（人教A版）2021年新高一数学暑假讲义-第十一讲 充分必要条件

第十一讲：充分必要条件

彝【学习目标】

1.理解充要条件的意义.

2.会判断一些简单的充要条件问题.

3.能对充要条件进行证明.

【基础知识】

知识点：充要条件

1.如果“若p,则和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有回，又有自就记作〃台

此时，P既是q的充分条件，也是g的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.

2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pOq,那么“与。互为充要条件.

段【考点剖析】

考点一：充要条件的判断

例1.“%>1”是“0<一<1”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

当x>l时，WO<-<1；当0<!<1时，得x>l,所以“x>l”是"的充要条件,

XXX

故选：C.

变式训练1：命题p:a>h,命题q:a+c>8+c（其中a,仇ceR）,那么〃是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

若a>b,则“+c>6+c,所以命题。可以得出命题。成立，

若a+c>Z?+c则a+c—c>b+c—c,即所以所以命题4可以得出命题P成立,

所以P是4的充要条件，

故选：C

变式训练2：设命题甲为：一2<x<6,命题乙为：|%—2|<4,那么甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】

由|%-2|<4可得-4<x-2<4,

解得—2v%v6,

又命题甲为：一2vxv6,

所以甲是乙的充要条件，

故选：C.

变式训练3：“m>，”是“一元二次方程V+X+机=。无实数根”的（）

4

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

若一元二次方程*2+x+m=。无实数根，则八=1一4帆<0,解得加>,；

4

反之若根>L，则A=l-4〃zv0,则一元二次方程Y+%+m=o无实数根.

4

所以“加〉!”是“一元二次方程£+%+加=0无实数根”的充要条件.

故选：B

考点二：充要条件的证明

例2.已知AA3C的三条边为上c,求证：AABC是等边三角形的充要条件是

a2+h2+c2=ah+ac+bc-

【答案】证明见解析

【详解】

证明(充分性)

,:a=b=c,：.(〃-姨+伍-0)2+(〃-o)2=0

a1+b2+c2=ab+ac+be

(必要性)

Va2+b2+c2=ab+ac+be，2a2+2/?2+2c2=2ah+2ac+2hc

/.(a?—2QZ?+〃2)+(C2—2仍+〃2)+(Q2-2ac+c2>j=0

即(a-/?)?+(Z?—op+(a-c)2=0,.Ia=Z?=c,得证.

变式训练1：设物/HO,求证：3=£的充要条件是〃=匕c.

ba

【答案】证明见解析

【详解】

充分性：若加/=历，•.”dwO,・,•笑二£,即，=三；

bababa

必要性：若巴=4,bdwG,：・g・bd=jbd,即加=历.

bdba

所以二二三的充要条件是ad=bc.

ba

变式训练2：求证：四边形A3CZ）是平行四边形的充要条件是四边形43CO的对角线AC与8D互相平分.

D

【答案】证明见解析

【详解】

设对角线AC与8D的交点为。.充分性：由对角线4。与班)互相平分得。4=。。，。5=。。，又

ZAOB=ZCOD,所以△AQBMaCOD,所以AB=CD,ZOAB=ZOCD,AB//CD，所以四边形

AB8是平行四边形；必要性：由四边形AB8是平行四边形得4B=CD，NOAB=NOCD,

/OBA=NODC,所以AAOB三ACOD所以。4=OCOB=O£),四边形ABCO的对角线AC与BD

互相平分；

所以四边形A6CD是平行四边形的充要条件是四边形ABC。的对角线AC与8。互相平分.

变式训练3：已知一元二次方程ax?+bx+c-0(a手0,beR,cGR).

(1)若玉=1,工2=一1是方程ax2+Z?x+c=0(aw0,/?eR,ceR)的两个根，求。的值;

(2)求证：“尤=0是方程公2+bx+c=0(aH0,beR,ceR)的一个根”的充要条件是“c=0”.

【答案】(1)0：(2)证明见解析.

