

COBOBC6810

62

解得：PE：BE=-

：.O£=8--=—

55

.••点P（年令,

综上所述：点2的坐标为：（-三尚）或（-4,3）,

故答案为：（-学,二）或（-4,3）.

16.【答案】解：•.•在Rf^ABC中，AC=1,BC=2,AAB=或,AC：BC

—1：2,

.•.与RrAABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线LJ

段为6”，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点3

点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,在图中尝试，可画出，

DE=9Jri-4A

EF=2jIU,DF=5M的三角形，

•.邛=乎=照=M.,.△ABC^ADEF,.,.ZDEF=ZC=90°,BDC

...此时4DEF的面积为：画X27104-2=10,ADEF为面积最大的三角形,

其斜边长为：5M.故答案为：5M.

三、解答题

17.【答案】

(1)V四边形ABCD是平行四边形,

/.AD//CD,AD=BC,

,ARMSAEAD,

.BFBE

••茄一西’

•；BE=AB,AE=AB+BE,

•BF_1

••一，

AD2

BF=-AD=-BC,

22

BF=CF.

(2)V四边形ABCD是平行四边形,

，AD//CD,

XFGCsXDGA,

，空=空，即空」

DGAD42

解得，FG=2.

18.【答案】

解:(1)证明:是前的中点，检.

,.•A3是0。的直径，且C凡LAB,

-'-CD=BF>CD-BF.

在^BFG^LCDG中，

ZF=乙CDG,

•:'Z.FGB=Z.DGC,

、BF=CD,

；.△BbG之△COG(AAS).

(2)如图，过C作C”J_A。，交A。延长线于“，连接AC,BC,

"CD=BC，

：.ZHAC=ZBAC.

•:CELAB,

.CH=CE.

，AC=AC,

.RtAAHC^Rt^AEC(HL),

.AE=AH.

"CD=BC，

:.CD=BC.

又•：CH=CE,

/.RtACDH乌RtACBE(HL),

：.DH=BE=2,

：.AE=AH=AD+DH=2+2=4,

•*.AB=4+2=6.

•••AB是。。的直径，

，ZACB=9Q°,

：.ZACB=ZBEC,

,/NEBC=NABC,

BECsABCA,

•.•'BC_-B'E',

ABBC

：.BC2=ABBE=6x2=n,

：.BF=BC=2后

19.【答案】

解:(1)因为点。是AC中点，所以OOLAC,所以巩=PC,所以NPCA=NR1C,

因为AB是。。的直径，

所以NACB=90。，所以NA8C+N8AC=90°,

因为NPC4=NA8C,所以N用GNA8C,

所以N/%C+N8AC=90。，所以以_LAB,所以而是。。的切线.

⑵因为/出0=乙4。0=90。，ZAOD=ZPOA,所以△PAO^^ADO,所以丝=丝,

POOA

所以AO2=ODOP,

所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD-OP.

⑶因为tanNAFP*,所以设AO=2x,

3

则FD=3x,

连接AE,易证△AOESAFOA,

所以吆=丝=%

ADFD3x

所以ED=-AD=-x,

33

所以£F=为，EO=—x,DO~x,

366

在△ABC中，OO为中位线,

所以D0=-BC=4,

2

所以4=4,x=—,所以E£)=±x=二

6535

20.【答案】

解：（1）证明：如图1中,

VAE1AD,.,.ZDAE=90°,ZE=90°-ZADE,=AD平分NBAC,AZBAD

=-ZBAC,同理NABD=，NABC,VZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+

22

ZABC=180°-ZC,/.ZADE=1(NABC+NBAC)=90°—；NC,AZE=

90°-(90°-1ZC)=|ZC.

(2)解：延长AD交BC于点F.

VAB=AE,.,.ZABE=ZE,BE平分NABC,NABE=NEBC,

.\ZE=ZCBE,；.AE〃BC,/.ZAFB=ZEAD=90°,—,

AFDE

VBD：DE=2：3,.*.cosZABC=—.

