5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021-2022学年高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考点梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式一：用和差余弦公式进行化简求值1．（2021·全国·高一课时练习）（）A． B．C． D．2．（2021·全国·高一课时练习）已知均为锐角，且，则（）A．0 B． C． D．13．（2021·江苏如皋·高一月考）已知，均为锐角，满足，，则（）A． B． C． D．二：逆用和差余弦公式进行化简求值4．（2021·全国·高一课时练习）的值是（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高一课时练习）（）A． B． C． D．6．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）（）A． B． C． D．题型二：两角和与差的正弦公式一：用和差正弦公式进行化简求值7．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）的值是（）A． B． C． D．8．（2021·河南·郑州四中高一月考）若，，则为（）A． B． C． D．9．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知都是锐角，，，则（）A．1 B． C． D．二：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2021·全国·高一课时练习）化简，得（）A． B． C． D．11．（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）（）A． B． C． D．12．（2021·江苏·高一月考）（）A． B．C． D．题型三：两角和与差的正切公式一：用和差正切公式进行化简求值13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知，则（）A． B． C． D．14．（2021·全国·高一课时练习）计算（）A． B．1 C． D．15．（2021·全国·高一课时练习）若，则的值为（）A． B． C． D．2二：逆用和差正切公式进行化简求值16．（2021·陕西阎良·高一期末）（）A． B． C． D．17．（2021·全国·高一单元测试）的值等于（）A．tan42° B．tan3° C．1 D．tan24°18．（2021·河南商丘·高一月考）（）A．1 B． C．2 D．3题型四：两角和与差的三角函数综合应用19．（2021·全国·高一课时练习）求值：．20．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）； （2）．21．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）； （2）；（3）； （4）.题型五：二倍角公式的运用22．（2021·河南·高一期末）已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．23．（2021·河北张家口·高一期末）若，则的值为（）A． B． C． D．24．（2021·全国·高一课时练习）的化简结果为（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题25．（2022·全国·高三专题练习）已知cosα＝－，α∈，则sin等于（）A．－ B． C．－ D．26．（2022·全国·高三专题练习）已知tan＝2，则tanα＝（）A． B．－ C． D．－27．（2021·全国·高一课时练习）化简，得（）A． B． C． D．28．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则的值是（）A． B． C． D．29．（2021·全国·高一课时练习）若角α满足，则＝（）A． B． C． D．30．（2021·全国·高一单元测试）已知，，，则＝（）A． B． C． D．31．（2021·江西·九江一中高一月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2α＝（）A． B． C． D．32．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（）A． B． C． D．33．（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知，，且，则（）A． B． C． D．34．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）设，均为锐角，且，则的最大值是（）A． B． C．2 D．【高分突破】一：单选题35．（2021·江苏·常熟市中学高一月考）已知，则（）A． B． C． D．36．（2021·江苏·盐城中学高一月考）化简可得（）A． B．C． D．37．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期末）对于任意的，则有（）A．B．C．D．38．（2021·江苏·金陵中学高一月考）的值是（）A． B． C．0 D．139．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）已知，则的最大值为（）A．3 B． C．2 D．40．（2021·江苏省外国语学校高一期中）中，，，则（）A． B． C． D．-11二、多选题41．