【详解】

△=/-44c>0

(1)由题得，b.所以匕=0；

14-(―1)=0=---

(2)先证明充分性：

当。=0时，ax2+Z?x=O,/.x=0或x=-2,

a

所以x=0是方程ax?+/?X+C=0(QwO,Z?GR.CER)的一个根,

所以充分性成立；

再证明必要性：

当x=0是方程ax?+bx+c=o(qR,ceR)的一个根时,

axO2+Z>xO+c=O,.\c=0.

所以必要性成立.

所以“x=0是方程o?+灰+c=O（awO力的个根”的充要条件是“c=0”.

考点三：充要条件的应用（一）

例3.方程⑪2+2x+i=o的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（）

A.{a|a<0或a=l}B.{a|a<0或a=l}

C.{a|aNl或a=0}D.{a|a>l或a=0}

【答案】A

【详解】

若方程OC2+2X+1=0的非空解集中有且最多有一个负实数元素，

当。=0时，x=--,符合题意；

2

当时，由方程℃2+2x+l=0有实根，得到八=4—4。20,解得。41；

若。=1,则方程》2+2%+1=（）有且仅有一个实根兀=一1，符合题意；

若且awO,方程有两个不等实根，设这两个实根分别为七，%2,若方程的解集中有且最多有一个负

实数元素，则尤/2=,<0，即"0；

a

当。<0或。=1时，关于龙的方程以2+2工+1=0的解集中有且最多有•个负实数元素；

综上方程"2+2》+1=。的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为{a|aVO或。=1}.

故选：A.

变式训练1：三个数a,b,。不全为零的充要条件是（）

A.a,b,。都不是零B.a,b,c中至多一个是零

C.a,b,c中只有一个为零D.a,b,c中至少一个不是零

【答案】I）

【详解】

主要考查充要条件的概念及其判定方法.三个数a,b,c不全为零的充要条件是a,b,c中至少一个不是

零.选D.

变式训练2：二次函数丁=以2+灰+或。工0）的值恒为正值的充要条件是（）

A.b2-4ac>0B.b1-4czc..O

C.a>O,b2-4ac<00.a,,Q,b2-4tzc<0

【答案】C

【详解】

解：二次函数丁=«%2+/?x+c（a；e0）的值恒为正值，则函数丁=℃2+法+03工0）的图象开口向上，且与

》轴没有交点，即。>0,/—4ac<0.

故选：C.

变式训练3：函数/（幻=/+/加+1的图象关于直线》=1对称的充要条件是（）

A.m——2B.m=lC.m=—\D.m=0

【答案】A

【详解】

当m=-2时，f（x）=x2-2x+l,其图象关于直线x=l对称，反之，若函数f（x）=x2+mx+l的图象关于直线x=l对

称，则---=1,即机=—2.

2

所以f（x）=x2+mx+l的图象关于直线x=l对称的充要条件是m=-2.

故选：A.

考点三：充要条件的应用（二）

例3.已知一8x+7<0,q:2m<x<m+3.

（I）是否存在〃2,使得P是4的充要条件？若存在，求〃2的值，若不存在，请说明理由:

（II）从下面三个条件中任选一个，求相的取值范围.

①P是q的必要条件；②4是P的充分条件；

【答案】（I）不存在，理由见解析；（ID{m\m＞­}

【详解】

解：（I）由X2—8X+7K0，

解得：14尤47,

若P是q的充要条件，

2m=1

则〈cr,

〃2+3=7

即{〃'—5,此时方程组无解，

m=4

即不存在团，使p是q的充要条件；

（II）设命题P对应的集合为A=[1,7].命题9对应的集合为8=[2〃?,“+3],

若选①，P是q的必要条件，

则8=A,

当3=0时，2m＞机+3,

即根＞3成立；

2m＞1

当3W0时，根＜3且〈一r，

m+3＜7

解得：一WmW3,

2

综上所述：

若选择②，q是P的充分条件，

则8qA,

当8=0时，2机＞m+3，

即，篦＞3成立：

2m>1

当8W0时，加W3且,「「

m+3<7

解得：—<m<3,

2

综上所述：{m|加2；}；

变式训练1：已知命题〃：A={x|2a_l<x<3a+l},命题q:3={x|-1<x<4}.

