浙江省宁波市第七中学2023-2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如所示图形中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三条线段，首尾相接不能组成三角形的是A．3，4，5 B．，1，2 C．3，6，3 D．1.5，2.5，33．（3分）若，则下列不等式中不正确的是A． B． C． D．4．（3分）已知等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是A． B． C．或 D．或5．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是A． B．， C．， D．，6．（3分）满足下列条件的不是直角三角形的是A．，， B． C． D．7．（3分）将一副直角三角板和如图放置（其中，，使点落在边上，且，则的度数为A． B． C． D．8．（3分）如图，在△中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点Ⅰ，连接，则下列说法错误的是A．点Ⅰ到边、的距离相等 B．平分 C． D．点Ⅰ到、、三点的距离相等9．（3分）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，大正方形的面积为34，则小正方形的面积为A．1 B．2 C．4 D．810．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为A．6 B． C． D．3二.认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分）11．（3分）根据“的2倍与的差是负数”列出不等式为．12．（3分）在平面直角坐标系中，点位于第象限．13．（3分）边长3的等边三角形面积为．14．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．15．（3分）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为．16．（3分）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是边，的中点，于点，连结，则的长为．17．（3分）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为．18．（3分）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连结，点，分别为和上的动点，则的最小值为．三.全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22题8分，第23～24题10分，共46分）19．（6分）计算：（1）解不等式；（2）解不等式组．20．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹．（1）在图1中，作出的高，并直接写出的长为；（2）在图2中，在边上找到点，使得；（3）在图3中，作，使和面积相等但不全等．21．（6分）如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）写出各顶点坐标；（2）求的面积．22．（8分）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种．（1）上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？红美人象山青进价（元斤）205售价（元斤）3510（2）本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元）23．（10分）在和在中，．（1）如图1，若点为中点，，．①求证：为等腰三角形．②求的面积．（2）如图2，若，，求长．24．（10分）如图1，在中，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点．（1）猜想与的数量关系；（2）在（1）的基础上，如图2，若，，原问题中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若为等边三角形，为等腰三角形且，，，，当和满足什么关系时，和的面积相等．（直接写出结果）四.附加题（本题有2个小题，25题4分，第26题6分，共10分）25．（4分）如图，内角平分线交边于点，交外角的平分线于，连结，，若为等腰三角形，则的度数为．26．（6分）已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，求的长度．

2023-2024学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如所示图形中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：由题意可知，选项、、的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列长度的三条线段，首尾相接不能组成三角形的是A．3，4，5 B．，1，2 C．3，6，3 D．1.5，2.5，3【分析】根据三角形的三边关系解答即可．【解答】解：、，能构成三角形，不符合题意；、，，，能构成三角形，不符合题意；、，不能构成三角形，符合题意；、，能构成三角形，不符合题意．故选：．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．3．（3分）若，则下列不等式中不正确的是A． B． C． D．【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：．，，故本选项不符合题意；．，，故本选项不符合题意；．，，，故本选项符合题意；．，，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．4．（3分）已知等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是A． B． C．或 D．或【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．【解答】解：本题可分两种情况：①当角为底角时，顶角为；②角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为或．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．5．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是A． B．， C．， D．，【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：、满足条件，不满足结论，故选项正确，符合题意；、不满足条件，也不满足结论，故选项错误，不符合题意；、满足条件，也满足结论，故项错误，不符合题意；、不满足条件，也不满足结论，故选项错误，不符合题意．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断，正确记忆能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．6．（3分）满足下列条件的不是直角三角形的是A．，， B． C． D．【分析】根据勾股定理的逆定理可判定、，由三角形内角和可判定、，可得出答案．【解答】解：、当，，时，满足，所以为直角三角形；、当时，设，，，满足，所以为直角三角形；、当时，且，所以，所以为直角三角形；、当时，可设，，，由三角形内角和定理可得，解得，所以，，，所以为锐角三角形，故选：．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．7．（3分）将一副直角三角板和如图放置（其中，，使点落在边上，且，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据计算即可得解．【解答】解：，，，，，，．，故选：．【点评】本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．8．（3分）如图，在△中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点Ⅰ，连接，则下列说法错误的是A．点Ⅰ到边、的距离相等 B．平分 C． D．点Ⅰ到、、三点的距离相等【分析】设点到、、的距离分别为、、，由尺规作图的痕迹可知，平分，则点到边、的距离相等，可判断正确；由平分，点在上，得点点、的距离相等，则，而，所以，则平分，可判断正确；由，可判断正确；由点是△的内心，可知点到、、的距离相等，而不是点到、、三点的距离相等，可判断错误，于是得到问题的答案．【解答】解：设点到、、的距离分别为、、，由尺规作图的痕迹可知，平分，点在上，点到边、的距离相等，故正确；平分，点在上，点点、的距离相等，，，，点到、的距离相等，点在的平分线上，平分，故正确；，，，，故正确；点是△三条角平分线的交点，点是△的内心，点到、、的距离相等，而不是点到、、三点的距离相等，故错误，故选：．【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的内心等知识，证明点到、的距离相等是解题的关键．9．（3分）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，大正方形的面积为34，则小正方形的面积为A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论．【解答】解：如图所示，由题意，，，大正方形的面积为34，，，，，，，小正方形的面积为，故选：．【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．