2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课-与三角形有关的线段（解析版）

（难）2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课

与三角形有关的线段（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.（2021•江苏靖江•）如图，在平面直角坐标系中，点4、点8分别在x轴和y轴的正

半轴上运动，且A5=4,若AC=5C=5,△A5c的形状始终保持不变，则在运动的过程

中，点C到原点0的最小距离为.

【答案】历-2

【分析】

如图，过C作CG_L/1B于G,钻=4,证明G8=G4=2,求解CG=VJ1,OG=2,结合三

角形的三边的关系可得：OOCG-OG,当C,O,G三点共线时，OC=CG—OG,可得

CONCG-OG=V^-2,从而可得答案.

【详解】

解：如图，过C作CGLAB于G,AB=4,

■.■CB=CA=5,

.-.GB=GA=2,

:.CG=5/C42-G42=752-22=后,

•.•ZAOB=90°,

.•.OG」AB=2,

2

由三角形三边的关系可得：

OOCG-OG,

当C,O,G三点共线时，OC=CG-OG,

:.CO>CG-OG=j2l-2,

CO的最小值是：正1—2.

•・•点c到原点。的最小距离为&T一2.

故答案为：V21-2.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半，三角形三边之间的关系，掌握以上知识是解题的关键.

2.（2021•山东城阳•）如图，在A48C中，NAC8=90。，CELAB于点E,AD=AC,AF

平分NC45交CE于点F,DF的延长线交AC于点G,以下结论:①DF//BC；②尸G=fE；

③N4CF=N3；@EF+CG>CF.其中正确的有（填正确结论的序号）

【答案】①②③④

【分析】

根据已知，利用S4S判定A4C尸岭△8£>凡从而得到N4CF=NAO凡根据直角三角形

的两锐角互余得到等量代换即可判定。尸〃BC,即可判断①③正确：

已知。/〃BC,ACLBC,则GRAC,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得

到尸G=EF,即可判断②正确；根据“三角形两边之和大于第三边”即可判断④正确.

【详解】

解：平分NCAB,

，ZCAF^ZDAF,

在△ACF和△AQF中，

AC=AD

"ZCAF=ZDAF,

AF=AF

：./\ACF^/\ADF(SAS),

ZACF=ZADF,

4c8=90。，CELAB,

ZACE+ZCAE=90°,ZCA£+ZB=90°,

ZACF=ZB,

：.ZADF=ZB,

：.DF//BC.故①③正确；

'：DF//BC,BCLAC,

：.FG±AC,

'JFE1.AB,

又A尸平分NCAB,

：.FG=FE,故②正确；

在△GCF中，FG+COCF,

•；FG=FE,

：.EF+CG>CF,故④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、角平分线的性质，根据S4S

判定△AC尸父△4。尸是解题的关键.

3.(2020•浙江奉化•九年级月考)向一个三角形内加入2016个点，加上原三角形的三个

点共计2019个点，用剪刀最多可以剪出______个以这2019个点为顶点的三角形.

【答案】4033

【分析】

当1个点的时候是3个三角形，2个点的时候是5个三角形，3个点的时候是7个三角

形，则n个点的时候是2n+l个三角形，将n=2016即可解答.

【详解】

解：当1个点时有3个以这4个点为顶点的三角形：

当2个点时有5个以这5个点为顶点的三角形；

当3个点时有7个以这6个点为顶点的三角形；

则当n个点时有2n+l个以这（n+3）个点为顶点的三角形；

故2016个点时,有2x2016+1=4033个.

故答案为4033.

【点睛】

本题考查了规律探索，根据图形的变化得到变化规律是解答本题的关键.

4.（2021•山东省青岛第二十六中学七年级期中）如图，△ABC的面积为1.第一次操

作：分别延长A3,BC,C4至点4,Bi,Ci,使B£=BC,CiA=CA,顺

次连接4,Bi,Ct,得到第二次操作：分别延长45“81G,G4至点

A2,BI,Ci,使A2B=AI5I,82G=5IG,CiAi=CxAx,顺次连接4,B2,C2,得到

△A2B2C2,...按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021,最少经过多少次操作

C,

【答案】4

【分析】

先根据已知条件求出及△A2&C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可.

