2024高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何规范答题示范课-解析几何解答题含解析

PAGE规范答题示范课——解析几何解答题[破题之道]解析几何试题学问点多，运算量大，实力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平常重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【典例示范】(12分)(2024·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的离心率为eq\f(\r(15),4)，A，B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.规范解答(1)由题设可得eq\f(\r(25－m2),5)＝eq\f(\r(15),4)，得m2＝eq\f(25,16)，2分所以C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(25,16))＝1.3分(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，依据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－eq\f(1,yQ)(x－5)，所以|BP|＝yPeq\r(1＋yeq\o\al(2,Q))，|BQ|＝eq\r(1＋yeq\o\al(2,Q)).5分因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8).7分所以|P1Q1|＝eq\r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq\f(1,3)x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为eq\f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝eq\f(5,2).9分|P2Q2|＝eq\r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq\f(7,9)x＋eq\f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq\f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(130),26)×eq\r(130)＝eq\f(5,2).11分综上，△APQ的面积为eq\f(5,2).12分[高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问，求椭圆C的方程；第(2)问表示出|BP|与|BQ|，分两种状况求△APQ的面积.❷得关键分：解题过程不行忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中由离心率求m2；第(2)问中求直线BP的方程、直线P1Q1与直线P2Q2的方程等.❸得计算分：解题过程中计算精确是得满分的根本保证.如第(1)问求对m2及曲线C的方程，否则全盘皆输；第(2)问中正确计算点P，Q的坐标，否则将导致失分.[满分体验](2024·东北三省三校联考)直线与椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，已知m＝(ax1，by1)，n＝(ax2，by2)，椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)当m⊥n时，△AOB的面积是否为定值？假如是，请赐予证明；假如不是，请说明理由.解(1)由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))所以椭圆C的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)①当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，由m⊥n，即m·n＝0，得4xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝0，所以yeq\o\al(2,1)＝4xeq\o\al(2,1).又A(x1，y1)在椭圆C上，所以eq\f(4xeq\o\al(2,1),4)＋xeq\o\al(2,1)＝1，解得|x1|＝eq\f(\r(2),2)，所以|y1|＝eq\r(2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|x1||y1－y2|＝eq\f(1,2)|x1|·2|y1|＝1，此时△AOB的面积为定值.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋t(t≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(y2,4)＋x2＝1，))消去y并整理得(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.由题意知Δ＝4k2t2－4(k2＋4)(t2－4)＞0，(*)x1＋x2＝eq\f(－2kt,k2＋4)，x1x2＝eq\f(t2－4,k2＋4).由m⊥n，即m·n＝0，得4x1x2＋y1y2＝0，所以4x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(k2＋4)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.所以(k2＋4)·eq\f(t2－4,k2＋4)＋kt·eq\f(－2kt,k2＋4)＋t2＝0，整理得2t2－k2＝4，满意(*)式.从而S△AOB＝eq\f(1,2)·eq\f(|t|,\r(1＋k2))·|AB|＝eq\f(|t|,2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(|t|,2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f