2020年初中数学中考舟山试题解析

浙江省舟山市2020年年中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、

多选、错选，均不得分）

1.（3分）（2020年•佛山）-2的相反数是（）

A.2B.-2C.D.]

~2

考点：相反数.

分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案.

解答：解：-2的相反数是2,

故选：A.

点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义.

2.（3分）（2005•浙江）如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是（）

考点：简单组合体的三视图.

分析：找到从上面看所得到的图形即可.

解答：解：从上面看可得到两个相邻的正方形，故选A.

点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.（3分）（2020年•舟山）据舟山市旅游局统计，2012年舟山市接待境内外游客约2771万

人次.数据2771万用科学记数法表示为（）

A.2771xlO7B.2.771xlO7C.2.771xlO4D.2.77IxlO5

考点：科学记数法一表示较大的数.

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中i4|a|V10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

解答：解：2771万=27710000=2.771x1（）7.

故选B.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl（）n的形式，其中他同

＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（3分）（2020年•嘉兴）在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位:

m）分别为：1.71,1.85,1.85,1.95,2.10,2.31,则这组数据的众数是（）

A.1.71B.1.85C.1.90D.2.31

考点：众数.

分析：根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可.

解答：解：数据1.85出现2次，次数最多，所以众数是1.85.

故选B.

点评：考查众数的概念.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

5.（3分）（2020年•嘉兴）下列运算正确的是（）

A.x2+x3=x5B.2x2-x2=lC.x2»x3=x6D.X6TX3=X3

考点：同底数累的除法；合并同类项；同底数累的乘法.

分析：根据合并同类项的法则、塞的乘方及积的乘方法则、同底数基的除法法则，分别进行

各选项的判断即可.

解答：解：A、x2与x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；

B、2x2-x2=x2,原式计算错误，故本选项正确；

C、x2.xW,原式计算错误，故本选项错误；

D、x6^x3=x3,原式计算正确，故本选项正确；

故选D.

点评：本题考查了同底数塞的除法、黑的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部

分的运算法则.

6.（3分）（2020年•嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐

头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45。,

则"蘑菇罐头”字样的长度为（）

ABC

---匹m

442

考点：弧长的计算.

分析：根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.

解答：解：..,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45。，

,此弧所对的圆心角为90。，

由题意可得，R=cm,

7

9OKX7-

贝产蘑菇罐头"字样的长=-------?=n.

180

故选B.

点评：本题考查了弧长的计算，解答本题关键是根据题意得出圆心角，及半径，要求熟练记

忆弧长的计算公式.

7.（3分）（2020年•舟山）下列说法正确的是（）

A.要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式

B.若一个游戏的中奖率是1%,则做100次这样的游戏一定会中奖

C甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差s^R.l，s^0.2'则甲组数据

比乙组数据稳定

D."掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件

考点：全面调查与抽样调查；方差；随机事件；概率的意义.

分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的

调查结果比较近似.

解答：解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误；

B、若一个游戏的中奖率是1%,则做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误;

C、若方差S咨=°1，S5=°2则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，故本选项正

确；

D、"掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故本选项错误；

故选C.

点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对

象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义

或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选

用普查.

8.（3分）（2020年•嘉兴）若一次函数y=ax+b（awO）的图象与x轴的交点坐标为（-2,0）,

则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）

A.直线x=lB.直线x=-2C.直线x=-1D.直线x=-4

考点：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征.

分析：先将（-2,0）代入一次函数解析式y=ax+b,得到-2a+b=0,即b=2a,再根据抛物

线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-上即可求解.

2a

解答：解：,•・一次函数y=ax+b（axO）的图象与x轴的交点坐标为（-2,0）,

-2a+b=0,即b=2a»

抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=--A=-1.

2a

故选C.

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中.用到的知识

点：

点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式：

二次函数y=ax?+bx+c的对称轴为直线x=-A.

2a

9.（3分）（2020年•嘉兴）如图，00的半径OD_L弦AB于点C,连结AO并延长交

于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为（）

A.2A/15B.8C.2V1CD.2713

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理.

专题：探究型.

分析：先根据垂径定理求出AC的长，设OO的半径为r,则OC=r-2,由勾股定理即可得

出r的值，故可得出AE的长，连接BE,由圆周角定理可知NABE=90。，在RsBCE

中，根据勾股定理即可求出CE的长.