10．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为A．6 B． C． D．3【分析】取的中点，连结，当点在处时，，点在处时，点与点重合．则点所经过的路径的长等于，进而可求出点所经过的路径长．【解答】解：如图，取的中点，连结，，，，，和是等边三角形，，，，，，，，，又点在处时，，点在处时，点与点重合，点所经过的路径的长为从点运动的路径长．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及和运动轨迹有关的知识．解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．二.认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分）11．（3分）根据“的2倍与的差是负数”列出不等式为．【分析】首先表示“的2倍与的差”，再表示“是负数”可得不等式．【解答】解：由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号．12．（3分）在平面直角坐标系中，点位于第二象限．【分析】根据各象限内点的坐标特征即可得到答案．【解答】解：根据第二象限为可知，点位于第二象限，故答案为：二．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，掌握各象限内点的坐标的符号是关键．13．（3分）边长3的等边三角形面积为．【分析】过点作，垂足为，利用等边三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：如图：是等边三角形，过点作，垂足为，是等边三角形，，，，，的面积，故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．15．（3分）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为．【分析】根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．【解答】解：，，，，，是的角平分线，，在与中，，，在与中，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．16．（3分）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是边，的中点，于点，连结，则的长为．【分析】根据等边三角形的性质得出，，求出，根据等边三角形的判定定理得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：是等边三角形，，，、分别是、的中点，，是等边三角形，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理和等边三角形的性质和判定等知识点，能求出是解此题的关键．17．（3分）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为．【分析】连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解．【解答】解：连接，如图所示：、是的中线，，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．18．（3分）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连结，点，分别为和上的动点，则的最小值为．【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，则，此时有最小值，即的长度，利用勾股定理求得、，即可求得，然后利用三角形面积公式求得的值，即有最小值．【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，则，此时有最小值，即的长度，的垂直平分线交于点，，设，则，在中，，，解得，，，，，，故答案为：．方法二：解：如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，则，此时有最小值，即的长度，的垂直平分线交于点，，设，则，在中，，，解得，，，，，，，，即，，即的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了轴对称问题，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用以及三角形的面积公式，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．三.全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22题8分，第23～24题10分，共46分）19．（6分）计算：（1）解不等式；（2）解不等式组．【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1），去括号，得．移项，得．合并同类项，得．系数化为1，得．（2），解不等式①得；解不等式②得．所以不等式组的解集为．【点评】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．20．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹．（1）在图1中，作出的高，并直接写出的长为3.2；（2）在图2中，在边上找到点，使得；（3）在图3中，作，使和面积相等但不全等．【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求，再由三角形面积求出的长即可；（2）以为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题；（3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出．【解答】解：（1）如图1，取格点，连接交于点，线段即为所求，，，，，解得：，故答案为：3.2；（2）如图2，以为直角边作一个等腰直角三角形，交于点，则，即为所求；（3）如图3，即为所求（答案不唯一）．【点评】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，属于中考常考题型．21．（6分）如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）写出各顶点坐标；（2）求的面积．【分析】（1）根据，，的位置写出坐标即可；（2）根据，，坐标，用割补法求面积即可．【解答】解：（1），，；（2）过，，作矩形，如图所示：由图可知，．的面积为．【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是学会用分割法求三角形面积．22．（8分）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种．（1）上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？红美人象山青进价（元斤）205售价（元斤）3510（2）本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元）【分析】（1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案；（2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案．【解答】解：（1）设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元，根据题意得：，解得，，上周售完后一共能赚2500元；（2）设“红美人”的售价为元斤，根据题意得：，解得，“红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润．【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．23．（10分）在和在中，．（1）如图1，若点为中点，，．①求证：为等腰三角形．②求的面积．（2）如图2，若，，求长．【分析】（1）①由直角三角形斜边中线的性质得到，，因此，即可证明为等腰三角形．②过作于，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式即可求出的面积．（2）由等腰直角三角形的性质得到的长，由锐角的正弦求出，于是得到，即可求出．【解答】（1）①证明：，点为中点，，，，为等腰三角形．②解：如图过作于，由①知，，，于，，，的面积．（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，．【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定，解直角三角形，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到，由锐角的正弦求出．24．（10分）如图1，在中，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点．（1）猜想与的数量关系；（2）在（1）的基础上，如图2，若，，原问题中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若为等边三角形，为等腰三角形且，，，，当和满足什么关系时，和的面积相等．（直接写出结果）【分析】（1）过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，，，，则，再证，即可得出结论；（2）过点作于点，由等腰三角形的性质得，是等边三角形，再证，得，进而得是等边三角形，则，，然后证，即可得出结论；（3）过点作于点，过点作交延长线于点，证，再证，得，即