11.1-余弦定理-教学设计

高中数学精选资源2/2第十一章解三角形11.1余弦定理学习本章之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索研究．通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活．课程目标学科素养1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.a逻辑推理:通过运用向量方法得出余弦定理，培养逻辑推理素养.b数学运算:通过运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，提升数学运算素养.1.教学重点：证明余弦定理的向量方法.2.教学难点：通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.多媒体调试、讲义分发。如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.问题1我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？提示在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC.这个公式是余弦定理的形式之一.当C＝90°时，则cosC＝0，将cosC＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.问题2你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？提示利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA可求出BC的长.余弦定理的表示及其推论文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).题型一已知两边及一角解三角形【例1】在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解这个三角形.解由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.当c＝3时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；当c＝6时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.规律方法已知两边及一角解三角形的方法利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.【训练1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.解5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.解得x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2.又cosC∈(－1，1)，且cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，∴cosC＝eq\f(3,5).据余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋33－2×5×3×eq\f(3,5)＝16.∴c＝4.题型二已知三边解三角形【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.解由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.由余弦定理推论得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大内角为120°.规律方法已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.【训练2】若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形解析∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)，解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(11,24)<0，∵0<C<π，故C为钝角，△ABC为钝角三角形.答案C题型三判断三角形形状【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状.解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，与①联立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC为等边三角形.规律方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.1.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析∵b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形.答案D2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq\f(3,5)，则三角形的另一边长是________.解析设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq\r(13).答案2eq\r(13)3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角的大小为________.解析∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.解析设三角形的底边长为a，则周长为5a.所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，由余弦定理，得cosα＝eq\f(（2a）2＋（2a）2－a2,2×2a×2a)＝eq\f(7,