专题17锐角三角函数与解三角形问题（8类重点考向）（原卷版）

主题四平面几何专题17锐角三角函数与解三角形问题目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一同角三角函数的关系►考向二互余两角三角函数的关系►考向三相似三角形的判定与性质►考向四解直角三角形►考向五解直角三角形的应用►考向六解直角三角形的应用坡度坡角问题►考向七解直角三角形的应用仰角俯角问题►考向八解直角三角形的应用方向角问题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。►考向一同角三角函数的关系1．（2023•大连模拟）下列选项中是有理数的是：（）①2cos245°﹣sin60°•tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤2．（2023•封丘县模拟）计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．►考向二互余两角三角函数的关系3．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB4．（2023•兰山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为．►考向三相似三角形的判定与性质5．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．6．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式组：7．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．►考向四解直角三角形解题技巧/易错易混1.分清直角三角形中的斜边与直角边.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．3.正确应用勾股定理求第三边长．4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.8．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．9．（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm．10．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．►考向五解直角三角形的应用解题技巧/易错易混1.解直角三角形的应用此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.2.解直角三角形应用题应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．11．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（）A． B． C． D．12．（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下．如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龙”字雕塑CD的高度．B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）►考向六解直角三角形的应用坡度坡角问题14．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米15．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）19．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）►考向七解直角三角形的应用仰角俯角问题20．（2023•黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）21．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．22．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）►考向八解直角三角形的应用方向角问题23．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．24．（2023•潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）25．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cosA的值是（）A． B． C． D．4．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．5．（2023•道县校级模拟）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（）A． B． C． D．6．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（）A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米9．（2023•娄星区校级一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA＝．10．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．11．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．12．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为．13．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为km（结果保留π）．14．（2023•城西区校级二模）阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°＝根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．15．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．16．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式组：17．（2022•潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：＝＝＝﹣2小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④＝；．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．18．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．19．（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）20．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）21．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）22．（2023•襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，