2024七年级数学上册第六章几何图形初步6.3角6.3.3余角和补角课件新版新人教版

6．3角6．3.3余角和补角第六章几何图形初步逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2余角和补角的定义余角、补角的性质知识点余角和补角的定义知1－讲1名称定义图例数学语言余角如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余.其中一个角是另一个角的余角如果∠1＋∠2=90°，就说∠1和∠2互余，或∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角知1－讲名称定义图例数学语言补角如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角如果∠3＋∠4=180°，就说∠3和∠4互补，或∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角知1－讲特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角的余角为90°－，补角为180°－.因此，一个角的余(补)角可以有多个.知1－练例1已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答.解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).根据题意，得(180°－x)－3(90°－x)=10°，解得x=50°.所以这个角的度数为50°.知1－练1-1.如图，∠AOC

与∠BOC

互为补角，∠BOC

与∠BOD

互为余角，且∠BOC=4∠BOD.知1－练(1)求∠BOC

的度数；知1－练(2)若OE

平分∠AOC，求∠BOE

的度数.知1－练如图6.3－23，O

为直线AB

上一点，

∠AOC=∠DOE=90°.例2解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面是从角的度数入手，和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补；另一个方面是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互余，将平角分成两个角，则这两个角互补.知1－练(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？解：因为O

为直线AB

上一点，所以∠BOC＋

∠AOC=180°，∠DOE＋

∠1＋∠4=180°.因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，∠BOC=∠3＋∠4=90°，∠1＋∠4=90°.所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.知1－练(2)图中互补的角有几对？分别是哪些？解：由已知得∠1＋

∠BOD=180°，∠4＋

∠AOE=180°.因为∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3＋

∠BOD=180°.因为∠3＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠2=∠4.所以∠2＋∠AOE=180°.知1－练又因为∠AOC＋

∠BOC=180°，∠AOC＋

∠DOE=180°，∠DOE＋∠BOC=180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知1－练2-1.[期末·

襄阳]如图，已知A，O，B

三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE

平分∠AOD，下列结论：①∠BOC

与∠AOE

互余；②∠BOE

与∠EOD

互补；③图中互余的角有4对；④图中互补的角有5对.其中正确的有(

)A.1个

B.2个C.3个

D.4个D知2－讲知识点余角、补角的性质2内容几何语言余角的性质同角的余角相等因为∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，所以∠2=∠3等角的余角相等因为∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4补角的性质同角的补角相等因为∠1＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，所以∠2=∠3等角的补角相等因为∠1＋∠2=180°，∠3＋∠4=180°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4知2－讲特别解读1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.知2－练如图6.3－24，直线AB

与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋

∠2=180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由.例3解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角.知2－练解：因为∠1＋∠3=180°，∠1＋∠2=180°，所以∠3=∠2.同理，∠4=∠2，∠2=∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知2－练3-1.如图，O

为直线AB上一点，OC

平分∠AOB，∠DOE=90°.知2－练(1)写出∠COD的余角；解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.知2－练(2)∠AOD

和∠COE相等吗？为什么？除90°的角外，还有哪些相等的角？请说明理由；解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因为∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°，所以∠AOD＝∠COE.相等的角还有∠BOE＝∠COD.理由：因为∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°，所以∠BOE＝∠COD.知2－练(3)写出∠COD

的补角.解：∠COD的补角为∠AOE.知2－练如图6.3－25，已知O

是直线AB

上的一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，OE

平分∠BOC

吗？为什么？例4解题秘方：先紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等.知2－练解：

OE

平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠DOC＋

∠COE=90°.又因为∠AOB=180°，所以∠AOD＋

∠BOE=90°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC.所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠BOC.知2－练4-1.[期末·厦门思明区]如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，OA

平分∠DOE，

若∠BOC=20°，求∠AOE

的度数.解：因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC＝20°.因为OA平分∠DOE，所以∠AOE＝∠AOD＝20°.余角和补角余角和补角余角补角定义性质

题型利用互余、互补的定义识别余角、补角1例5解题秘方：分别计算∠2与各选项的和，结果为90°的符合要求.