解答：解：OO的半径ODJ•弦AB于点C,AB=8,

AC=AB=4,

设。。的半径为r,则OC=r-2,

在RtAAOC中，

AC=4,OC=r-2,

/.OA2=AC2+OC2,BP?=42+（r-2）2,解得r=5,

AE=2r=10,

连接BE,

•••AE是的直径，

ZABE=90°,

在RtAABE中，

AE=IO,AB=8,

BE=.AE2_AB2=J]02_82=6,

在RSBCE中，

BE=6,BC=4,

CE=VBE2+BC2=V62+4

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答

此题的关键.

10.(3分)(2020年•舟山)对于点A(xi,yi),B(X2,y2),定义一种运算：A©B=(xi+x2)

+(yi+y2).例如，A(-5,4),B(2,-3),A©B=(-5+2)+(4-3)=-2.若互不重

合的四点C,D,E,F,满足C㊉D=D㊉E=E㊉F=F㊉D,则C,D,E,F四点()

A.在同一条直线上B.在同一条抛物线上

C.在同一反比例函数图象上D.是同一个正方形的四个顶点

考点：一次函数图象上点的坐标特征.

专题：新定义.

分析：如果设C(X3,y3),D(x4,y4),E(X5,y5),F(X6,y6),先根据新定义运算得出

(X3+X4)+(y3+y4)=(X4+X5)+(y4+y5)=(X5+X6)+(y5+y6)=(X4+X6)+(y4+y6),

则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6,若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k,则C(x3,y3),D

(X4,y4),E(X5,y5),F(X6,y6)都在直线丫=-x+k上.

解答：解：1对于点A(xi,yi),B(X2,y2),A©B=(xi+xz)+(yi+y2),

如果设C(x3»y3),D(x4,y4),E(xs,y5),F(x6,y6),

那么CaD=(X3+X4)+(y3+y4),

D©E=(X4+X5)+(y4+y5),

EffiF=(X5+X6)+(y5+y6),

F®D=(X4+X6)+(y4+y6),

又二C㊉D=D㊉E=E㊉F=F㊉D,

(X3+X4)+(y3+y4)=(X4+X5)+(y4+y5)=(X5+X6)+(y5+y6)=(X4+X6)+(y4+y6),

X3+y3=X4+y4=X5+y5=X6+y6，

令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k,

贝！IC(X3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5),F(x6,y6)都在直线丫=-x+k上，

・,.互不重合的四点C,D,E,F在同一条直线上.

故选A.

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度.

二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)

11.(4分)(2020年•嘉兴)二次根式^^中，x的取值范围是X23.

考点：二次根式有意义的条件.

分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

解答：解：根据题意得：x-3>0,

解得：x>3.

故答案是：x>3.

点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

12.(4分)(2020年•嘉兴)一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其它都相

同.从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为—.

考点：概率公式.

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的

比值就是其发生的概率.

解答：解：•.•布袋中装有3个红球和4个白球,

，从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为：口-=.

3+4

故答案为：.

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中

事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.

13.(4分)(2010•鞍山)因式分解：ab?-a=a(b+1)(b-1).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

分析：首先提取公因式a,再运用平方差公式继续分解因式.

解答：解：ab2-a,

=a(b2-1),

=a(b+1)(b-1).

点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分

解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止.

14.(4分)(2020年•嘉兴)在同一平面内，已知线段AO=2,OA的半径为1,将0A绕点

O按逆时针方向旋转60。得到的像为。B,则。A与。B的位置关系为外切.

考点：圆与圆的位置关系；旋转的性质.

专题：计算题.

分析：根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2,而OA、0B的半径都为

1,根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系.

解答：解：；OA绕点O按逆时针方向旋转60。得到的OB,

AOAB为等边三角形，

AB=OA=2,

OA、OB的半径都为1,

AB等于两圆半径之和，

0A与OB外切.

故答案为外切.

点评：本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r,两圆的圆心距为d,若d=R+r,

则两圆外切.也考查了旋转的性质.

15.(4分)(2020年•嘉兴)杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/

时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方

程为1487.1487.3.

—x—x+70'一

考点：由实际问题抽象出分式方程.

分析：先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时

间缩短了3小时，即可列出方程.

解答：解：根据题意得：

1487_1487-0.

xx+70

故答案为：1487-1487=3.

xx+70

点评：此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并

列出方程.

16.（4分）（2020年•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB、BC

上，AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹

时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为」加_.

考点：正方形的性质；轴对称的性质.

分析：根据已知中的点E,F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反

射后的点的位置，从而可得反射的次数.再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的

总长度.

解答：解：根据已知中的点E,F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F,在

反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点

为G,在DA上，且DG=DA,第三次碰撞点为H,在DC上，且DH=DC,第四次碰

撞点为M,在CB上，且CM=BC,第五次碰撞点为N,在DA上，且AN=AD,第

六次回到E点，AE=AB.

