2020-2021学年人教A版（2019）高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷一 解析版

2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知圆锥的底面半径为4,母线长为5,则该圆锥的侧面积为（）

A.16KB.2()71C.36KD.40K

【答案】B

【解析】由题可知：圆锥的底面半径为4,母线长为5

所以该圆锥的侧面枳为5=%力=%x4x5=20%,故选：B

2.已知i是虚数单位，若z=N，则z的共貌复数I的虚部为（

【答案】C

-17_7

所以z=y--i,即z的共枕复数I的虚部为一故选:C

3.平面向量。=（2,1）,忖=2,75=4,则向量£、B夹角的余弦值为（）

A.述B,-C.好D.-

5555

【答案】A

【解析】设平面向量£、B的夹角为6，Qo=（2,l）,则口=正，

八ab4275

由平面向量数量的定义可得©。5夕=产旧=-7「；=丫，故选：A.

|叶网A/5X25

4.某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层

抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】因为高一、高二、高三年级学生数比为：1100:1000:9（X）=11:10:9，

所以应从高二年级抽取的学生人数为30xW=10,故选：B

5.已知平面a、平面/、平面夕、直线a以及直线则下列命题说法错误的是（)

A.若a〃a,b_La,则a_L6B.若aHO，acy=a,0cy=b,贝Ila〃8

C.若a〃户,a_La,则aJ•尸D.若a_Ly,尸_1_/,则a〃4.

【解析】A项：因为a〃a，bLa,所以a-Lb,故A正确；

B项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行，

所以根据a〃尸、acy=a、607=匕可证得a〃b，故B正确；

C项：因为所以“垂直于平面a内的两条相交直线，

因为a//月，所以平面a内的两条相交直线必与平面夕内的两条相交直线对应平行,

所以。垂直于平面厂内的两条相交直线，。上尸，故C正确;

D项:

如图所示，绘出正方体A3CD-EFG”，

令平面ABCD是平面a,平面A0HE是平面/,平面CDHG是平面£，

则满足a_Ly,尸_1_/,但是c//£不成立，故D错误，故选：D.

6.在AA6C中，内角的对边分别是a,仇c.若〃一0?=回c,sinB=2GsinC，则A等于（）

5兀-2兀-兀-兀

A.—B.—C.-D.一

6336

【答案】D

【解析】由sinB=26sinC，得b=2\fic，又因为"—，=6儿？，所以"一/=6，，即a=J7c，

所以cosA=12c-+g]7c：=也,乂0<4<兀，则人=乙：故选：D.

7.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙

江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高&8cm,孔径4.9CM、外径17.6c%琮体四面各琢刻一完整的兽面神

人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂

直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位：C7/P）（)

A.6250B.3050C.2850D.2350

【答案】D

【解析】由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6c/n,高为8.8m的正四棱柱中挖去一个

底面直径为4.9cm，高为&8c•m的圆柱，此时求得体积记为匕，

V,=（17.6『x8.8—万x<4.9?x8.8«2560cm\

IX

记该神人纹玉琮王的实际体积为V,

则v＜X，

门76丫（49V

且由题意可知，V>^-x——x8.8—=一x8.8«1975cm,

I2JI2）

故1975<V<2560,故选：D.

8.平行四边形ABC。中，A5=4，AD=3,ZBAD=60°.。为C£＞中点，点尸在对角线8。上，且

9=2而，若AP_L而，则a=（）

11八2

A.—B.—C.-D.

423

【答案】A

【解析】以点A为坐标原点，AO所在直线为工轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则4（0,0）、8（2,26）、C（5,2班）、£＞（3,0）、Q（4,6）,

AB=（2,2A/3）,而5=（1,-2⑹,==（2,-2732）,

所以，丽=而+丽=（2+4,26-2也/I）,

■.■BQ=（2,-y/3）,而,丽，则丽・丽=2（2+4）-+26-2®L）=8X-2=0,

因此，2=-,故选：A.

4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z=6—i，则（）

A.\z\=2B.\z\=4

C.z的共舸复数I=G+iD.Z2=4-2V3Z

【答案】AC

【解析】依题意忖=J（可+（—1）2=2，

故A选项正确，B选项错误.

z=x/3+z-C选项正确.

z2-=3-26，+产=2—2gz，D选项错误.故选:AC

10.某人射箭9次，射中的环数依次为：7,8,9,7,6,9,8,10,8,关于这组数据，下列说法正确的是

（）

A.这组数据的众数是8

B.这组数据的平均数是8

C.这组数据的中位数是6

4

D.这组数据的方差是一

3

【答案】ABD

［解析】数据从小到大排列为：6,7,7,8,8,8,9,9,10,

所以众数为8,A选项正确；中位数为8,C选项错误;

6+7+7+8+8+8+9+9+10

平均数为=8,所以B选项正确;

9

方差为［(6-8『+(7-8『x2+(8-8『x3+(9-8)2x2+(10-8)24

所以D选项正确.

