专题158轴对称图形与等腰三角形章末拔尖卷（沪科版）

第15章轴对称图形与等腰三角形章末拔尖卷【沪科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·河南周口·八年级校联考期中）用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据轴对称图形的特征进行设计即可；【详解】根据题意满足条件的图如下：，，，，总共有4个；故选D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．（3分）（2023春·四川绵阳·八年级四川省绵阳南山中学双语学校校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则A．19° B．20° C．24° D．25°【答案】B【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得∠B=∠EDB；根据三角形外角性质，得∠AED=2∠B；根据轴对称的性质，得∠C【详解】∵BD的垂直平分线交AB于点E，∴EB=∴∠B∴∠AED∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E∴∠C=∠AED=2∠B∵∠CDE∴∠ADC∵∠CAD∴60+90°-∴∠B故选：B．【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解．3．（3分）（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠OEB＝46°A．92° B．88° C．46° D．86°【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC【详解】解：如图，连接BO并延长至点P，l1与线段AB交于F∵l1，l2是AB、∴OA=OB，OB=∴∠A=∠∴∠AOP=2∠ABO∴∠AOC∵∠OEB＝46°∴∠ABC∴∠AOC故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB>AC的是（

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】B【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．【详解】

由图①知AD=AC，∴AB>故图①能说明AB>由图②知射线BD是∠ABC的平分线，不能说明AB由图③知CD⊥AB，不能说明由图④知DE是BC的垂直平分线，∴DB∵△ADC中AD∴AD即AB>故图④能说明AB>故选：B【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间的关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键．5．（3分）（2023春·山东济宁·八年级校考期末）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDOA．36∘ B．54∘ C．64∘【答案】B【分析】由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF【详解】解：延长FO交AC于点M，∵将ΔABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，∴∠A=∠DOE∴∠DOF∵∠A∴∠A+∠由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO∴∠即：∠DOF∴∠C+72°=180°-∠∴∠C故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．6．（3分）（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A=∠ABE，A．1.2 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】由CD平分∠ACB，BE⊥CD可得CE=BC【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE∴CE=BC∴AE∵∠A∴BE∴BD故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．7．（3分）（2023春·河南周口·八年级统考期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1=12∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2=12（180°∠1）当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点B的个数是4个．故选C．【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．8．（3分）（2023春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD，则DF=BH，从而可求得DF的长．【详解】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示∵DH∥AC∴∠BDH=∠ACB∵∠EDB＝12∠∴∠EDB＝12∠∴∠EDB=∠EDH∵BE⊥DE∴∠DEB=∠DEH∴∠DBE=∠DHE∴DB=DH即△DBH是等腰三角形∴BH=2BE=2×4=8∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∴∠EDB=∠EDH=12∠ACB∵BE⊥DE∴∠EBD=90°∠EDB=67.5°∴∠HBG=∠EBD∠ABC=22.5°∴∠HBG=∠EDH∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°∴GB=GD，∠BGD=90°在Rt△HGB和Rt△FGD中∠∴△HGB≌△FGD∴DF=BH=8故选：B．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形是问题的关键．9．（3分）（2023春·河南周口·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE

A．124° B．102° C．92° D．88°【答案】C【分析】先证明△ABD≌△ACE得到∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAD=28°，由等腰三角形的性质可得∠B=∠【详解】解：∵∠DAE∴∠BAC∴∠BAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠B=∠ACE∵AB∴∠B∴∠B∵CE∴∠B+∠BCE∴∠B∵AB∴△ABC∴∠BAC∵AD∴△ADE∴∠ADE∵∠DAC∴∠DOC故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．10．（3分）（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤【答案】D【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPAASA，再根据∠【详解】解：①∵△ABC和△∴AC=BC，CD=∴∠ACD在△ACD和△AC∴△ACD∴AD=BE，∠ADC②∠DCP在△CDP和△∠∴△CDP∴CP=∴∠CPQ∴∠QPC∴PQ∥AE，③与②的过程同理得：△ACP∴AP=③正确；④∵DE＞QE，且∴DE＞DP，故⑤∵∠ACB∴∠BCD∵△DCE是等边三角形，∠∴BC∥∴∠CBE∴∠AOB∴⑤正确．故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB

【答案】72°/72度【分析】由线段垂直平分线的性质可得∠OBC=∠OCB，由角平分线的定义可得∠【详解】解：∵OE垂直平分BC∴OB∴∠OBC∵CF平分∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∵∠A=52°，∴∠ACF∴∠ACB故答案为：72°．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解∠ACF12．（3分）（2023春·重庆巫溪·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AC，BC上，AB=AE=AD，DE=DC，若【答案】72【分析】根据等腰三角形的性质得出∠DEC【详解】解：∵∠C=42°，∴∠DEC∴∠ADE∵AE=∴∠AED∴∠AEC∴∠AEB∵AB=∴∠BAE故答案为：72．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠DEC13．（3分）（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，F为AB上一点，连接CF交BD于点E，若AB=CE=4，5