由勾股定理可以得出EF=旄，FG=遥，GH=A/5>HM=旄,MN=泥，NE=y年，

故小球经过的路程为：JG+&+&+忘+旄+后

故答案为：6。^.

点评：本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形的性质来确定反

射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道

数学物理学科综合试题，难度较大.

三、解答题（共8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题

10分，第24题12分，共66分）

17.（6分）（2020年•嘉兴）（1）计算：|-4卜退+（-2）°；

(2)化简：a(b+1)-ab-1.

考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数基.

专题：计算题.

分析：(1)原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二项利用平方根的定义

化简，最后一项利用零指数基法则计算，即可得到结果；

(2)原式去括号合并即可得到结果.

解答：解：(1)原式=4-3+1=2；

(2)原式=ab+a-ab-1=a-1.

点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合

并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键.

18.(6分)(2020年•嘉兴)如图，ZkABC与ADCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,

AB=DC.

(1)求证：△ABEVDCE；

(2)当NAEB=50。，求NEBC的度数？

考点：全等三角形的判定与性质.

分析：(1)根据AAS即可推出4ABE和^DCE全等；

(2)根据三角形全等得出EB=EC,推出NEBC-ZECB,根据三角形的外角性质得

出NAEB=2NEBC,代入求出即可.

解答：(1)证明：・・・在△ABE和△DCE中

'/A=/D

-ZAEB=ZDEC

AB=DC

AABE2△DCE(AAS)；

(2)解：；AABEWADCE,

BE=EC,

ZEBC=ZECB,

•/ZEBC+ZECB=ZAEB=50°,

・•.ZEBC=25°.

点评：本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理

能力.

19.(6分)(2020年•嘉兴)如图，一次函数y=kx+l(kxO)与反比例函数y=(m*0)的图

象有公共点A(1,2).直线l_Lx轴于点N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别

交于点B,C.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)求4ABC的面积？

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

专题：计算题.

分析：(1)将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐

标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；

(2)设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，三角形ABC面积=三

角形BDN面积-三口安排下ADE面积-梯形AECN面积，求出即可.

解答：解：(1)将A(1,2)代入一次函数解析式得：k+l=2,即k=l,

一次函数解析式为y=x+l；

将A(1,2)代入反比例解析式得：m=2,

二反比例解析式为y=；

(2)设一次函数与x轴交于D点，令y=0,求出x=-l,即OD=1,

A(1,2),

/.AE=2,OE=1,

•・,N(3,0),

到B横坐标为3,

将x=3代入一次函数得：y=4,将x=3代入反比例解析式得：y=,

B(3,4),即ON=3,BN=4,C(3,),即CN=,

贝(ISAABC=SABDN-SAADE-S梯形AECN=x4x4-x2x2-X(+2)x2=—.

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待

定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的

关键.

20.（8分）（2020年•嘉兴）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学

生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）.请根据

图中信息，回答下列问题：

该校部分学生每人一周零花钱数额条

该校部分学生每人一周零花钱数额

甲

（I）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图；

（2）表示"50元”的扇形的圆心角是多少度？补调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是

多少元？

（3）四川雅安地震后，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区建

设.请估算全校学生共捐款多少元？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数.

分析：（1）零用钱是40元的是10人，占25%,据此即可求得总人数，总人数乘以所占的

比例即可求得零用钱是20元的人数，则统计图可以作出；

（2）求出零用钱是50元的所占的比例，乘以360度即可求得对应的扇形的圆心角，

根据中位数的定义可以求得中位数；

（3）首先求得抽取的学生的零用钱的平均数，平均数的一半乘以1000即可求解.

解答：解：（1）随机调查的学生数是：10+25%=40（人），

零花钱是20圆的人数是：40x20%=8（人）.

该校部分学生每人一周零花钱数额条

（2）50元的所占的比例是：臭」，则圆心角36。，中位数是30元;

4010

（3）学生的零用钱是：3X20+20X30+1°X40+4X50=32.5（元），

40

则全校学生共捐款X32.5X1000=16250元.

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中

得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇

形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21.（8分）（2020年•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1）,伸缩门中的每一行菱形有20

个，每个菱形边长为30厘米.校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打

开时，每个菱形的锐角度数从60。缩小为10°（如图3）.问：校门打开了多少米？（结果精

确到1米,参考数据:sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin10°=0.1736,cosl0°=0.9848）.

图1

考点：解直角三角形的应用；菱形的性质.

分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽

即伸缩门的宽；然后将它们相减即可.

解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.

根据题意，得NBAD=60。，AB=0.3米.