【详解】

解：△ABC与△AIBBI底相等（A8=4B）,高为1：2（BBt=2BC）,故面积比为1：2,

,/AABC面积为1,

=2.

同理可得，S&CB、C、=2,S"4c,=2,

=Sec6G+SA/I1Aq+SMB、B+^^ABC=2+2+2+l=7

同理可证Mg=7%函=49，

第三次操作后的面积为7x49=343,

第四次操作后的面积为7x343=2401.

故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021,最少经过4次操作.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之

间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可.

5.（2021・无锡市侨谊实验中学七年级期中）如图，在AABC中，点。,点E分别是AC

和AB上的点，且满足AE=23E,8=34）,过点A的直线/平行射线8。交

CE于点。，交直线/于点F.若ACD尸的面积为12,则四边形AE。。的面积为

连接AO,根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答.

【详解】

如图，连接A。，

"：CD=3AD,

•\AD：CD=\：3,

•♦SAADF=qS&CDF，SAADO=,SACDO,~*^ACBD>

<**S△的=12,

••S八欣’・=4,S4ACF=16,

VAF/7BC,

:，^^ABF=SZ\ACF=16，

•0•S.ABD=12,

:•SACBD=36,SgBc=48,

"：AE=2BE,

:.BE：AE=\：2,

.,S&AEC=2s△BEC,S/iAEO=2s4BEO>

••S&AEC=32,SQBKC=16,

,•S&AOE+S4A00+S&COD=2(S4BOE+^ABOC),

即^AAOE+S”oo+SMOD=2sABOK+2s△ROC，

.14

,♦jS&COD+SdCOD=2s&BOC'即］S&COD=2s3B0C'

S/^COD-S4BOC=3:2,

•S^BCD=S/SBOC+S4cor)=36

.0i

,•'△COD——Z-

•••s枇cAEOD=s△阪-s△诩=32-竽=,

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间

的关系转化为面积之间的关系是解题的关键.

二、解答题

6.(2021•河北宁晋•)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角

形.

初步尝试

(1)如图1,在中，ZACB=90°,AC=BC=6,尸为AC上一点，当AP的长

为时，A/WP与ACBP为偏等积三角形.

理解运用

(2)如图2,△A8O与△AC。为偏等积三角形，AB=2,AC=4,且线段AO的长

度为正整数，过点C作CE//AB,交的延长线于点E,求AE的长.

综合应用

(3)如图3,已知以。为直角三角形，ZADC=90°,以AC,AO为腰向外作等腰

直角三角形A8C和等腰直角三角形ADE,ZC4B=ZDAE=90°,连接8E,求证：

△AC。与^ABE为偏等积三角形.

B

A

【答案】(1)3；(2)4；(3)证明见解析

【分析】

(1)根据新定义，当P为AC的中点时，满足条件，从而可得答案；

(2)由△A3D与△ACD为偏等积三角形，证明比>=8,再证明右A£QC,可

得AB=EC=2,再利用三角形三边的关系求解1<43<3,结合AD为正整

数，求解4)=2,从而可得答案；

(3)如图，过点B作交E4的延长线于点尸.证明△ABFgZ\AC£>，可得

8尸=8.结合％此=1"4片，S^CD=^ADCD,AE=A。，证明久谢=$小.从

而可得结论.

【详解】

解：(1)如图，连接BP,

'IAP=PC=3时,S»PAB=S‘pBC，

•.•△43尸与APBC不全等，

•.♦△ABP与ACBP为偏等积三角形，

故答案为3.

(2)•.•△AB。与八48为偏等积三角形,

•q=q

…"AABD-乙人。。'

BD—CD.

・・・ABIIEC,

..NBAD=NE.

,:ZADB=/EDC,

.^ADB^EDC(AAS),

:.AD=DE,AB=EC=2,

vAC=4,

.\4-2<AE<4+2

.\4-2<2A£><4+2,

:.2<2AD<6,

:.1<AD<3.

・・・A。为正整数，

:.AD=2,

:.AE=2AD=4.