ABAE3

(3)•.・△ABC与4ADE相似,ZDAE=90°,NABC中必有一个内角为90。

YNABC是锐角，ZABC/900.当/BAC=NDAE=90。时，

VZE=-ZC,.，.ZABC=ZE=-ZC,VZABC+ZC=90°,.，.ZABC=30°,

22

此时部1=2-

'△ABC

当NC=NDAE=90。时，ZE=-ZC=45°,AZEDA=45O,

2

「△ABC与aADE相似，.\ZABC=450,此时迦=2一a.

SAABC

综上所述，NABC=30。或45。，迦=2—6或2一夜.

'△ABC

21.【答案】

(1)证明：•••四边形ABCO是矩形，

/.ZEAM=ZFDM=90°,

•.•M是的中点，

：.AM=DM,

在△AME和△£>M/中，

jNA=NFDB

{AM=DM,

[ZAME=ZDMF

：.△AEM丝△OFM(ASA)；

(2)证明：如解图①，过点G作GHLA。于H,

解图①

VZA=ZB=ZAHG=90°,

...四边形ABGH是矩形，

：.GH=AB=2,

•.•M是A。的中点，

：.AM=^AD=2,：.AM=GH,

,JMGLEF,；.NGME=90°

：.ZAME+ZGMH=9Q°.

VZAME+ZAEM=90°,

，NAEM=NGMH,

在△AEM和△"MG中，

(AM=GH

{NAEM=NGMH,

[ZA=ZAHG

：./\AEMg△HMG,

：.ME=MG,

：.ZEGM=45a,

由⑴得△AEMg丛DFM,

：.ME=MF,

'：MGLEF,

:4EMG9丛FMG,

:.GE=GF,

：.ZEGF=2ZEGM=90a,

.•.△GE尸是等腰直角三角形.

(3)解：如解图②，过点G作GHLAO交AO延长线于点”,

解图②

VZA=ZB=ZAHG=9Q°,

二四边形A8G”是矩形，

：.GH=AB=2yj3,

'：MGLEF,

：.ZGME=9Q°,

/.ZAME+ZGMH=90°,

VZAME+ZAEM=90°,

：.NAEM=NGMH,

又•.•NA=NG"M=90°,

：.AAEMS*HMG,

•EM_AM

,,'MG=GH,

在RtAGME中，tan/MEG=等=小.

LLIVIv

/.n=百

22.【答案】

(1)证明：•.•尸尸切。。于点C,CO是。。的直径,

：.CD1PF,

XVAF1PC,

J.AF//CD,

：.ZOCA=ZCAF,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZCAF=ZOAC,

平分NFAB；

(2)证明：•.SB是。。的直径，

/.ZACB=90°,

'：ZDCP=9Q°,

：.ZACB=ZDCP=90°,

又•：NBAC=ND,

：.△ACBsXDCP,

：.ZEBC=ZP,

VCE1AB,

：.ZBEC=90°,

•.•CD是。。的直径，

/.ZD5C=90°,

：.ZCBP=90°,

：.ZBEC=ZCBP,

:ACBESACPB,

.BC=CE

,•PLCB，

：.BC2=CECP；

(3)解：平分NE4B,CFLAF,CE1AB,

：.CF=CE,

..CF=3

,CP~4J

.CE=3

・'CP~4f

设CE=3k,则CP=4k,

，叱=3/4仁]2庐，

：.BC=2y[3k,

CP3”、行

在RSBEC中，VsinZ£BC=^=^y^=^-,

：.ZEBC=60°,

.•.△OBC是等边三角形，

：.ZDOB=120°,

.Q1207r2s4岛

,,BD-180-3,

23.【答案】

(1)证明：•.•△ABCS^AIBICI,且相似比为如>1),

：又

•*.ai=k..a=kill,<,•u—kc.

(2)解：取a=8,h=6,c=4,同时取ai=4,b\=3,ci=2.

分hc

此时一=7=一=2,；