〔,在菱形ABCD中，AB=AD,

二ABAD是等边三角形，

BD=AB=0.3米，

大门的宽是：0.3x20=6（米）；

校门打开时，取其中一个菱形AiBiCiDi.

根据题意，得NBiAiDi=10°,A1B1=O.3米.

••.在菱形AIBICIDI中，AICIXBIDI,ZBiAiOi=5°,

在RtAAIBIOI中，

BiOi=sinZBiA।O।•AiB।=sin5°x0.3=0.02616（米）,

BiDi=2B101=0.05232米,

二伸缩门的宽是:0.05232x20=1.0464米;

二校门打开的宽度为:6-1.0464=4.9536=5（米）.

故校门打开了5米.

C,

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中.解题的关键是把实际问题

转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解.

22.（10分）（2020年•舟山）小明在做课本"目标与评定"中的一道题：如图1,直线a,b

所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？

（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；

②说出该画法依据的定理.

（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：

①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰

三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分.

②在图3的画板内，作出"直线a、b所成的跑到画板外面去的角"的平分线（在画板内的部

分），只要求作出图形，并保留作图痕迹.

请你帮小明完成上面两个操作过程.（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画

在板内）

考点：作图一应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质.

分析：（1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理；

（2）首先作等腰三角形△PBD,然后延长BD交直线a于点A,则ABPQ就是所求

作的图形.作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质；

（3）作出线段AB的垂直平分线EF,由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线,

故EF即为所求作的图形.

解答：解：（1）方法一：

①如图2,画PCIIa,量出直线b与PC的夹角度数，

即为直线a,b所成角的度数，

②依据：两直线平行，同位角相等，

方法二：

①如图2,在直线a,b上各取一点A,B,连结AB,测得Nl,N2的度数，

则180。-/1-N2即为直线a,b所成角的度数；

②依据：三角形内角和为180。；

（2）如图3,以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b,PC于点B,D,连结

BD并延长交直线a于点A,则ABPQ就是所求作的图形；

（3）如图3,作线段AB的垂直平分线EF,则EF就是所求作的线.

Q

a/L

b

B

点评：本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的

垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）

三角形内角和定理，（4）垂直平分线的性质等.本题借助实际问题场景考查了学生的

几何基本作图能力，是一道好题.题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作

答.

23.（10分）（2020年•舟山）某镇水库的可用水量为12000万n?,假设年降水量不变，能

维持该镇16万人20年的用水量.为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持

居民15年的用水量.

（1）问：年降水量为多少万n??每人年平均用水量多少n??

（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年.则该镇居民人均每年需节约

多少n?水才能实现目标？

（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化50000?海水，淡化率为70%.每淡化In?海

水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元.企业将淡化水以3.2元/n?的价格出售，每年还需

各项支出40万元.按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确

到个位）？

考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用.

专题：应用题.

分析：（1）设年降水量为x万nA每人年平均用水量为yn?,根据题意等量关系可得出方

程组，解出即可；

（2）设该镇居民人均每年需节约zn?水才能实现目标，由等量关系得出方程，解出

即可；

（3）该企业n年后能收回成本，根据投入1000万元设备，可得出不等式，解出即可.

解答：解：（1）设年降水量为*万0?,每人年平均用水量为yn?,

由题意得,12000+20x=16X20y

12000+15x=20X15y

解得：（x-200.

ly=50

答：年降水量为200万nA每人年平均用水量为50n?.

（2）设该镇居民人均每年需节约zm3水才能实现目标,

由题意得，12000+25x200=20x25z,

解得：z=34,

50-34=16m3.

答：设该镇居民人均每年需节约16m3水才能实现目标.

（3）该企业n几年后能收回成本，

由题意得，［3.2x5000x70%-（1.5-0.3）x50001x3（）0n-40n>1000,

10000

解得：n28型.

19

答：至少9年后企业能收回成本.

点评：本题考查了一元一次不等式、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题,

得到等量关系与不等关系，难度一般.

24.（12分）（2020年•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）2-m2+m

的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC±AB,交y轴于点C,延长CA到点D,

使AD=AC,连结BD.作AEHx轴，DEIIy轴.

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x,y）,求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，

与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时，以，A,B,D,P为顶

点的四边形是平行四边形？

考点：二次函数综合题.

专题：数形结合.

分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；

（2）延长EA,交y轴于点E证出△AFC2△AED,进而证出△ABF-△DAE,利

用相似三角形的性质，求出DE=4；

（3）①根据点A和点B的坐标，得到|x=2m,y=-m2+m+4,将m=代入y=-m2+m+4,

即可求出二次函数的表达式；

②作PQ_LDE于点Q,KUDPQ^△BAF,然后分(如图1)和(图2)两种情况解

答.