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一月考）下列式子结果为的是（）①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④42．（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为的是（）A． B．C．cos2－sin2 D．cos76°cos16°+cos14°sin16°43．（2021·江苏江宁·高一期中）下列格式中，值等于的是（）A．B．C．D．44．（2021·江苏鼓楼·高一期中）在下列选项中，正确的是（）A．B．C．存在角α，β，使得sin（α+β）<sinα+sinβ成立D．对于任意角α，β，式子cos（α+β）<cosα+cosβ都成立45．（2021·重庆市第二十九中学校高一期中）下列各式中，值为的是（）A． B．C． D．三、填空题46．（2021·河北衡水中学高一期末）已知，且，则__．47．（2021·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－60°)－cos(120°－α)的结果是______.48．（2021·全国·高一课时练习）化简：________．49．（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，则α+2β的值为______50．（2021·全国·高一课时练习）已知，则_________．四、解答题51．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）（1）已知，求；（2）计算：.52．（2021·全国·高一课时练习）已知是第一象限角，且，求的值．53．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）； （2）．54．（2021·全国·高一课时练习）把下列各式化为和或差的形式：（1）； （2）；（3）； （4）．55．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.（3）已知，化简；（4）已知，，求的值.【答案详解】1．B解：故选：B2．D【详解】，，即，所以，因为均为锐角，所以，所以，所以，故选：D3．D【详解】依题意，均为锐角，，，所以，而，所以.故选：D4．A【详解】原式.故选：A5．B解：.故选：B.6．A【详解】由题意，故选：A7．D【详解】由题意，故选：D8．B解：，，即，，，．故选：．9．D【详解】由于，所以，所以，所以.故选：D10．A【详解】由，，∴.故选：A11．A【详解】.故选：A12．D【详解】，故选：D.13．A【详解】因为，所以,则,因为,则,所以,，所以,故选：A14．C【详解】由题意，故选：C15．B【详解】由题意，.故选：B.16．B【详解】故选：B17．A【详解】∵tan60°＝，∴原式＝tan(60°－18°)＝tan42°.故选：A.18．A【详解】．故选：A19．解：，，原式，20．（1）.（2）.21．解：；（2）解：；（3）解：因为，所以，所以原式；（4）解：．22．C因为角的终边过点，所以，，所以.故选：C23．A【详解】由题知，.故选：A.24．B【详解】故选：B.25．C【详解】∵α∈，且cosα＝－，∴sinα＝－，∴sin＝－×＋×＝.故选：C26．A【详解】tan＝＝2，解得tanα＝.故选：A27．B【详解】.故选：B28．D【详解】由任意角的三角函数的定义可得，，，因，且射线和射线关于轴对称，则射线OB与单位圆的交点为，于是得，，因此，，所以的值是.故选：D29．C【详解】因为，可得，两边平方，可得，所以．故选：C.30．C【详解】∵，∴，．∵，∴，则cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故选：C．31．A【详解】如图，由题意，以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为，则半径比为，所以，不妨设AC=1，AB=2，易知，所以,所以，则，于是，.故选：A.32．B【详解】由得，，又，所以，，所以．故选：B．33．C【详解】因为，所以，即，因为，，所以，，因为在上单调递减，所以，即，故选：C.34．B解：因为，均为锐角，，所以即，故，当且仅当，即时等号成立，故选：B.35．A【详解】∵∴，∴，∴故选：A.36．D【详解】原式，故选：D.37．A解：因为，故A选项正确，C选项错误；因为，故B,D选项错误.故选：A38．D【详解】.故选：D39．B【详解】因为，当时，有最大值，且，故选：B.40．C【详解】在中，∵，∴，则，又，∴，∴．故选：C41．ABC【详解】对于①，由于，所以；对于②，由于，所以；对于③，因为，；对于④，因为，；故选：ABC42．ACD【详解】；；cos2－sin2；．故选：ACD．43．BC【详解】，，，．故选：BC．44．BC【详解】对于A，，所以错误；对于B，，所以B正确；对于C，当，时，所以，所以成立所以C正确；对于D，当时，所以D错误；故选：BC45．AC【详解】；；；．故选：AC．46．【详解】解：因为，整理可得，解得，或2（舍去），由于，可得，，所以，．故答案为：．47．0解：原式＝sin(α＋60°)－cos[180°－(α＋60°)]＋2sin(α－60°)＝sin(α＋60°)＋cos(α＋60°)＋2sin(α－60°)＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°)＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°)＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°)＝0.故答案为：048．-1故答案为：-149．【详解】因为α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，所以，，所以，所以，所以因为α∈