平面向量的概念

高一数学2022-2023.1平面向量的概念【知识导学】知识点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.知识点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).知识点三：.模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.知识点四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【考题透析】透析题组一：平面向量的概念1．给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．下列说法中正确的个数是（）①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行；⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A．2 B．3 C．4 D．5透析题组二：向量的模4．已知向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知非零向量，，下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，为单位向量，则C．若且与同向，则 D．6．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③透析题组三：零向量和单位向量7．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A． B．C． D．8．下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中，正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④透析题组四：相等向量和平行（共线）向量10．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．11．已知、为非零向量，“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．即非充分又非必要条件12．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（）①，；②，；③，.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【考点同练】一、单选题13．下列说法正确的是（）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量14．下列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则E．15．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（）A．①② B．② C．②③ D．③④16．下列说法正确的是（）A．向量与向量是相等向量B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合C．与实数类似，对于两个向量有三种关系D．向量的模是一个正实数17．下列说法正确的是（）A．若，则、的长度相等且方向相同或相反B．若向量，满足，且同向，则＞C．若，则与可能是共线向量D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线18．如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．19．下列说法正确的是（）A．若，则、的长度相等且方向相同或相反B．若向量、满足，且与同向，则C．若，则与可能是共线向量D．若非零向量与平行，则、、、四点共线20．已知向量，为非零向量，有以下四个命题：甲：；乙：；丙：与的方向相反；丁：．若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多选题21．下列叙述中错误的是（）A．若，则B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量22．下列叙述中错误的是（）A．若，则B．若，则与方的方向相同或相反C．若且，，则D．对任一向量，是一个单位向量23．下列说法正确的是（）A．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B．与是否相等与与的方向无关C．若，，则D．若向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上24．如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（）A．＝B．与共线C．与共线D．＝25．下列说法中，正确的是（）A．任意单位向量的模都相等.B．若，是平面内的两个不同的点，则C．若向量，，则D．零向量与任意向量平行三、填空题26．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是与同向的单位向量，则＝.其中正确的是________.(填序号)27．下列叙述：（1）单位向量都相等；（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（4）方向不同的两个向量一定不平行.其中正确的有________.(填所有正确的序号)28．下列命题中正确的是______．①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；②单位向量一定是相等向量；③相反向量一定不相等；④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，⑤模为0的向量方向是不确定的．29．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.6.1平面向量的概念【答案精讲】1．B【解析】【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．2．A【解析】【分析】由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误.【详解】①若，则，故错误；②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；故选：A3．A【解析】【分析】根据向量的定义判断．【详解】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．正确的有两个．故选：A．4．B【解析】【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】时，不一定是相等或相反向量，时，，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5．A【解析】【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，对C，因为两向量不能比较大小，故C错，对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，故选：A6．B【解析】【分析】根据向量的定义依次判断即可.【详解】①中，的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；③中，为任一非零向量，则，故③正确；④中，由题，故④错误.故选：B．7．D【解析】【分析】用单位向量的定义进行求解.【详解】两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则不成立，所以选项B不正确；，则选项D正确．故选：D.8．C【解析】【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C9．D【解析】【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D10．D【解析】【分析】方向相同，模长相等的向量为相等向量.【详解】AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.故选：D11．A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.【详解】由题意知，充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.因此，“”是“”充分而不必要条件.故选：A.12．A【解析】【分析】根据向量共线的条件对①②③逐一分析，由此确定共线的向量.【详解】①中，与显然共线；②中，因为，故与共线；③中，设，得，无解，故与不共线.故选：A.13．B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，故未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.14．C【解析】【分析】利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.【详解】对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；对于B，单位向量，故B错误；对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；对于E，，故E错误；故选：C15．B【解析】【分析】利用向量的有关概念判断.【详解】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.故选：B16．B【解析】【分析】选项A，由向量相等、相反的定义可判断；选项B，由向量共线的定义可判断；选项C，由向量的定义可判断；选项D，零向量的模长为0，故可判断.【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确；由向量共线的定义可知，选项B正确；由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确；零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题考查了向量的定义、模长、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念，考查了学生概念理解的能力，属于基础题17．C【解析】【分析】因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.【详解】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向,因而选项A错误；对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．故选：C.18．B【解析】【分析】本题可通过相等向量的性质得出结果.【详解】A项：与方向不同，A错误；B项：因为、分别是、的中点，所以且，故，B正确；C项：与方向相反，C错误；D项：与方向相反，D错误，故选：B.19．C【解析】【分析】由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．【详解】对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．故选：C．20．A【解析】【分析】分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解.【详解】由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，若甲正确，则丙也不正确，不合题意；若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；故甲不正确．故选：A.21．ABC【解析】【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.故选：ABC.22．ABD【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；对于D，当时，无意义，故D错误.故选：ABD23．AB【解析】【分析】根据向量的定义以及向量模的定义可判断A，B；举反例时可判断C；由共线向量的定义可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A正确；对于B：与分别表示向量与的大小，与，的方向无关，故选项B正确；对于C：当时，向量与可以是任意向量都满足，，故选项C不正确；对于D：若向量与向量是共线向量，表示与方向相同或相反，得不出，，，四点在一条直线上，故选项D不正确；故选：AB.24．ABD【解析】【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误.【详解】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确；由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝，故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确.故选：ABD.25．AD【解析】【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可；【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；对于B：与互为相反向量，故B错误；对于C：若时，与不一定共线，故C错误；对于D：零向量与任