2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十三圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(15分钟35分)1.球的半径扩大到原来的2倍,则它的表面积扩大到原来的 ()A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍【解析】选B.设球的半径为r,则球的表面积为S=4πr2,若球的半径扩大为原来的2倍,则球的表面积为S=4·π·(2r)2=16πr2,表面积扩大为原来的4倍.2.若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形,其面积为QUOTE,则这个圆锥的体积为 ()A.3π B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选B.设圆锥的底面半径为R,依题意知,该圆锥的高即轴截面的高h=QUOTE·2R=QUOTER,所以QUOTE·2R·QUOTER=QUOTE,解得R=1.所以V=QUOTE×π×12×QUOTE=QUOTEπ.3.圆柱的一个底面积是S,侧面绽开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 ()A.4πS B.2πS C.πS D.QUOTEπS【解析】选A.底面半径是QUOTE,所以正方形的边长是2πQUOTE=2QUOTE,故圆柱的侧面积是(2QUOTE)2=4πS.4.体积为4QUOTEπ的球的内接正方体的棱长为.

【解析】设球的半径为R,正方体的棱长为a,则QUOTE=4QUOTEπ,所以R3=3QUOTE,所以R=QUOTE,则由正方体的性质可知正方体的体对角线QUOTEa=2R=2QUOTE,所以a=2.答案:25.有一个空心钢球,质量为142g,测得外直径为5cm,则它的内直径是cm(钢的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).

【解析】设钢球的内半径为r,所以7.9×QUOTE×π×QUOTE=142,解得r≈2.25.故内直径为4.5cm.答案:4.56.四边形ABCD中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),将四边形绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.【解析】因为C(2,1),D(0,3),所以圆锥的底面半径r=2,高h=2.所以V圆锥=QUOTEπr2h=QUOTEπ×22×2=QUOTEπ.因为B(1,0),C(2,1),所以圆台的两个底面半径R=2,R′=1,高h′=1.所以V圆台=QUOTEπh′(R2+R′2+RR′)=QUOTEπ×1×(22+12+2×1)=QUOTEπ,所以V=V圆锥+V圆台=5π.【补偿训练】将一个半径为8cm、圆心角为QUOTE的扇形薄铁片,焊接成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于cm3.

【解析】将一个半径为8cm、圆心角为QUOTE的扇形薄铁片,焊接成一个圆锥形容器,则圆锥的底面圆周长为:8×QUOTE=2π,所以圆锥的底面圆半径r=1,所以圆锥的高h=QUOTE=3QUOTE.所以这个圆锥形容器的容积为:V=QUOTE×π×12×h=QUOTE×π×3QUOTE=QUOTEπ(cm3).答案:QUOTEπ(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解析】选B.由l=QUOTE×2πr=8得圆锥底面的半径r=QUOTE≈QUOTE,所以米堆的体积V=QUOTE×QUOTEπr2h=QUOTE×QUOTE×5=QUOTE(立方尺),所以堆放的米有QUOTE÷1.62≈22(斛).2.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积之比是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由6a2=4πR2得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(其中a为正方体的棱长,R为球的半径)3.中国古代计时器的独创时间不晚于战国时代(公元前476年-前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形态完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,起先时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器,如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的QUOTE(细管长度忽视不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 ()A.2cm B.QUOTEcm C.QUOTEcm D.QUOTEcm【解析】选D.由题意可知,起先时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=QUOTE×8=QUOTE,底面圆的半径r=QUOTE×4=QUOTE,故细沙的体积V=QUOTEπr2H=QUOTEπ×QUOTE×QUOTE=QUOTE.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H′,则QUOTEπ×42×H′=QUOTE,得H′=QUOTE.故此圆锥形沙堆的高为QUOTEcm.4.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点(该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近),分别作平行于该圆锥底面的平面,圆锥被分割成三个部分,则这三个部分的侧面积之比为 ()A.2∶1∶3 B.2∶3∶6C.4∶5∶27 D.4∶9∶36【解析】选C.扇形的面积公式为S=QUOTE,设圆锥母线长为l,则S1=QUOTE,S1+S2=QUOTE,S1+S2+S3=QUOTE,所以S1∶(S1+S2)∶(S1+S2+S3)=4∶9∶36.S1∶S2∶S3=4∶5∶27.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.圆柱的侧面绽开图是一个面积为16π2的正方形,该圆柱内有一个体积为V的球,则V的取值可以为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选CD.圆柱的侧面绽开图是一个面积为16π2的正方形,所以该圆柱的底面周长为2πr=4π解得r=2,圆柱的高为4π,该圆柱内有一个体积为V的球,当球的最大圆与圆柱的侧面相切时,该球的体积最大值V=QUOTE=QUOTE.故球的体积可以为QUOTE或QUOTE.6.一个底面半径为2,高为4的圆锥中有一个内接圆柱,该圆柱的侧面积可以为 ()A.3π B.4π C.5π D.6π【解析】选AB.圆锥的底面半径为2,高为4,所以内接圆柱的底面半径为x时,它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x,因此,内接圆柱的高h=4-2x;所以圆柱的侧面积为S侧=2πx(4-2x)=4π(2x-x2)(0<x<2),令t=2x-x2,当x=1时tmax=1;所以当x=1时,(S侧)max=4π.即圆柱的底面半径为1时,圆柱的侧面积最大,最大值为4π.三、填空题(每小题5分,共10分)7.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,则QUOTE等于.

【解析】一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,所以QUOTE×πh2×h=π×QUOTE×h,所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·余姚高一检测)一个圆台的母线长为12cm,两底面积分别为4πcm2和25πcm2,则圆台的高为;截得此圆台的圆锥的母线长为.

【解析】圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示:由已知可得上底面圆的半径O1A=2cm,下底面圆的半径OB=5cm;又腰长为母线长是AB=12cm,所以高AM=QUOTE=3QUOTE(cm);设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO可得QUOTE=QUOTE,解得l=20(cm).答案:3QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水面下放着一个底面直径为6cm,高为20cm的圆锥形铅锤.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少?(π≈3.14)【解析】因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分事实上是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面相同,是始终径为20cm的圆,它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度.圆锥形铅锤的体积为QUOTE×π×QUOTE×20=60π(cm3).设水面下降的高度为xcm,则小圆柱的体积为πQUOTE×x=100πx,所以60π=100πx,解得x=0.6,即铅锤取出后,杯中水将下降0.6cm.10.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10QUOTEcm,高为10cm.打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗,则制作该模型所需原料的质量为多少g.(π取3.14)【解析】设被挖去的正方体的棱长为xcm.圆锥底面半径为r,则圆锥底面半径r=QUOTE×10QUOTE=5QUOTEcm,高h=10cm,则QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=5,打印所用原料密度为ρ=0.9g/cm3,π取3.14,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为:m=ρV=0.9QUOTE=0.9QUOTE=358.5(g).1.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为.

【解析】由题意,直三棱柱上底面截球的截面为一个圆形,而此圆形即为直三棱柱上底面的三角形的内切圆.相关图形如图:依据题意,可知:OO′=8-4=4.因为底面边长分别是5,12,13,则52+122=132.所以底面是一个直角三角形.依据面积相等,很明显QUOTE×(5+12+13)×r=QUOTE×5×12,解得r=2.所以在Rt△OO′D中,R=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.所以V球=QUOTEπ·(2QUOTE)3=QUOTE.答案:QUOTE2.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为 ()A.