(1)若〃是4的充分条件，求实数。的取值范围.

(2)是否存在实数〃，使得。是夕的充要条件？若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1){a|a<-2或。WaVl}；(2)不存在，理由见解析.

【详解】

(1)集合A={x|2a-l<x<3a-l},集合8={x|-l<x<4}.

因为P是。的充分条件，所以AgB,

集合A可以分为4=0或Aw0两种情况来讨论：

当A=0时，满足题意，此时2a-解得：a<-2；

当A*0时，要使A±8成立，

2a-\>-\

需满足<3a+144=>0<a<l,

2。一1<3ci+1

综上所得，实数。的取值范围{々|々<一2或OKaKl}.

(2)假设存在实数。，使得〃是9的充要条件，那么A=8,

2tz—1=-1。二0

贝I」必有<,解得＜।综合得。无解.

3。+1=4a=1

故不存在实数〃，使得A=8，

即不存在实数a，使得A是3的充要条件.

【当堂小结】

1.知识清单：

(1)充要条件^念的理解.

(2)充要条件的证明.

(3)充要条件的应用.

2.方法归纳：等价转化.

3.常见误区：条件和结论辨别不清.

回

工1【过关检测】

1、uAC\B=Af,是“AuB”的()

A.必要不充分条件B.既不充分又不必要条件

C.充分不必要条件D.充要条件

【答案】D

【详解】

A8是两个集合，则“AD3=A”可得“A=8”，

“A=8”，可得"=.

所以A,B是两个集合，则“人口3=4”是=的充要条件.

故选：D.

2、设U为全集，则“408=0”是“4三«8”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

因为。为全集，若408=0，则人口48：若则=

所以“408=0”是“A工的充要条件.

故选：C.

3、设ae(0,+8),be(0,+。)，则“a<。”是一1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

若"a<b”,则根据不等式性质，两边同时减去1,不等式符号不变，所以，

%<1”成立,则“。一1<8一1”成立，充分性成立;

“。一1<6-1”成立，根据不等式性质，两边同时加上1,不等式符号不变，所以,

'。一1<匕一1”成立,则“a<。”成立，必要性成立;

所以，“a<b”是“。一1<万一1”的充要条件

故选C

4、已知，：q：X2-4X-5<0,则，是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】D

【详解】

P：|x-2|<3=>-l<x<5),

(7：X2-4x-5<0=>-l<x<5.

所以。=q,且q=>〃，

所以p是q的充要条件.

故选：D.

2

5、“a(a-2)<0”是“一>1”成立的()

a

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【详解】

•.•“不等式。（。-2）<0=>0<。<2,不等式->1=——->0=>0<（7<2,

aa

.••两不等式解集相等，

2

二“。（。一2）<0”是“一>1”成立的充要条件，

a

故选A.

6、设r是q的充分条件，s是4的充要条件，f是S的必要条件，/是r的充分条件，那么r是，的（）

条件.

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.充分必要条件

【答案】D

【详解】

因为「是0的充分条件，s是q的充要条件，

所以「是s的充分条件，即厂=s成立.

又因为/是S的必要条件，所以r是/的充分条件，即rnr,

因为t是r的充分条件，t=>r,所以/or,即/•是，的充要条件.

故选：D

7、“。=0”是“二次函数丫=加+"+«力0）的图象关于y轴对称”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

匕=0=二次函数y="2+必+。=处2+。的图象关于丫轴对称，

b

二次函数丁=ar9+/?x+c的图象关于y轴对称,对称轴为犬=----=0=6=0

2a

所有人=0。二次函数y=o?+云+c的图象关于y轴对称，

二"/?=0”是“二次函数,=以2+—+C的图象关于y轴对称”的充要条件，

故选:A.

8、有下述说法：①。>/，>0是/>〃的充要条件；②。>/,>0是!<?的充要条件；③〃>〃>()是

ab

的充要条件，则其中正确的说法有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【详解】

Q)a>b>0^>a2>b2<a>b>O<^=a2>b2>

如a=-5,b=l,故①错误.

