数学归纳法练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法练习一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项C．项 D．k项2．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（

）A．1 B． C． D．3．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（

）A．1 B． C． D．4．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（

）A． B． C． D．5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立6．现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（

）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题二、多选题7．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是8．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是三、填空题9．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为．10．用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取验证．四、解答题11．用数学归纳法证明：12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．(1)求；(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．参考答案1．B【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解.【详解】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，增加的项为，共有项.故选：B2．C【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断.【详解】当时，，所以左边为.故选：C.3．D【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案.【详解】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是.故选：D．4．A【分析】列出增加的项，即可得解.【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，，因此增加的项数是.故选：A．5．B【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可.【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即时等式成立.故选：B6．B【分析】直接用数学归纳法证明可得答案．【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，所以ACD错误.故选：B．7．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.【详解】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.8．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.【详解】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.9．【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.【详解】设当时，能被整除，所以时，，因此必须有代数式．故答案为：10．2【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出．【详解】用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取验证．故答案为：2.11．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可.【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立；②假设时不等式成立，即，则当时，左边，即当时，不等式也成立.由①②可知，原不等式成立.12．(1)(2)，答案见解析(3)，证明见解析【分析】（1）用模取余法可求结论；（2）由，，可求；从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论；（3）取时，分别求得，，，；可得当（）时，，进而利用数学归纳法证明即可．【详解】（1）因为，所以．（2）因为，且，所以，故．当时，递推关系式的实际意义：当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的．也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即．（3）由题设可知，由（2）知：；；；；；；；由此推测，当（）时，．下面用数学归纳法证明：1．当时，，推测成立；2．假设当（，，且）时推测成立，即．由（2）知．（ⅰ）当时，；（ⅱ）当时，，此时，即．故当时，