2025届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练文含解析北师大版

PAGE第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练A组——基础对点练1．双曲线eq\f(x2,36－m2)－eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜3)的焦距为()A．6 B．12C．36 D.2eq\r(36－2m2)解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12.答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k的值是()A．1 B．－1C.eq\f(\r(65),3) D.－eq\f(\r(6),3)解析：kx2－eq\f(ky2,8)＝1，焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1.答案：B3．(2024·山东滕州月考)已知双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于()A.eq\f(2,3) B．1C．2 D.4解析：由双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，由双曲线定义|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.答案：D4．(2024·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－eq\f(x2,3)＝1C．x2－y2＝2 D.y2－x2＝2解析：由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D.答案：D5．双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(9,4)x B．y＝±eq\f(4,9)xC．y＝±eq\f(3,2)x D.y＝±eq\f(2,3)x解析：双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.答案：C6．(2024·石家庄模拟)若双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，则双曲线M的离心率为()A．3 B．2C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,4)解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，则双曲线的离心率为：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).答案：D7．(2024·彭州模拟)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D.4＋2eq\r(3)解析：∠PQF＝60°，因为|PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，四边形F1PFQ为矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝eq\r(3)|QF|，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F|,|QF1|－|QF|)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：B8．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D.(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因为a>1，所以e∈(1，eq\r(2))，故选C.答案：C9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为________．解析：因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，F2(5，0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以双曲线C的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝110．已知双曲线经过点(2eq\r(2)，1)，其一条渐近线方程为y＝eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由题意可知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8m＋n＝1，,\r(－\f(m,n))＝\f(1,2)，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝－1.))则双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝1B组——素养提升练11．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D.8解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2eq\r(3))在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.答案：C12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D.[eq\r(5)，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)>2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C13．设F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(15),2) D.eq\r(5)解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(负值舍去)．答案：B14．(2024·贵阳市高三监测)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A．(1，eq\f(\r(5),2)) B．(eq\f(\r(5),2)，＋∞)C．(1，eq\f(5,4)) D.(eq\f(5,4)，＋∞)解析：依题意，留意到题中的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，且“右”区域是不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＜\f(b,a)x，,y＞－\f(b,a)x))所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1＜eq\f(2b,a)，即eq\f(b,a)＞eq\f(1,2)，因此题中的双曲线的离心率e＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)∈(eq\f(\r(5),2)，＋∞)，选B.答案：B15．(2024·开封模拟)已知F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为________．解析：因为F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的两个焦点，所以m＋4＝16，所以m＝12，设|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因为点M是双曲线上一点，且∠F1MF2＝60°，所以|m′－n|＝4eq\r(3)①，m′2＋n2－2m′ncos60°＝64②，由②－①2得m′n＝16，所以△F1MF2的面积S＝eq\f(1,2)m′nsin60°＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)16．(2024·唐山模拟)已知P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到