浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高风中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）三角形的两边长分别为7，10，则第三边长可能是A．2 B．4 C．3 D．183．（3分）点关于轴对称点的坐标是A． B． C． D．4．（3分）以下命题是真命题为A．同旁内角相等，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．面积相等的两个三角形全等5．（3分）在△和△中，，，补充条件后，仍不一定能保证△△，这个补充条件是A． B． C． D．6．（3分）已知，则下列不等式成立的是A． B． C． D．7．（3分）下列尺规作图，能判断是边上的中线的是A． B． C． D．8．（3分）如图，在△中，边上的垂直平分线交于点，已知，，则△的周长为A．10 B．11 C．15 D．129．（3分）如图所示，在△中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于．A．8 B．9 C．10 D．1110．（3分）如图，在等边△的，边上各取一点，，使，，相交于，若，则点到的距离等于A．0.5 B．1 C． D．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是．12．（4分）将点向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点，则平移后点的坐标．13．（4分）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则．14．（4分）关于的不等式的解集如图所示，则的值是．15．（4分）如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为．16．（4分）如图，在中，，，点为的中点，点、分别为、上的点，连接、、，若，，，则的长度为．三、解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）解下列不等式（组（1）；（2）．18．（6分）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．（1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰．（2）在图2中的格点上确定一点，画一个以为底的等腰．（3）在图3中的格线上确定一点，使与的长度之和最小．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．19．（7分）如图，在△中，，是边的中点，过点分别作、垂直、．（1）求证：；（2）若，，求．20．（7分）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共需350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍．（1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？（2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？21．（9分）如图，，，，，，请你连结．（1）计算的长．（2）判断的形状并说明理由．（3）计算四边形的面积．22．（9分）如图，△和△均为等腰直角三角形，连接，，点，，在同一直线上．（1）求证：△△；（2）探求与的数量和位置关系；（3）若，，求线段的长．23．（10分）如图1，在△中，于点，于点．（1）若，求证：△△；（2）如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断△的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若，，求△的周长．24．（12分）如图，已知在△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，设出发的时间为秒．（1）出发1秒后，求的长；（2）出发几秒钟后，△的面积等于3？（3）当为何值时，△为等腰三角形？（直接写出答案）

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高风中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：、不是轴对称图形，不符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；、是轴对称图形，符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；故选：．【点评】本题考查轴对称图形．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）三角形的两边长分别为7，10，则第三边长可能是A．2 B．4 C．3 D．18【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设第三边长是，由此得到，即可得到答案．【解答】解：设第三边长是，由三角形三边关系定理得：，，第三边长可能是4．故选：．【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．3．（3分）点关于轴对称点的坐标是A． B． C． D．【分析】关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案．【解答】解：点关于轴对称点的坐标是．故选：．【点评】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．4．（3分）以下命题是真命题为A．同旁内角相等，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．面积相等的两个三角形全等【分析】根据平行线的判定定理、绝对值、对顶角、全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：、同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；、若，则，故本选项命题是假命题，不符合题意；、对顶角相等，是真命题，符合题意；、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（3分）在△和△中，，，补充条件后，仍不一定能保证△△，这个补充条件是A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：，，当时，根据“”可判断△△，所以选项不符合题意；当时，根据“”可判断△△，所以选项不符合题意；当时，不一定能保证△△．所以选项符合题意；当时，根据“”可判断△△，所以选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．6．（3分）已知，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【解答】解：、根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，正确；、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变．故本选项错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7．（3分）下列尺规作图，能判断是边上的中线的是A． B． C． D．【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．【解答】解：观察图象可知，选项中，，故线段是的中线，故选：．【点评】本题考查作图基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）如图，在△中，边上的垂直平分线交于点，已知，，则△的周长为A．10 B．11 C．15 D．12【分析】由线段垂直平分线的性质推出，即可得到△的周长．【解答】解：垂直平分，，△的周长．故选：．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．9．（3分）如图所示，在△中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于．A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据三角形中线的性质得出，，，，即可求出△的面积，再根据三角形中线的性质即可求出阴影部分的面积．【解答】解：点为边的中点，，，点为边的中点，，，，点为边的中点，，故选：．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．10．（3分）如图，在等边△的，边上各取一点，，使，，相交于，若，则点到的距离等于A．0.5 B．1 C． D．【分析】过点作于，证明△和△全等得，则，然后在△中利用直角三角形的性质求的长即可．【解答】解：过点作于，如图所示：△为等边三角形，，，在△和△中，，△△，，，为△的一个外角，，，，在△中，，，，，由勾股定理得：．故选：．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是或．