(3)证明：如图，过点3作斯_LAE,交E4的延长线于点尸.

v在等腰宜角三角形A3C和等腰宜角三角形ADE中，Z.CAB=ZDAE=90°,

/.ZE4C+Z/MC=90°,ZBAF+ZFAC=90°,

:.ZBAF=ZDAC.

在AAB厂和人。。中，

ZBAF=ZDAC

<ZBFA=ZCDA,

AB=AC

.^ABF^ACD(AAS)t

:.BF=CD.

•'S^BE=万BF-AE,SMCD=~A0,CD,AE=AD,

••S&ABE~^/\ACD•

由图可知，这两个三角形不全等，

.-.△ACD与MBE为偏等积三角形.

【点睛】

本题考查的是对新定义的理解与运用，同时考查三角形的中线的性质，三角形三边之间

的关系，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握作出适当的辅助线构

建三角形全等是解题的关键.

7.（2021•沙坪坝・重庆南开中学七年级期中）RrAABC中，Z4BC=9O°,AB=BC,过

点A作连接BE,CE,M为平面内一动点.

（1）如图1,点M在8E上，连接CM,CMkBE,过点A作于点八。为AC

中点，连接尸。并延长，交CM于点H.

①若A£=2,AB—4,则SAAEE=;

②求证：MF=MH.

(2)如图2,连接BM,EM,过点8作于点8,且满足连接

AM',MM',过点8作3G_LCE于点G,若5AApc=18,EM=3,8G=4,请求出线

段W的取值范围.

【答案】（1）①4,②见解析；（2）6<AM'<12

【分析】

（1）①根据三角形的面积公式计算即可；②先根据AAS证得A/LB尸丝△8CM,得出

BF=MC,AF^BM,再利用AAS证得△A尸。且△<?”£),得出4尸=C〃，即可得出结论；

(2)连接CM,先利用SAS得出△ABM，必CBM,得出WCM,再根据等底同高

的三角形的面积相等得出SMBC=SAflEC=18,再利用三角形的面积公式得出EC的长，

从而利用三角形的三边关系得出AM'的取值范围；

【详解】

解：⑴①AE=2,AB=4,

5fMsnBoiFz=—2AExAB=—2x2x4=4,

②•：CM1BE,,AFLBE,

：.ZAFB=ZBMC=ZFMC=90°,

・・・NAB尸+N8A产=90。，

•・•ZABC=90°,

：.NA8F+NC8M=90。，

J/BAF:/CBM,

AB=BC,

:・BF=MC,AF=BM,

ZAFB=ZFMC=90°f

:.AFHCM,

"FACHCD,

・・・。为AC中点，

：.AD=CDt

'：/FDA=/HDC,

：.4AFD出4CHD,

：.AF=CHf

：・BM=CH,

•:BF=CM

:・BF-BM=CM-CH

:,MF=MH.

(2)连接CM,

•；BM'工BM,ZABC=90°f

NABC=NMBM'=90°,

：・/M，BA=NCBM,

•:AB=BC,BM'=BM,

・・・△ABM&ACBM,

f

：.AM=CMf

VAE1.BA,ZABC=90。,

JZABC+ZBAE=\SO°t

：.AE//BCf

,,SgBC~S^EC=18，

■:BG工CE,BG=4,

：.=gxECx4=18,

:.EC=9

在中，EM=3,

则9-3<CA/<9+3,

：.6<CM<U,

：.6<AM'<12,

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的判

定是解题的关键.

8.(2021•浙江省余姚市实验学校)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫

做偏等积三角形.

(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,尸为AC上一点，

当AP=时，△ABP与4CBP为偏等积三角形.

(2)如图2,点。为5c上一点，△ABO与AAC。为偏等积三角形，A8=2,AC=6,

且线段AO的长度为正整数，过点C作CE〃A5交AO的延长线于点E,求AE的长.

(3)如图3,已知△AC。为直角三角形，ZADC=90°,以AC,AO为边向外作正方

形ACF3和正方形4OGE,连接8E,求证：△ACD与AA8E为偏等积三角形.