【答案】4【分析】过A点作AG∥CF交BD的延长线于点G，证明利用AAS证明△ADG≌△CDE可得AG=CE，结合等腰三角形的性质可证∠ABG=∠【详解】解：过A点作AG∥CF交BD的延长线于点

∴∠G∵BD是AC边上的中线，∴AD=在△ADG和△∠G∴△ADG∴AG=∵CE=∴∠ABG∴∠ABG∴BF=∵AB=CE=4∴AF=3.2∴BF=∴EF=故答案为：45【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键．14．（3分）（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在AB上，点G在BC上，△BDG与△FDG关于直线DG对称，DF与B交于点E，若DF∥AC，∠【答案】59【分析】由轴对称的性质可得∠F=∠B=28°，∠DGB=∠DGF，利用平行线的性质和对称性质求出∠EGF=62°【详解】解：由轴对称的性质可得∠F=∠B∵DF∥∴∠DEB∴∠EGF设∠DGC=x∵∠DGC∴x+62+∴x=59∴∠DGC故答案为：59．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，正确求出∠EGF15．（3分）（2023春·四川成都·八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是．【答案】∠【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC=2∠BPC-180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∴∠PBC=1∴∠=180°-(1=180°-=180°-=90°+1即∠BAC如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA∴∠OAB=∠OBA，∠∴∠AOB=180°-2∠OAB∴∠=360°-(180°-2∠OAB=2∠=2∠=2(2∠=4∠BPC故答案为：∠BOC【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．16．（3分）（2023春·宁夏银川·八年级校考期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．【答案】13【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【详解】如图所示：一共有13画法，故答案为：13三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·河北邯郸·八年级校考期中）如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接AD、BE，延长E交AD于(1)证明：△BEC(2)如果△DEC绕点C转动，并且0°<α<60°，那么β【答案】(1)见详解(2)β不随α的变化而变化，理由见详解【分析】（1）可证BC=AC，EC=（2）可得∠CBE=∠CAD【详解】（1）证明：∵△ABC和△∴BC=AC，∠ACB∴∠ACB∴∠BCE在△BEC和△BC=∴△BEC≌△ADC(（2）解：β不随α的变化而变化，理由如下：∵△BEC∴∠CBE∵∠BOC∠AOF又∵∠BOC∴180°-∠CBE∴∠BCO∴β∴β不随α的变化而变化．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质及判定方法是解题的关键．18．（6分）（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BP平分∠ABC，交AC于点P，点M为BC边上一点，线段(1)如图1，若AM⊥BC，求证：(2)如图2，若AM⊥BP，连接PM，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据角平分线平分角，等角的余角相等，以及对顶角相等，得到∠AEP（2）证明△BEA≌△BEMASA，得到BA【详解】（1）证明：∵BP为∠∴∠ABP∵∠BAC∴∠ABP∵AM∴∠BME∴∠CBP∴∠APB又∵∠BEM∴∠∴AE（2）∵AB=AC∴∠ABC∵BP平分∠∴∠ABP∴∠APB∵BE=BE∴△BEA∴BA=BM在△BPM和BA=∴△BPM∴PA【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，证明三角形全等．19．（8分）（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使MA=MB．水泵站(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一）【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可；（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）．【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．

（2）如图2所示（答案不唯一）．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键．20．（8分）（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图所示，在RtΔABC中，∠BCA=90°，BD平分∠ABC，过点D作DE(1)连接CE，求证：BD垂直平分CE；(2)作AF平分∠BAC交BD于点F，连接CF、EF，求证：∠【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”先证DC=DE，再根据HL证明RtΔBCD≌RtΔBED，则可得BC=BE，由此得B、（2）先根据SAS证明ΔCBF≌ΔEBF，则可得∠FCB=∠FEB，由BD平分∠ABC，AF平分∠BAC，可得CF平分∠ACB，进而可得∠FCB=∠FCA=∠FEB，由此可得【详解】（1）∵BD平分∠ABC，∠BCA∴DC在RtΔBCD和RtΔCD=∴RtΔ∴BC∵DC=DE∴BD垂直平分CE（2）在ΔCBF和ΔEBF中，BC=∴ΔCBF∴∠FCB∵BD平分∠ABC，AF平分∴CF平分∠∴∠FCB∴∠FCA又∵∠FEB∴∠FCA∴∠CAB∵∠CAB∴∠CFE【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．21．（8分）（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．

【答案】见解析【分析】将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行作图即可．【详解】解：如图所示：

【点睛】本题考查了根据轴对称图形的定义网格作图，理解定义是解题的关键．22．（8分）（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，AD是中线，以AC为边在AC右(1)如图（1），连接BE，交AD于点F．①若∠BAC=8