专题04 因式分解 考点清单（原卷版）

清单04：因式分解【考点题型一】因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式.【例1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．【变式1-3】（23-24八年级上·山东济南·期中）下列从左到右的运算是因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-4】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型二】因式分解的方法：【例2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）分解因式：​(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2-1】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2-2】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）因式分解(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2-3】（22-23八年级上·四川眉山·期中）分解因式：(1)；(2)(3)；(4)．【变式2-4】（22-23八年级上·山东威海·期中）因式分解：(1)(2)(3)(4)【考点题型三】因式分解在化简求值的应用【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：；例2：．(1)；(2)．【变式3-1（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：．【变式3-2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为【变式3-3】（23-24八年级上·重庆·期中）简便计算：(1)；(2)．【变式3-4】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：解：设，则原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：．【考点题型四】因式分解的应用【例4】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如∶①用配方法分解因式∶，解∶原式；②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶，不论取何值，总是非负数，即．，当时，有最小值，最小值为．根据上述材料，解答下列问题：(1)分解因式（利用配方法）：；(2)若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由；(3)已知是的三条边长，若满足，求的周长．【变式4-1】（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式4-2】（23-24八年级上·山东淄博·期中）已知三角形的三边满足，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式4-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）①已知，求的值．②已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．【变式4-4】（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：．∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：，∴恒成立．∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得，∴．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若，则__________；(2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式．【考点题型五】因式分解的综合问题【例5】（23-24八年级上·北京西城·期中）我们有公式：．反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．例如：；；；．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，则原式．(1)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．【变式5-1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．(1)利用“配方法”因式分解：．(2)若，，求：①，②的值．(3)如果，求的值．【变式5-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【变式5-3】（23-24八年级上·山东东营·期中）教科书中这样写道：“形如式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：．解：原式；再如：求代数式的最小值．解：；．原式，即当时，原式有最小值．学以致用：(1)用配方法分解因式：；（其他方法不得分）(2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值．(3)已知，求出的值．【变式5-4】（23-24八年级上·河南南阳·期中）配方法是数学中重要的思想方法之一．它是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形，化为完全平方或几个完全平方式和的方法．这种