【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当是顶角时，的顶角度数是；当是底角时，则的顶角度数为；综上，的顶角度数是或．故答案为：或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．12．（4分）将点向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点，则平移后点的坐标．【分析】根据向左平移时，点的纵坐标不变，横坐标减小；向下平移时，点的横坐标不变，纵坐标减小即可解决问题．【解答】解：由题知，将点向左平移2个单位后，所得点的坐标为，再将所得点向下平移3个单位后，所得点的坐标为，即点的坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．13．（4分）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则．【分析】根据是的高线，得，根据直角三角形两锐角互余与，得，根据角平分线定义与，得，即可得答案．【解答】解：是的高线，，，，，是的角平分线，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的高线，角平分线，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角关系，角平分线定义的计算．14．（4分）关于的不等式的解集如图所示，则的值是3．【分析】先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可．【解答】解：解不等式得，，由数轴上不等式的解集可知，，，解得，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．15．（4分）如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为2．【分析】延长交于点，根据得，再证明△和△全等得，，则，据此可得的长．【解答】解：延长交于点，如图所示：，，，，平分，，在△和△中，，△△，，，，，．故答案为：2．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．16．（4分）如图，在中，，，点为的中点，点、分别为、上的点，连接、、，若，，，则的长度为．【分析】延长至，使，连接、，过作于，易证，由全等的性质得，易证为的垂直平分线，所以设，易证为等腰直角三角形，则，在中，用勾股定理求得．【解答】解：延长至，使，连接、，过作于，在和中，，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，为的垂直平分线设在中，，，解得（舍．故答案为：．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角的性质及判定，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．三、解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）解下列不等式（组（1）；（2）．【分析】（1）移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可；（2）分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集确定方法确定解集即可．【解答】解：（1），，，；（2），解①得：，解②得：，故不等式组的解集为：．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（6分）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．（1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰．（2）在图2中的格点上确定一点，画一个以为底的等腰．（3）在图3中的格线上确定一点，使与的长度之和最小．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，取格点，使即可．（2）根据等腰三角形的性质，取格点，使点在线段的垂直平分线上即可．（3）作点关于的对称点，连接，交于点，连接，此时与的长度之和最小．【解答】解：（1）如图1，点即为所求（答案不唯一）．（2）如图2，点即为所求（答案不唯一）．（3）如图3，点即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、轴对称最短路线问题，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及轴对称的性质是解答本题的关键．19．（7分）如图，在△中，，是边的中点，过点分别作、垂直、．（1）求证：；（2）若，，求．【分析】（1）证△△，即可得出结论；（2）连接，由等腰三角形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可求解．【解答】（1）证明：，，是边的中点，，又，，，在△和△中，，△△，；（2）解：连接，如图所示：，，，，，是边的中点，，，，，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△△是解题的关键．20．（7分）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共需350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍．（1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？（2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【分析】（1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可；（2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案；设购买需要资金元，根据“购买需要资金每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”写出关于的函数关系式，由该函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最小，求出最小值，该的值对应的方案所需资金最少．【解答】解：（1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元．根据题意，得，解得，（元，答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元．（2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个．根据题意，得，解得，为正整数，，49，50．当时，（个；当时，（个；当时，（个；共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个．设购买需要资金元，则，，随的减小而减小，，当时，的值最小，方案一，即购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个所需资金最少，最少是9800元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次方程、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．21．（9分）如图，，，，，，请你连结．（1）计算的长．（2）判断的形状并说明理由．（3）计算四边形的面积．【分析】（1）根据勾股定理得出即可；（2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1），，，，（2），，，，，，是直角三角形，，在中，，在中，，．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．22．（9分）如图，△和△均为等腰直角三角形，连接，，点，，在同一直线上．（1）求证：△△；（2）探求与的数量和位置关系；（3）若，，求线段的长．【分析】（1）先根据已知条件和等腰直角三角形的性质，证明，，，从而证明△△即可；（2）利用全等三角形的性质证明，，再根据三角形内角和定理证明，从而证明即可；（3）先根据全等三角形的性质证明，然后在△中，根据勾股定理求出，，，最后在△中根据勾股定理列出关于的一元二次方程，解方程求出即可．【解答】（1）证明：△和△均为等腰直角三角形，，，，，即，在△和△中，，△△；（2），，理由如下：如图所示：由（1）可知△△，，，，，，；（3）△△，，△和△均为等腰直角三角形，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，，，，或（不合题意舍去）．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是正确识别图形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质和勾股定理．23．（10分）如图1，在△中，于点，于点．（1）若，求证：△△；（2）如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断△的形状，并说明理由；（3）在（2）的