图1图2图3

【答案】⑴2；(2)6；(3)见解析

【分析】

(1)利用三角形中线的性质即可求解；

(2)先证明△A3。丝△ECQ,推出CE=AB=2,AE=2AD,再根据三角形三边

的关系求解即可；

(3)过点8作BHLEA,交EA延长线于H,然后证明4ABH^ACD,得到BH=CD,

根据%。竹肥氐力，SvABE=gAE啰H,即可得至1」5少8=5丫"£，再判定两个三角形

不全等即可得到答案.

【详解】

解：(1):在等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，AC=BC=4,

S&ABP=^APgPC,S3=gcP阴C,

•.•△482与4CBP为偏等积三角形，

S瓯BP^AP啰C=SACBP=；CP啰C,

：.AP=CP=1AC=2；

2

Si

(2)•••△ABO与△ACZ)为偏等积三角形，△ABO与△AC。为等高三角形

：.BD=DC,

,JAB//CE,

：.ZBAD=ZCED,ZABD=ZECD,

：.^ABD^/\ECD(AAS),

：.AD=DEfCE=AB=2

：.AE=2AD,

9

：AC-CE<AE<AC+CE1

・・・4<A欣8,

：.2<AD<4t

・・・AO的长为正整数，

：.AD=3f

：.AE=6；

图2

(3)过点5作交E4延长线于“，

・•・ZH=ZADC=90°,

：.NABH+NBAH=90。

•・,四边形ABFT为正方形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,

:・/BAH+/HAC=90。,

・・・NABH=/HAC,

丁四边形AOGE是正方形，

：.AE=ADfAE//DG,

：.ZHAC=ZACDf

：.ZACD=ZBAHf

：./\ABH^ACD(ASA),

:.BH=CD9

丁5AAs=gAO3,SvABE=|AEgPH,

,,SAACD=SYABE»

又・.・N”=90。，NBAE=NH+NHBA,ZADC=90°

・・・△ACO与AABE不是全等三角形，

：./\ACD与4A8E为偏等积三角形.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，平行线

的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.(2021•陕西兴平•)问题提出:

(1)如图1,在AABC中，已知AB=AC=5,BC=4,在BC上找一点D,使得线段

AD将△ABC分成面积相等的两部分，画出线段AD,并写出AD的长为.

问题探究：

(2)如图2,点D是^ABC边AC上一定点,在BC上找一点E,使得线段DE将4ABC

分成面积相等的两部分，并说明理由.

问题解决：

(3)如图3,四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了

美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，

以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB=20米，AD

=100米，ZA=60°,ZABC=150°,ZBCD=120°,若将通道记为CF,请你画出通

道CF,并求出通道CF的长.

【答案】(1)画图见解析；AD=721(2)画图见解析；理由见解析(3)画图见解

析；CF=35

【分析】

(1)如图1中，取BC的中点D,连接AD,线段AD即为所求.再根据等腰三角形的

“三线合一”及利用勾股定理求解即可.

(2)如图2中，取BC的中点F,连接AF,DF,过点A作AE〃DF交BC于E,则直

线DE平分△ABC的面积.

(3)如图3中，延长AB交DC的延长线于T,过点C作CELAD于E.求出四边形

ABCD的面积，利用三角形的面积公式求出DF,再利用勾股定理即可解决问题.

【详解】

解：(1)如图1中，取BC的中点D,连接AD,线段AD即为所求.

AAD1BC,

在RtAABD中，VZADB=90°,AB=5,BD=2,

/.AD=VAB2-BD2=^52-22=V21.

故答案为：y/2\：

(2)如图2中，取BC的中点F,连接AF,DF,过点A作AE〃DF交BC于E,

则直线DE平分△ABC的面积.

理由如下：VBF=FC,

***SAABF=SAACF,

,・,DF〃AE,

AEF=SAAED,

••Spq边彬ABEDSAABE+SAADEABE+SAAEFSAABF彳SAABC,

・•・直线DE平分△ABC的面积.

(3)如图3中，延长AB交DC的延长线于T,过点C作CEJ_AD于E.

