高考数学（理）一轮课时达标23解三角形应用举例

课时达标第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(B)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米 B．2sin10°千米C．2cos10°千米 D．cos20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100eq\r(2)m B．400C．200eq\r(3)m D．500解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，A．eq\f(\r(231),5) B．eq\f(5,16)C．eq\f(\r(231),16) D．eq\f(11,5)解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1．4m，BC＝2.8m，且由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为(A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋15eq\r(3))m解析设建筑物高度为h，则eq\f(h,tan30°)－eq\f(h,tan45°)＝60，即(eq\r(3)－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋30eq\r(3))m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile，此船的航速是32nmile/h.解析设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32nmile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为16米.解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16.∴N与D之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝解析在△ABC中，AC＝100eq\r(2)，在△MAC中，eq\f(MA,sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得MA＝100eq\r(3)，在△MNA中，eq\f(MN,100\r(3))＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故MN＝150，即山高MN为150m.三、解答题10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°＝\f(5\r(3),14)，sin22°＝\f(3\r(3),14)))解析如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1(百米).(1)求△CDE的面积；(2)求A，B之间的距离.解析(1)连接DE，在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝eq\f(1,2)DC·CE·sin150°＝eq\f(1,2)×sin30°＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)(平方百米).(2)依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan60°＝eq\r(3).在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理，得BC＝eq\f(CE,sin∠CBE)·sin∠CEB＝eq\f(1,sin30°)×sin45°＝eq\r(2).因为cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).连接AB，在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB(eq\r(3))2＋(eq\r(2))2－2eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝2－eq\r(3)，所以AB＝eq\r(2－\r(3))＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)(百米).12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD＝∠CDE＝eq\f(2π,3)，∠BAE＝eq\f(π,3)，DE＝3BC＝3CD＝eq\f(9,10)km.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区△ABE面积的最大值.解析(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝eq\f(27,100)，∴BD＝eq\f(3\r(3),10)km.∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6)，又∠CDE＝eq\f(2π,3)，∴∠BDE＝eq\f(π,2).∴在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),10)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))2)＝eq\f(3\r(3),5)(km).故道路BE的长度为eq\f(3\r(3),5)km.(2)设∠ABE＝α，∴∠BAE＝eq\f(π,3)，∴∠AEB＝eq\f(2π,3)－α.在△ABE中，易得eq\f(AB,sin∠AEB)＝eq\f(BE,sin∠BAE)＝eq\f(3\r(3),5sin\f(π,3))＝eq\f(6,5)，∴AB＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，AE＝eq\f(6,5)sinα.∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·AEsineq\f(π,3)＝eq\f(9\r(3),25)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))·sinα＝eq\f(9\r(3),25)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＋\f(1,4)))≤eq\f(9\r(3),25)eq