②因为J_<_L=_L_J_<O=：LZ£<O,

ahahah

所以a>b>OnL<‘，a>b>0^-<-,故②错误.

abab

③因为a>b>0na3,a>b>Q^=a3>b3,

如a=5,b=-l,故③错误.

故选：A

9、已知a、beR,则“a+8=0”是“/+a2b—q2—〃万+^+匕二。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

a+crb-a2一而+a+b=a?(a+b)-a(a+b)+(a+h)=(a+b)(a2-a+1),

I2J4

所以，o'+crb-cr-ab+a+b-O<^a+b-O-

因此，“a+h=O"是''43+/8—/一出?+a+z?=。，，的充要条件.

故选：C.

10、已知"wo,则"a—8=1”是“々3一人3一。〃一/一加二()，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

由于/一—ab—cr—b~—(Q—1)(Q~+a/?+Z?2),

,:a—hci—h—1=0,

a，—b，—cih—a2—力=(a—h—+ab+)=0,

反之：当a3-b^—ah—cr—b2=0时，

*.*/—护—cih—a?—b~=1)(Q-+ab+b],

.\{a-b—\)[cr+aZ?+〃)=O,

(1Y3

*.*cihw0,Q~+cib+Z?2=|ciH—b-\—I)2>0,

I2J4

.\6Z-/?-l=0,即。一。=1

综上所述：“Q—b=l”是“/一〃3——片—廿二。”的充要条件，

故选：C.

11、！<1成立的充要条件是()

a

A.a>\B.a<0C.awOD.。〉1或avO

【答案】D

【详解】

解：因为L<1,.・.,一1<0,.•.又<0,即£z1>0,解得a>l或“<0,即ae(-a),0)U(l,+8)，

aaaa

故,<1成立的充要条件是“。>1或a<0”.

a

故选：。

12、若a,b都是正整数，则〃+成立的充要条件是()

A.a=b=\B.。，〃至少有一个为1

C.a=b=2D.且/?>1

【答案】B

【解析】

a+b>"=L+_L>i,当。=23=1时，不等式成立,故排除A,C,Z>三个选项,所以选5.

ab

13、求证：一次函数>=丘+。伏¥())的图象经过坐标原点的充要条件是8=0.

【答案】证明见解析

【详解】

证明①充分性：如果6=0,那么丫=匕.当％=0时，y=0,

所以一次函数y=近+仅%。0)的图象经过坐标原点.

②必要性：因为一次函数y=丘+仇左。0)的图象经过坐标原点，

所以当x=0时，y=0,即AxO+b=O,所以8=0.

综上，一次函数y=履+h0)的图象经过坐标原点的充要条件是8=0.

14、已知ab^O,求证：a+h=\的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.注：

/+段~(a+b)(a2+h2-ab).

【答案】证明见解析.

【详解】

证明：先证必要性：

a+b=\,h=\—a

+kf+ctb—ci~-b~=tz',+(l—+a(l—a)-—

—a?+]一3a+3tz--/+a—cr—ci~—1+2a—ci~—0

再证充分性：

•；o'+hs+ab-(r-h2=0

(Q+Z?)(Q2一"+/)_(/一〃力+人2)=o

即：—Q/?+/?)(〃+/?-1)=0

(/?Y3o

'/ab^O.a92-ah+h~=a——十—kr>0,

I2)4

•,•。+b—1=0,即a+Z?=1.

综上所述：。+〃=1的充要条件是+)3+ab-〃2一。2=0

15、已知aZ?wO,求证：/-2a%+2a"-6"=0成立的充要条件是。一力=0.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：（1）充分性（条件一结论）

因为〃一Z?=0,而。3—2a~b+2ab~—b，—（a—b）（a~-ab+b~）,

所以-2a2b+2ab2-b3=（a-人）（片一"+力2）=o成立；

（2）必要性（结论一条件）

3h2

因为d-2a2b+2加一及=（。一匕）（。2一〃6+力2）=o,而cC—ah+b”+——，