第02讲等腰三角形中易漏解或多解的问题（拓展提升）（原卷版）

第02讲等腰三角形中易漏解或多解的问题（拓展提升）思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形.2.等腰三角形中，底和腰不明确时，要分类讨论，是多解问题.考点剖析考点一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长．【解析】①当时，解得，则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形，此时这个等腰三角形的周长为；②当时，解，则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）．综上所述，这个等腰三角形的周长为10．【变式训练】1．已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【解析】，，，，，解得：，，当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：，当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C．2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】当为腰长时，∵等腰的周长为20，∴的底边长为：，∴“优美比”为；当为底边长时，的腰长为：，∴“优美比”为；故选D．考点二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是．【答案】或【解析】当的角是底角时，则底角为，当的角是顶角时，则底角为，故答案为：或．【变式训练】1．如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．【答案】，或，【解析】①当是顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当是底角时，则有：顶角为；故答案为：，或，．2．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】或或【解析】①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．考点三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若△APE是腰长为的等腰三角形，则的长为．【答案】或或【解析】，为的中点，，四边形是长方形，，，，有三种情况：，作的垂直平分线，交于，此时在的垂直平分线上，即，则，，即此种情况不存在；当时，由勾股定理得：；当时，有和两种情况，过作于，由勾股定理得：，即；，所以的长是或或，故答案为：或或．【变式训练】1．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为．【答案】或或【解析】在中，，由勾股定理得：，为等腰三角形，当时，如图所示，，则，即，当时，如图所示，，则，当时，如图所示，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，综上所述：的值为或或，故答案为：或或．2．在中，，，，D是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是．【答案】9或或3【解析】①如图1，若是等腰三角形，当是底边时D在的延长线上，，，是直角三角形，，，，，，，．图1②如图2，当为腰时，为另一个腰，所以，是直角三角形，，，，，．图2③如图3，当是腰，为底时，，，，，，，，．图3故答案为：9或或3考点四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错例题：在中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长．【解析】如图，

∵是边上的中线，即，∴，若，则，又∵，联立方程组:,解得：，三边能够组成三角形；若，则，又∵，联立方程组,解得：，三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为或．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，

∵，∴顶角；如图2，三角形是钝角时，

∵，∴顶角，综上所述，顶角等于或．故选：D．2．在中，，是边上的高，，则．【答案】或/或【解析】如图，当在内时

如图，当在外时

故答案为或过关检测一、选择题1．若等腰三角形有一个角是，则它的底角是（

）A． B． C．或 D．或2．一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形的底角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．一个等腰三角形的周长为，只知其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长为（

）A． B． C． D．或4．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不对二、填空题5．已知等腰三角形的一个外角是，则其底角的度数为．6．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是．7．在平面直角坐标系中，，，若以为腰作等腰三角形，则在轴上满足条件的点坐标是8．在中，，点在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是．三、解答题9．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．(1)当时，求的面积．(2)当为何值时，把的面积分成相等的两部分，并求出此时的长；(3)当为何值时，为等腰三角形？10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“