2025届山东省齐鲁名师联盟高三上学期第一次诊断考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，且.故选：C.2.函数在区间上的最大值是（）A.－9 B.－16 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗因为，令，解得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以在时取得极大值，即最大值，所以在区间上的最大值是.故选：C.3.若正数，满足，则的最小值为（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B.4.从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记事件“第一次取到数字”，，事件“第二次取到数字2”，由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间），所以.故选：A.5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48 B.32 C.24 D.16〖答案〗C〖解析〗1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C.6.令，则当时，a除以15所得余数为（）A.4 B.1 C.2 D.0〖答案〗D〖解析〗，当时，，故a除以15所得余数为0.故选：D.7.不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗设，，则，因为，所以，所以在0,+∞上单调递增，所以，即.所以在0,+∞恒成立.由题意：函数的定义域为：0,+∞所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值.而（当且仅当时取“=”）结合图象：方程在上有唯一解.所以.故选：B.8.已知函数没有极值点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数没有极值点，，或恒成立，由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，恒成立．令，则，当时，恒成立，为上的增函数，因为增函数，也是增函数，所以，此时，不合题意；②当时，为增函数，由得，令在上单调递减，在上单调递增，当时，依题意有，即，，，令，，则，令，令，解得，所以当时，取最大值故当，，即，时，取得最大值综上，若函数没有极值点，则的最大值为故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个C（）位回文数有个 D.（）位回文数有个〖答案〗BD〖解析〗据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确；对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错；对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，所以D正确．故选：BD．10.已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A.若，且，，则B.若，且，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗BCD〖解析〗选项A：因为，所以，选项A不正确；选项B：若，则A，B互斥，由，，得，选项B正确；选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，所以，则，选项C正确；选项D：由，，得，，，所以，解得，选项D正确.故选：BCD.11.已知函数是的导函数，则（）A.“”是“为奇函数”的充要条件B.“”是“为增函数”的充要条件C.若不等式的解集为且，则的极小值为D.若是方程的两个不同的根，且，则或〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，当时，函数，则满足，所以为奇函数，所以充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；对于B中，当时，，可得，所以增函数；由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，解得，故，可得，令，解得或，当内，，单调递增；当内，，单调递减；当内，，单调递增，所以的极小值为，所以C正确．对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，联立方程组，可得，解得或，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由“”是“”的必要不充分条件，得，依题意，集合，，当，即时，，则，解得；当，即时，，则，解得，当，即时，，满足，因此，所以实数的取值范围为.13.已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题知，，若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增，所以当时，，不满足题意；若，则当时，，f（x）在上单调递减，所以当时，，满足题意；若，则当时，则，令，则，所以g（x）在上单调递增，当时，，所以存在唯一的，使得，且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意．故实数a的取值范围是．14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.〖答案〗1250〖解析〗由题意知，所以，，若，则，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则，解，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，其中.（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为函数，由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，根据二次函数性质，可得，解得或，所以实数的取值范围为.（2）由函数，可得，因为函数在区间0,+∞内恒成立，即在区间0,+∞内恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以，解得，所以实数的取值范围为.16.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值;（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1），该函数定义域为，则，列表如下：12+0-0+增极大值减极小值增所以，函数的增区间为和，减区间为，函数的极大值为，极小值为.（2）当时，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，所以，，故实数的取值范围是.17.某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？解：（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，则，，，；，，，.则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：.（2），.设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则；设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，显然，故，要满足题意，则，即，又，故，令，，则在恒成立，故在上单调递增，又的最大值为，则的最大值为，的最小值为，而故理论上至少要进行12轮比赛.18.已知函数．（1）在定义域内单调递减，求的范围；（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）函数定义域为，，因为在定义域内单调递减，则在上恒成立，可得，函数在单调递减，的取值范围为；（2）当时，在定义域内单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（3）∵函数在处取得极值，，∴，∴，令，，，则，可得在上递减，在上递增，∴，即．19.在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．（1）若，求；（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．解：（1）因为，所以，所以的分布列为：所以.（2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，则，，，，所以，所以；（ⅱ）由（ⅰ）知，则，则，设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减；所以，即（当且仅当时取等号），所以，所以 ，当且仅当，即，时等号成立，所以.山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，且.故选：C.2.函数在区间上的最大值是（）A.－9 B.－16 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗因为，令，解得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以在时取得极大值，即最大值，所以在区间上的最大值是.故选：C.3.若正数，满足，则的最小值为（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B.4.从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记事件“第一次取到数字”，，事件“第二次取到数字2”，由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间），所以.故选：A.5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48 B.32 C.24 D.16〖答案〗C〖解析〗1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C.6.令，则当时，a除以15所得余数为（）A.4 B.1 C.2 D.0〖答案〗D〖解析〗，当时，，故a除以15所得余数为0.故选：D.7.不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗设，，则，因为，所以，所以在0,+∞上单调递增，所以，即.所以在0,+∞恒成立.由题意：函数的定义域为：0,+∞所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值.而（当且仅当时取“=”）结合图象：方程在上有唯一解.所以.故选：B.8.已知函数没有极值点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数没有极值点，，或恒成立，由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，恒成立．令，则，当时，恒成立，为上的增函数，因为增函数，也是增函数，所以，此时，不合题意；②当时，为增函数，由得，令在上单调递减，在上单调递增，当时，依题意有，即，，，令，，则，令，令，解得，所以当时，取最大值故当，，即，时，取得最大值综上，若函数没有极值点，则的最大值为故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个C（）位回文数有个 D.（）位回文数有个〖答案〗BD〖解析〗据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确；对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错；对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，所以D正确．故选：BD．10.已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A.若，且，，则B.若，且，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗BCD〖解析〗选项A：因为，所以，选项A不正确；选项B：若，则A，B互斥，由，，得，选项B正确；选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，所以，则，选项C正确；选项D：由，，得，，，所以，解得，选项D正确.故选：BCD.11.已知函数是的导函数，则（）A.“”是“为奇函数”的充要条件B.“”是“为增函数”的充要条件C.若不等式的解集为且，则的极小值为D.若是方程的两个不同的根，且，则或〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，当时，函数，则满足，所以为奇函数，所以充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；对于B中，当时，，可得，所以增函数；由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，解得，故，可得，令，解得或，当内，，单调递增；当内，，单调递减；当内，，单调递增，所以的极小值为，所以C正确．对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，联立方程组，可得，解得或，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由“”是“”的必要不充分条件，得，依题意，集合，，当，即时，，则，解得；当，即时，，则，解得，当，即时，，满足，因此，所以实数的取值范围为.13.已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题知，，若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增，所以当时，，不满足题意；若，则当时，，f（x）在上单调递减，所以当时，，满足题意；若，则当时，则，令，则，所以g（x）在上单调递增，当时，，所以存在唯一的，使得，且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意．故实数a的取值范围是．14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.〖答案〗1250〖解析〗由题意知，所以，，若，则，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则，解，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，其中.（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为函数，由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，根据二次函数性质，可得，解得或，所以实数的取值范围为.（2）由函数，可得，因为函数在区间0,+∞内恒成立，即在区间0,+∞内恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以，解得，所以实数的取值范围为.16.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值;（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1），该函数定义域为，则，列表如下：12+0-0+增极大值减极小值增所以，函数的增区间为和，减区间为，函数的极大值为，极小值为.（2）当时，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，所以，，故实数的取值范围是.17.某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.（1）若，求乙在一轮比赛中获得一