9L3

故选:ABD

11.在三角形A3C中，下列命题正确的有（）

A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解

B.若0ctanA-tanB<l,则八46c一定钝角三角形

C.若<：056-3)£：05(8-0(：05。-4)=1,则418。一定是等边三角形

D.若a-)=ccos6-ccosA,则A46C的形状是等腰或直角三角形

【答案】BCD

【解析】因为A=30°，b=4,。=5

/?sin.2

所以由正弦定理得sin8=———=—,b<a

a5

所以区角只有一个解，故A错误

」八4c<八sinAsinB1

由0<tanAtan5<l,即0<-------------<1

cosAcosB

所以8s4cos3—sinAsin3>0,即cos(A+5)>。

7T7T

所以A+8<一,所以。=4一4一8>一，故4/钻。一定是钝角三角形

22

故B正确

H^JCOS(A-B)COS(B-C)COS(C-A)=1

所以cos(A_8)=cos(3-C)=cos(C-A)=1

所以A=8=C=60。，故C正确

因为a-b=c・cosB-c・cosA

所以sinA-sin5=sinCcosB-sinCcosA

所以sinA-sinCcos3=sin3—sinCcosA

因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sin3

7F

所以C=一或A=B，所以AA3C的形状是等腰或直角三角形，故选：BCD

2

12.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-8D—C，点P为线段A。上的一动点，下

列结论正确的是().

A.异面直线AC与80所成的角为90°B.AACD是等边三角形

C.ABCP面积的最小值为姮D.四面体A3CO的外接球的表面积为4〃

2

【答案】AB

【解析】

对于A,取8。的中点E，连接AE,CE,则AE_L8Z),CE_L8。，所以加_L平面ACE,

所以AC_L80,所以异面直线AC与80所成的角为90°，所以A正确；

C

对于B,由于正方形的边长为2,所以AD=CD=2,AE=CE=J5,

因为NA£C=90°,所以AC=J^西速'=2,所以八48为正三角形，所以B正确:

对于C,如图，过P作尸尸，8。于尸，过尸作FGL3C于G,连接PG，

因为平面AD5J_平面BCD,所以PF_L平面BCO，则PF_LFG,PF±BC.

所以3CJ_平面PFG,所以BC工PG,设PF=x，则£>R=x,BF=26,-x，

X

所以

FG=2-正'

所以当X=里时，PG有最小值/，所以“BCP面积的最小值为友，故C不正确;

对于D,由于AE=CE=BE=DE=壶,所以£为四面体ABCZ)的外接球的球心，且球的半价为J5,

所以四面体ABCD的外接球的表面积为4万x(0)2=8万，故D不正确，故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为—

3

【答案】-

4

【解析】任选3名代表的所有基本事件为：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个，基本含有甲的事件

有3个，.•.所求概率为P==3.故答案为：一3.

44

14.如图，在平行四边形A8CO中，通=£,而=万，点。为对角线AC与BO的交点，点E在边CO

上，且OE=2EC,则朝=.（用£,B表示）

【答案】

26

—.2—.

【解析】由题意可得，DE=-DC,

_________1___2__.

OE=Ob+DE=-BD+-DC,

23

=（（而一洞而=g而+,通=产+》故答案为：

15.“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半

径为6（单位：10m）,游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC,伦敦眼与建筑之间的距离为12

（单位：10m）,游客在乘坐舱P看建筑6C的视角为少

当乘坐舱P在伦敦眼的最高点。时，视角夕=30。，则建筑8c的高度为（单位：10m）

【答案】126-12（单位：10m）；

【解析】（1）当乘坐舱尸在伦敦眼的最高点。时，ZBDC=0=3O°,此时AD=AB=12,即

ZAB£>=45°.所以ZBCr）=105°.

在等腰三角形中，BD=126.

，所以g=考五=】2有72

BDBC

由正弦定理得

sin105°sin30°2x----------

4

所以建筑8C的高度为126-12（单位：10m）.

16.如图，设A43C的内角A、B、C的对边分别为。、bc,V3（acosC4-ccosA）=2Z?sinB,且

冗

ZCAB=~.若点。是AA3C外一点，CD=LAD=3,则当NO时，四边形A3C。的面

3

积的最大值为.

【解析】,,,>/3((7cosC+ccosA)=2/?sinB,

由正弦定理可得力(sinAcosC+cosAsinC)=2sin2B,

所以，2sin2B=6sin(A+C)=gsin(7r_5)=6sinb,

NCAB=。，，£(0,—,可得sinjB>0,sin3=^^,...N3=。，

所以，△ABC为等边三角形，设N£>=6,则0<6〈万，

由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2ADCDcos0=lO-6cos3，

S&ABC=；AC2sin(=2(10-6cos6)=cos6，

13

S,ACD=-AD-CDsin0=-sm0t所以，四边形A3CO的面积为

上ine+速-述c°s*3sinL-4+述,

222(312

T[TT27rTCTC)7T

o<e(万，二——<e一一<—，所以，当e——=一时，即当/。=。=二一时，四边形ABCD的面积

333326

取最大值3+逑.故答案为:多；3+-.