•\ZD=360°-60°-l50°-l20°=30°,ZTBC=\80°-l50°=30°,

Z7'=180o-600-30o=90°,

：AD=100m,AB=20m,

AAT=yAD=50(m),DT=石AT=50x/3(m),BT=AT-AB=30(m),

n

.,.CT=30・4=1073,CD=DT-CT=4()&,

3

VCE1AD,

二ZCED=90°,

/.CE=yCD=20&(m),DE=⑺EC=60(m),

2

SHSH；ABCD=SAADT-SABCT=yx50x5。石—yx30x]()石=1100石(m),

：直线CF平分四边形ABCD的面积，

•'•SACDF=550>/3(m2),

A550>/3-DF»EC,

ADF=55(m),

；.EF=DE-DF=5(m),

；.CF=JcS+E尸=J(20⑹-+5?=35-

【点睛】

本题主要以三角形中线把三角形的面积平均分成相等的两部分为出发点来考查学生对

几何综合的运用，同时也考查了等腰三角形、平行、勾股定理等知识的运用，本题的关

键是通过找到面积平分来解决问题.

10.(2021•湖北通城•七年级期末)如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以

OC,04所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A(0,a),C(b,0)满足

^/a^6+|b-8|-0.

(1)a=；b=；直角三角形AOC的面积为.

(2)已知坐标轴上有两动点P,。同时出发，尸点从C点出发以每秒2个单位长度的

速度向点。匀速移动，。点从0点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，

点尸到达。点整个运动随之结束.4C的中点。的坐标是(4,3),设运动时间为，秒.问：

是否存在这样的t,使得△ODP与AODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存

在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，若NOOC=NDC。，点G是第二象限中一点，并且y轴平分

ZGOD.点E是线段04上一动点，连接接CE交。。于点//,当点E在线段04上

运动的过程中，探究NG。。，ZOHC,NACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角

形的内角和为180).

【答案】(1)6；8；24：(2)存在，=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；(3)

ZGOD+ZACE=ZOHC,见解析

【分析】

(1)利用非负性即可求出a,b即可得出结论，即可求出AABC的面积;

(2)先表示出0Q,0P,利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；

(3)先判断出/OAC=NAOD,进而判断出0G〃AC,即可判断出/FHC=NACE,同

理NFHO=NGOD,即可得出结论.

【详解】

解：(1)解：(1),•*Va—6+|b—8|=0,

Aa-6=0,b-8=0,

a=6,b=8,

AA(0,6),C(8,0)；

・・・ABC=6x8;2=24,

故答案为(0,6),(8,0)；6；8；24

⑵•••5”次=(。。・|而|=；上4=2.SAOD/,=loP-|y„|=l-(8-2r)-3=12-3r

由2r=12—3r时,r=2.4

二存在，=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等

(3))2ZGOA+ZACE=ZOHC,理由如下：

"•"x轴_1_丫轴，

・・・ZAOC=ZDOC+ZAOD=90°

・•・ZOAC+ZACO=90°

XVZDOC=ZDCO

ZOAC=ZAOD

Ty轴平分NGOD

JZGOA=ZAOD

:.ZGOA=ZOAC

・・・OG〃AC,

如图，过点H作HF〃OG交x轴于F,

・・・HF〃AC

工ZFHC=ZACE

同理NFHO=NGOD,

TOG〃FH,

・•・ZGOD=ZFHO,

，ZGOD+ZACE=ZFHO+ZFHC

即ZGOD+ZACE=ZOHC,

.・・2ZGOA+ZACE=ZOHC.

，ZGOD+ZACE=ZOHC.

此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，

平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键.

11.（2021•浙江杭州・）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC。的顶点A的坐标是

（6,-1）.顶点。的坐标是（-2,9）,且AD//8CV/工轴，AB//8//），轴，A8交x轴于点

E.取线段A8的中点R点M从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正

方向运动，点N从点E出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴负方向运动，点M与点

N同时出发，设点M的运动时间为£秒，连接而，FN,MN.

(1)填空：点5的坐标为,点F的坐标为.

(2)请探索N硒"，NOMN,NE/W之间的数量关系，并说明理由：

(3)试判断以点尸、M、O、N为顶点的四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其

值；若变化，请说明理由.

【答案】(1)(6,9),(6,4)；(2)(^0<t£2,NFNM=NOMN+ZEFN,②当Z>2时，

4EFN=NFNM+NOMN,(3)当0<fV2时，面积不变，Swa)B(wF/v=12,当f>2时，面积

发生变化，5pqiifEOMFN=3”.