解答：解：(1)当m=2时，y=(x-2)2+1,

把x=0代入y=(x-2)2+1,得：y=2,

・・•点B的坐标为(0,2).

(2)延长EA,交y轴于点F,

AD=AC,ZAFC=ZAED=90°,ZCAF=ZDAE,

△AFCM△AED,

AF=AE,

，・,点A(m,-m2+m),点B(0,m),

AF=AE=|m|,BF=m-(-m2+m)=m2,

・•,ZABF=90°-ZBAF=ZDAE,ZAFB=ZDEA=90°,

.0.△ABF—△DAE,

12

.•・里迪，即：

AFDEImlDE

/.DE=4.

(3)①二点A的坐标为(m,-m2+m),

点D的坐标为(2m,-m2+m+4),

x=2m,y=-m~+m+4,

y=-•(—)2++4,

2

所求函数的解析式为：y=-—X2+X+4,

16

②作PQ±DE于点Q,则4DPQ"△BAF,

(I)当四边形ABDP为平行四边形时(如图1),

点P的横坐标为3m,

点P的纵坐标为：(-m2+m+4)-(m2)=-m2+m+4,

把P（3m,-m2+m+4）的坐标代入y=-」x2+x+4得：

16

-m2+m+4=--1.x（3m）2+x（3m）+4,

16

解得：m=0（此时A,B,D,P在同一直线上，舍去）或m=8.

（口）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）,

点P的横坐标为m,

点P的纵坐标为：（-m2+m+4）+（m2）=m+4,

把P（m,m+4）的坐标代入y=-」x2+x+4得：

16

m+4=-—m2+m+4,

16

解得：m=0（此时A,B,D,P在同一直线上，舍去）或m=-8,

综上所述：m的值为8或-8.

点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数

形结合及分类讨论.

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意.

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母

的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，

是否符合实际，检验后写出答案.

2.和差倍分问题：增长量=原有量义增长率现在量

=原有量+增长量

3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式v=底面积*高=$•h=»r2h

②长方体的体积V=KX宽义高=2n

4.数字问题

一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数

可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

5.市场经济问题

（1）商品利润=商品售价一商品成本价（2）商品利润率=

商品利润

X100%

商品成本价

（3）商品销售额=商品销售价X商品销售量

（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打

8折出售，即按原标价的80%出售.

6.行程问题：路程=速度X时间时间=路程4■速度速度=路

程小时间

（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距

（2）追及问题：快行距一慢行距=原距

（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）

速度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）

速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考

虑相等关系.

7.工程问题：工作量=工作效率义工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

8.储蓄问题

利润=空士即粤竺星XI。。％利息=本金X利率义期数

本金

实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案)

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，

那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出

发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲，乙速度分别为x,y千米/时，依题意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答:甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用

20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17>y=3

答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2

万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若

只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说

明理由.

解：

设甲、乙两公司每周完成工程的X和y,则

J+/=10

（6得，故1+工=10（周）11—工=15周

“c,11015

[4K+9,=1y=—

即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周

又设需付甲、乙每周的工钱分别为3元，b万元则

'_3

（6a+6&=5.2[10a=6（万元）

|得，此时，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

【变式1]（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，

共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元,

李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价

如下表：

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;

解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共

存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相

同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行

年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸

爸两种存款各存入了多少元？

解：设x为第一种存款的方式，丫第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与

两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110张做盒身，80张做盒底

【变式2］某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,

每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺

母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解：设生产螺栓的工人为x人,生产螺母的工人为v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做

桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少张方桌？

解：设用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：丫=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人

口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解这个方程组，得：x=14,y=28

答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。

类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题

【变式1】略

【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽

比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

解：设：男有X人，女有丫人，则

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题

【变式1］一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以

它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？

解：设这个两位数十位数是X,个位数是y,则这个数是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：这个两位数是56

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个

位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？

解：设个位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9»Y=4

这个数就是49

【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位

数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，

求原三位数。

解：设原数百位是x,个位是y那么

x+y=9

x-y=1

两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原数是504

类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题

【变式1］要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水

各需多少？

解：设10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【变式2)一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%

的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为800x1.75%=14千克

含14千克纯农药的35%的农药质量为14+35%=40千克

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克

答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药

800千克。

类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长

边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形

的面积比矩形面积大多少？

解：设长方形的长宽分别为x和y厘米，则

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15,y=9

正方形的面积比矩形面积大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【变式2]一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？

解：设草坪的长为xin，宽为腿，则

斯以宽和长分别为〈in、—^―m.

类型十一：