2024-2025学年北师大版九年级上册 数学期中试卷 （A）

九年级上册数学期中检测卷考试时间：100分钟试卷满分：120分一、单选题（共10道，每道3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（）

A． B． C． D．

3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（）A． B． C． D．4．如图，直线两条直线分别与、、，相交于点A、B、C和D、E、F，已知，则下列等式不成立（）A． B． C． D．5．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A． B． C． D．6．为执行“均衡教育”政策，某市2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．7．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定

8．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．5 B． C． D．9．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，，，则四边形BEDF的周长是（）A．8 B． C． D．410．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且，点P在正方形的边上，则满足的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8二、填空题（共5道，每道3分）11．一元二次方程的解是______．

12．在一次数学活动课上，老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验，试验规则如下：在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，这样连续摸球200次．试验结束后，5个小组分别计算出摸出黄球的频率（如下表所示）．由此估计，盒子中红球的个数为______．组别第1组第2组第3组第4组第5组摸出黄球的频率0.190.220.200.190.2013．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，，点E，F分别是BM，CM中点，若，则AM的长为______．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作，垂足为点E，过点P作，交DC的延长线于点F，则______．15．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若为直角三角形，则DP的长为______．

三、解答题（共8道，共计75分）16．（8分）解下列方程．（1）； （2）．17．（8分）小亮与小明做掷骰子（质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）的试验．（1）他们共做了50次试验，试验结果如下：朝上的点数123456出现的次数1096988①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是______．②小亮说：“根据试验，出现朝上的点数为1的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？（2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜．小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．18．（8分）如图，在中，直线DN平行于中线AF交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，求证：．19．（9分）已知：矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？20．（10分）某商店以40元/千克的价格新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系式为．（1）该商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售价格应定为多少？（2）在（1）条件下，该商店为了国庆期间促销，经过两次降价将销售价格定为81元/千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．21．（10分）如图1，在中，，过AB上一点D作交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作，另一边EF交AC于点F．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB的中点时，四边形ADEF的形状为______；（3）延长图1中的DE到点G，使，连接AE，AG，FG，得到图2，若，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．22．（10分）如图1，在中，点D在线段AB上，点E在线段CB的延长线上，且，交直线CD于点P，交直线AB于点F，．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，请说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB的延长线上”改为“点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC的延长线上”，其他条件不变（如图2）．当，，时，求线段PE的长．23．（10分）如图1，在等腰三角形ABC中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段NM，NP的数量关系是______，的大小为______；

（2）探究证明

把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP，BD，CE，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．

参考答案1．答案：B解题思路：A．是一元一次方程，故A错误；B．是一元二次方程，故B正确；C．是二元二次方程，故C错误；D．是分式方程，故D错误；故选：B．2．答案：C解题思路：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：C．3．B4．C5．答案：C列表如下：12123234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为，故选：C．6．D【解析】由题意得，2018年投入的教育经费为万元，2019年投入的教育经费为万元，预计到2019年底，三年累计投入万元，所以．故选D．7．答案：A解题思路：，∴，即，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．8．C9．答案：B解题思路：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴，，∵，∴，即，∴四边形BEDF为平行四边形，且，∴四边形BEDF为菱形，∴，∵，，由勾股定理得：，∴四边形BEDF的周长，故选：B．10．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且，∴，，∵点M与点F关于BC对称，∴，，∴，∴．则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为，在点H右侧，当点P与点C重合时，则，∴点P在CH上时，．在点H左侧，当点P与点B重合时，．∵，，，∴，∴，∴．∴点P在BH上时，．∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使．即共有8个点P满足，故选：D．11．答案：，解题思路：，，∴或，∴，，故答案为：，．12．24【解析】由题中表格可知，摸出黄球的频率稳定在0.20左右，所以估计摸一次球，摸出黄球的概率为0.2，所以盒子中小球约有（个），所以估计红球的个数为．13．答案：8解题思路：∵点E，点F分别是BM，CM中点，∴EF是的中位线，∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，∴，故答案为：8．14．4.815．答案：1或16．【解析】（1）原方程可化为，其中，，，，所以，即原方程的根为，．（2）移项，得，因式分解，得．所以，或，解得，．17．【解析】（1）①0.2②不正确．因为在一次试验中频率并不一定等于概率，只有当试验次数很大时，频率才趋近于概率．（2）小亮获胜的可能性大，理由如下．列表如下：第2枚骰子掷得的点数和第1枚骰子掷得的点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知，所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．所以P（点数之和超过6），P（点数之和不超过6）．因为，所以小亮获胜的可能性大．18．【解答】证明：∵直线，∴，，∵在中，AF是BC边上的中线，∴，∴．19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，又∵，时，即时，四边形ABCD是正方形，把代入，得，解得：，∴正方形ABCD的边长是；（2）把代入，得，解得：，把代入，得，解得或，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD的周长是．20．【解析】（1）根据题意得，，整理得，，解得，．当时，销售价格为60元/千克，销售量为120千克，则销售成本为（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当时，销售价格为100元/千克，销售量为40千克，则销售成本为（元），低于3000元，符合题意．答：销售价格应定为100元/千克．（2）设平均每次降价的百分比是x，根据题意得，，解得，（舍去）．答：平均每次降价的百分比是10%．21．【解析】（1）∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）菱形．∵点D为AB的中点，∴，∵，点D为AB中点，∴．∵，∴．由（1）知四边形ADEF为平行四边形，∴四边形ADEF为菱形．（3）四边形AEGF是矩形．理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，∴，．∵，∴，∴四边形AEGF是平行四边形．∵，，∴，∴四边形AEGF是矩形．22．【解析】（1）．证明如下：∵，，，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．（2）∵，，∴，∴，．∵，∴，，∴，∴，又∵，∴．∵，，∴，∴，即P为CD的中点．又∵，∴F是AD的中点，∴FP是的中位线，∴．∵，，∴，∴．∵，，∴，即C为BE的中点．又∵，∴A为FB