【分析】

(1)根据BC公轴，可得点5、点C的纵坐标相同，由48乃轴，可得点A,点3的

横坐标相同，可求点8(6,9),4B中点尸坐标为(6,4)；

(2)分类讨论①当0<Y2时，过N作GN〃y轴交M尸于G,②当f>2时，由AB平

行y轴，可得OM〃GN〃EF,利用平行线性质NOMN=NGNM,ZEFN=ZGNF,求和

即可；

(3)①当0</V2时，设运动时间为f,OM=2t,NE=3t,ON=6-3t,EF=4,利用割补法S四二

OMF后SVWOMFE-SAFNE===12,②当t>2时，利用割补法S叫边柩OMF,V=SAMNO+S四边形

OMFE-SL0EF===3r.

【详解】

解(1)公轴，

二点8、点C的纵坐标相同，

；48丹轴，

.••点A,点B的横坐标相同，

VA的坐标是(6-1)、顶点C的坐标是(-2,9),

点B（6,9）,

点E（6,0）

AB中点F坐标为（6,4）,

故答案为（6,9）,（6,4）；

（2）结论是：①冯0&2"NFNM=NOMN+NEFN,②当f>2时，ZEFN=ZFNM+ZOMN,

①当0<fW2时，过N作GN/>轴交于G,

平行y轴，

OM〃GN〃EF,

二ZOMN=ZGNM,NEFN=ZGNF,

'：ZFNM=ZFNG+ZGNM=ZEFN+ZOMN=ZOMN+ZEFN:

②当/>2时，过N作GN%>轴交MF延长线与G,

OM〃GN〃EF,

二ZOMN=ZGNM,NEFN=ZGNF,

：.4EFN=NGNF=NGNM+乙FNMVOMN+乙FNM：

SnaitiOMFI^S四色彩。MFE-SAFNE==5（2f+4）x6——x3/x4=6f+12-6z=12,

②当r>2时，OM=2t,NE=3t,ON=3t-6.EF=4,

S四边彩OM«V=SAMNO+S四边形0MFE-S4OEF==

^（3/-6）x2r+^（2z+4）x6-1x6x4=3/2-6r+6/+12-12=3/2,

...当0<Y2时，面积不变，S叫历。如*=12,当r>2时，面积发生变化，5O,WF；V=3r

【点睛】

本题考查图形动点问题，矩形性质，点的坐标，平行线的性质，割补法求三角形面积与

四边形面积，角的和差关系，掌握图形动点问题，矩形性质，点的坐标，平行线的性质,

割补法求三角形面积与四边形面积，角的和差关系是解题关键.

12.(2021•镇江市第三中学)如图，“ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,

若动点尸从点C开始，按CfBfA-C的路径运动，回到C点时运动结束，已知点

P的速度为每秒2cm,运动的时间为，秒.

CP把AABC的周长分成相等的两部分?

(2)当年时,CP把AABC的面积分成相等的两部分?

(3)当，为何值时,△8CP的面积的6?

17

【答案】⑴6；(2)5.5；(3)11秒或一秒

4

【分析】

(1)先求出△A8C的周长为24cm,所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,

点尸在A8上，MCA+AP=HP+BC=ncm,再根据时间=路程+速度即可求解；

(2)根据中线的性质可知，点尸在AB中点时，(:2把4ABC的面积分成相等的两部分,

进而求解即可；

(3)分两种情况：①尸在AC上；②尸在A8上.

【详解】

解：（1）△ABC中，,.,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,

/\ABC的周长=8+6+10=24cm,

.•.当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点尸在A8上，

止匕时C4+AP=BP+BC=12cm,

：.2t=12,

解得:1=6；

（2）当点尸在A8中点时，C尸把△ABC的面积分成相等的两部分，

此时CB+BP=6+5=II（cm）,

解得：r=5.5；

（3）分两种情况：

①当P在AC上时，

•.♦△8CP的面积=6,

...gx6xCP=6,

：.CP=2,

二2勺6+10+6,解得：/=11；

②当P在AB上时，

ABCP的面积=6=4ABC面积的；,

4

/.BP=—AB=—,即2/-6=—,

422

17

解得：,

4

17

故，为11秒或一秒时，△BCP的面积为6.