262

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知复数z=(m2-5m+6)+(m-2)i(meR).

(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)m=3(2)(2,3)

【解析】(1)因为复数Z为纯虚数，所以｛~"，解之得，m=3.

团一2。0

nr—5m+6<0

(2)因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以｛f

m-2>0

2<m<3

解之得｛c，得2〈帆<3.所以实数机的取值范围为(2,3).

m>2

18.已知向量a=(1,2),行=(一3,女).

(i)若)〃)，求w的值；

(2)若3_1_(2+2可，求实数化的值；

(3)若£与坂的夹角是钝角，求实数人的取值范围.

1Q

【答案】(1)3#>(2)k=-(3)kV—且攵w-6.

42

【解析】⑴因为向量£=(1,2),1=(-3㈤，且://力,

所以lx左一2x(-3)=0,解得&=-6,

所以忖二^(-3)2+*4(-6)2=3亚：

(2)因为1+方=(-5,2+2左),且乙(£+2可,

所以1x（—5）+2x（2+2攵）=0,解得％=；；

（3）因为7与另的夹角是钝角，则72ko且公与B不共线.

3

即lx(-3)+2xZV0且左w-6,所以k＜］且攵H-6.

19.如图，已知四棱锥产一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,/氏40=90°,且43=BC=1,

4）=2，24=77），点〃为中点，平面B4T>_L平面A8CD,直线P3与平面A3CO所成角的正

切值为YZ.

么《

（1）求证：〃平面PCO；

（2）求四棱锥P—A8CZ）的体积；

（3）用一个平面去截四棱锥P-ABCD,请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平

行四边形截面的个数.

【答案】（1）证明见解析；（2）g；（3）作图见解析；无数个.

【解析】证明：（1）因为AD〃BC，BC=1,AT>=2,点/为的中点，所以BC〃MD,BC=MD.

从而四边形8coM为平行四边形，所以BM//CD.

又5MU平面PC。，C£）u平面PCD，所以BM〃平面PCD.

(2)连结PM，因为=M为A。的中点，所以DMLAP.

又平面B4DJ_平面ABCD,平面P4Z)n平面ABCD=AD,PMu平面PAD,所以PM，平面ABCD.

所以直线PB与平面ABC。所成角为ZPBM，且tanNPBM=也=也，

BM2

4ZJBAD=90°>AB-AM-1>所以BM=V2,于是PM=1"

所以四棱锥P—ABCD的体积％梯形ABs/M=gxgx(l+2)xlxl=；.

(3)KZPD，A4的中点E，F，连结CE，EF-EB，则截面86£五为平行四边形，作出无数个平行

四边形截面.

B

20.从①cosB+cos2=0；②sin?A-sin25+sin2C+sinAsinC=0：③力cosC+(2a+c)cosB=0,

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若•

(1)求3；

(2)若〃=2遥且a+c=5,求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)—(2)也

34

【解析】(1)若选①cosB+cosg=0,则2cos20+cosO—l=0,即(2cosg—l)(cos0+l)=0,

22222

b,,B\、B,

所以cos—=-或cos—=-1,

222

因为0<3(乃，所以0<与〈三，所以cosg>0,所以cos'=—1不成立，

2222

所以cosg='，所以0=工，所以8=军：

22233

若选②sin2A-sin28+sin?C+sinAsinC=0，

222

由正弦定理可得a-b+c+ac=Q^

所以cosB=

2

24

因为0<3<%，所以3=—；

3

若选③。COSC+(2Q+C)COS8=。,

由正弦定理可得sinB-cosC+(2sinA+sinC)cosB=0,

所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,

所以2sinAcos3+sinA=0，

因为0<Av；r,所以sinA>(),所以cosB=-'，

2

因为0<3<〃，所以3=2二.

3

(2)由余弦定理得Z?2=々2+。2—230cos5，

2万

所以20=(Q+C)2—2QC-2QCCOS——,

3

所以20=25-2QC-2QCX(-L),

2

所以=5,

所以AAbC的面积为Lacsin8=4x5x@=迫.

2224

21.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最

高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组

［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),第五组［80,100］,得到频率分布直方图，如

图所示.

薪

0.0175---------------------------1----------

0.0150..............................................................

0.0125

0.0100.....................................

0.0075

0.0050-----------------

0.0025---------

0----------------------------------------------------►

20406080100分数

(1)求所打分数不低于60分的患者人数；

(2)该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽

取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.

Q

【答案】(1)65人；(2)一.

15

【解析】(1)由直方图知，所打分值［60,100)的频率为

0.0175x20+0.0150x20=0.65,

人数为100x0.65=65（人）

答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人.

（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2,

则第二、三组人数分别为10人和20人，

所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，

第二组和第三组的人数之比为1：2,

则第二组有2人，记为A3；第三组有4人，记为a,伍c,d.

从中随机抽取2人的所有情况如下：44,4匕,4:,4/,8",劭,氏,氏/m13皿通<1,氏力4©（1共15种

其中，两人来自不同组的情况有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,B