答案：D方法点拨识别两个角是否互余，只需要计算两个角的和是否等于90°即可.[新视角

操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B

落在点B′的位置，折痕为EF，再沿GF

折叠，使点C

落在点C′的位置，如果C′F

与FB′在同一条直线上，请你判断∠GFC′与∠EFB′的关系，并说明理由.题型利用角平分线的定义探究互余、互补2例6思路引导：

方法点拨本题的解题方法主要利用了“一个特点”“三个定义”，一个特点是指折叠图形中折痕的特点(折痕所在的直线即角平分线所在的直线)；三个定义分别是指角平分线的定义、余角的定义和补角的定义.[荣德原创题]两艘货轮从如图6.3－27所示的码头O

出发，货轮G

向南偏西20°的OA

的方向行驶，货轮F

向南偏东70°的OB

方向航行.例7题型利用方位角的定义探究余角、补角3思路引导：通过计算各角的度数进行判断.(1)分别画出射线OA，OB；解：如图6.3－28，射线OA，OB

即为所求.(2)找出图中所有互余和互补及相等的角(小于180°的角).解：互余的角有∠WOA

与∠SOA，∠WOA

与∠EOB，∠AOS

与∠BOS，∠BOS

与∠EOB；互补的角有∠WOA

与∠EOA，∠WOB

与∠EOB，∠NOA

与∠SOA，

∠NOB

与∠SOB，

∠WOA

与∠NOB，∠BOS

与∠AOE，∠WOB

与∠AOS，∠NOA

与∠EOB.∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE

和∠AOB

都是90°，它们两两互补；相等的角有∠NOW=∠SOW=∠SOE=∠NOE=∠AOB，∠WOA=∠SOB，∠SOA=∠EOB.解法提醒1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成平角，可以解决互补问题.2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成直角，可以解决互余问题.3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决等角问题.如图6.3－29①所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点О

处.题型利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系4例8思路引导：紧扣要判定的角和两个90°角的关系进行分析.(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC

相等吗？请说明理由.解：(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB＋

∠BOD=∠COD＋

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.

(ⅱ)∠AOC

和∠BOD在数量上有何关系？请说明理由．解：∠AOC＋

∠BOD=180°.理由如下:因为∠AOB＋

∠AOC＋

∠COD＋

∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.(2)若将这副三角尺按如图6.3－29②所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点О处.(ⅰ)∠AOD和∠BOC相等吗？请说明理由.(ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由.(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB－

∠BOD=∠COD－

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.(ⅱ)成立.理由如下:因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋

∠BOD=∠AOB＋∠BOC＋

∠BOD=∠AOB＋

∠COD=90°＋90°=180°.解题关键1.在探究三角尺中的有关角的关系时，要充分利用三角尺中隐含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠1=∠2，则∠1±∠3=∠2±∠3.方法点拨：在图形的变换探究中，应善于抓住不变的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题图6.3－29①中∠AOD=∠AOB＋∠BOD，图6.3－29②中∠AOD=∠AOB－∠BOD).结合两个量才能探究出结论是否变化.易错点对余角、补角的概念理解不透彻而出错下列说法正确的是()A.一个角的补角一定大于这个角B.任何一个小于180°的角既有余角又有补角C.锐角和钝角互补D.锐角的补角一定是钝角例9错解：A正解：紧扣余角和补角的定义，结合其数量关系进行判断.锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从而A错误，D正确.答案：D诊误区：1.只有锐角既有余角又有补角，而钝角没有余角，只有补角.2.互补的两个角除两个直角外，一定是一个锐角，一个钝角.考法利用余角(补角)的定义求一个角的余角(补角)1[中考·梧州]已知∠

A=55°，则它的余角是()A.25°B.35°C.45°D.55°试题评析：本题考查了余角的定义和角的运算，解题的关键是理解互为余角的两个角的数量关系.解：因为∠A=55°，所以它的余角是90°－∠A=90°－55°=35°.B例10考法利用三角尺的特征探究两个角之间的关系2[中考·德州]如图6.3－30，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中，∠α

与∠β

互余的是(

)A.图①

B.图②

C.图③

D.图④例11试题评析：本题考查了余角和补角的知识，熟记概念与性质是解题的关键.解：图①，∠α＋∠β=180°－90°=90°，则∠α和∠β互余；图②，根据同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α和∠β不一定互余；图③，根据等角的补角相等，得∠α=∠β=180°－45°=135°，所以∠α与∠β不互余；图④，∠α＋∠β=180°，则∠α和∠β互补．答案：A1.[中考·武威]若∠α=70°，则∠α的补角的度数是(

)A.130°B.110°C.30°D.20°B2.如图，一副三角