4

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中.利

用分类讨论的思想是解（3）题的关键.

13.（2021•四川开江•七年级期末）（1）基础应用：如图1,在AABC中，AB=5,AC

=7,40是8c边上的中线，延长AO到点E使连接CE,把48,AC,2AD

利用旋转全等的方式集中在AACE中，利用三角形三边关系可得AO的取值范围

是;

（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2,在AABC中，AZ）是5c边上的

中线，点E,尸分别在4B,AC上，S.DELDF,求证：BE+CF>EF；

(3)综合应用：如图3,在四边形48C。中，AB=AD,N8+NAOC=180。且NEA尸

【答案】(1)1<AD<6；(2)见解析；(3)结论：EF=BE-FD,证明见解析.

【分析】

(1)先证明△(SAS')可得CE=A8=5,在△ACE中，利用三角形的三

边关系解答即可；

(2)如图2中，延长到H,使得连接OH,FH.再证明△丝△CD”

(SAS)可得BE=CH,再证明利用三角形的三边关系解答即可；

(3)如图3,作辅助线，构建AABG,同理证明△尸和△AEG四△AEF.可

得新的结论：EF=BE-DF.

【详解】

(1)解：如图1：'：CD=BD,AD=DE,ZCDE^ZADB,

：./\CDE^/\BDA(SAS),

:.EC=AB=5,

V7-5<AE<l+5,

：.2<2AD<12,

：.\<AD<(),

故答案为1<A£><6.

(2)证明：如图2中，延长到H,使得连接。H,FH.

图2

'：BD=DC,/BDE=NCDH,DE=DH,

：.ABDE^ACDH(SAS),

:・BE=CH,

•:FD工EH.DE=DH,

:.EF=FH,

在△CFH中，CH+CF>FH,

•:CH=BE,FH=EF,

：.BE+CF>EF.

(4)结论：EF=BE-FD

证明：如图3中，在BE上截取8G,使8G=。凡连接AG.

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

：.ZB=ZADF,

u

：AB=ADfBG=DF,

：./\ABG^/^ADF(SAS),

：.ZBAG=ZDAFfAG=AF,

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=|ABAD,

：.ZGAE=ZEAFt

\'AE=AE9

：.(SA5),

：.EG=EF,

♦：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等

知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键.

14.(2021•全国七年级课时练习)在△A3C中，AB=29BC=4f8,4?于。,

EB

图①图②

(1)如图①，已知AE_L8c于E,求证：CD=2AE

(2)如图②,P是线段4c上任意一点(P不与A、C重合)，过尸作PEJ_3C于E,PFrAB

于尸，求证：2PE+PF=CD

(3)在图②中，若尸是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写

出PE、PF、CD之间的关系.

【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)画图见解析，PF=CD+2PE.

【分析】

(1)分别以48、8c边为底边，利用AA8C的面积的两种不同表示列式整理即可得证；

(2)连接尸B,根据AABC的面积等于AABP和ABCP的面积的和，然后列式整理即可得

证；

(3)作出图形，连接P8,然后根据^A8P的面积等于△A8C的面积和^PBC的面积的和，

列式整理即可得解.

【详解】

解：(1)证明：

S=-AB.CD=-BC-AE,

△八A〃B°r22

・・・AB=2,BC=4,

A-x2.CZ)=-x4.A£,

22

z.CD=2AE,

(2)如图②，连接尸8,

图②

,,•0S4ABe~=uA4PBeT+q，

AB・CD=-AB.PF+-BC・PE,

222

•/AB=2,BC=4,

x2・CD=-x2.PF+-x4・PE,

222

:.CD=PF+2PE;

(3)如图③，即为图像，

连接P8,作尸EL3C交8c的延长线于E点,

・q-qaq

•°APAB-°AABCT°APCB»

AB.PF=-AB・CD+-BC.PE,

222

AB=2,BC=4,

.•.-x2.PF=-x2.CD+-x4,PE,

222

PF=CD+2PE.

【点睛】

本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然

后再把已知数据代入进行计算求解，所