2025届江苏省宿迁市高三上学期第一次调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题知，，，故选：C.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗“，”的否定为“，”，故选：C.3.若，则的最小值为（）A.9 B.18 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗根据题意可得；当且仅当，即时，等号成立；此时的最小值为9.故选：A.4.已知函数的值域为，则函数的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，故选：D.6.年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（）（素数即质数，，计算结果取整数）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，估计以内的素数个数为.故选：B.7.已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）〖答案〗D〖解析〗由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，所以，即．设与的交点的横坐标为，，设，则，，且，所以，则．故选：D.8.是在上的连续函数,设,则（）.A. B. C. D..〖答案〗A〖解析〗对CD，取,则有，则，则，故C错误，，则，故D错误；对B，取,则.此时,则B选项错误；由绝对值不等式得,因此，因此选项A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（

）A.是的极小值点 B.有两个极值点C.的极小值为 D.在上的最大值为〖答案〗BD〖解析〗由题设，令，则或，令，则，所以、上递增，上递减，故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；在上，在上递减，在上递增，而，所以在上的最大值为，D正确.故选：BD.10.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存在两个零点，则D.函数在上为增函数〖答案〗AB〖解析〗对于A，由函数定义域为，则，因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，则可得，令，，结合函数图象可设，，则，所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.故选：AB11.已知，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由于，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，即的最小值为，A正确；对于B，由于，，则，当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为，B正确；对于C，又，得，故由于，而对称轴为，则在上单调递减，在上无最值，C错误；对于D，令，则，故，由于，故，，则，当且仅当，结合，即时，等号成立，所以，即的最小值为，D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.，函数没有极值的充要条件为______．〖答案〗〖解析〗，注意到是开口向上的二次函数，若没有极值，则只能是f'x即，解得．13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由复合而成.而单调递增，只需要单调递减.且在上恒成立.则即可，解得.故实数a的取值范围是.14.设集合则集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．〖答案〗1〖解析〗，，则，构造函数，则，令，则，当，，当，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，则，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，因此结合函数的性质知，，，当时，，又当时，，当时，，又，故，因此当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.解：（1），当时，，则；（2）∵，∴是的充分条件，，，解得，即实数a的取值范围是.16.已知函数，的解集为．（1）求f(x)的〖解析〗式；（2）当时，求的最大值．解：（1）因为函数，的解集为，那么方程的两个根是，2，且，由韦达定理有，所以．（2），由，则：根据均值不等式有：，当且仅当，即时取等号，∴当时，．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.（1）求点到平面ABCD的距离；（2）在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）由题设，知，所以.又，所以为等边三角形，所以.在中，，所以.即，则.所以，即，又，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.如图1，设为的中点，连接，因为，所以.又因为平面平面，平面.所以平面，所以即为点到平面的距离.在中，，所以.即点到平面的距离为.（2）如图2，连接OC，则，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC两两互相垂直.以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则，所以.若上存在点满足题意，不妨设，则，所以.设m=x,y,z是平面则，解得，不妨取，则平面的一个法向量为.同理，设是平面的法向量，则，解得，不妨取，则，所以平面的一个法向量为，所以，化简整理得，解得或.即或.故在的三等分点处存在点，可使得平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，若点在的图像上运动，则点在的图象上运动.（1）求的最小值，及相应的值；（2）求函数的〖解析〗式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性；（3）在函数和的图象上是否分别存在点关于直线对称，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1），当且仅当即时，等号成立，即的最小值为2，对应的为0.（2）设图象上点，由题：，所以点在的图像上运动，则，所以，，由得其定义域为所以，定义域为在定义域内为增函数，证明如下：任取，根据指数函数和对数函数单调性有：，，，即所以在定义域内是增函数.（3）假设函数和的图象上分别存在点关于直线对称，设其坐标，则有：解得：故在函数和的图象上分别存在点关于直线对称.19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.（1）求实数的值；（2）证明：当时，；（3）设为实数，讨论方程的解的个数.（1）解：由，有，可知，由题意，，所以，解得.（2）证明：由（1）知，，令，则，所以φx在其定义域内为增函数，又，时，，得证.（3）解：的定义域是，.①当时，，所以hx在上单调递增，且，所以hx在上存在1个零点；②当时，令，由，得.又因为，所以.+0-0+h单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，因为，所以hx在上存在1个零点，且；当时，因为，，而hx在单调递增，且，而，故，所以hx在上存在1个零点；当时，因为，，而hx在单调递增，且，而，所以，所以hx上存在1个零点.从而hx在上存在3个零点.综上所述，当时，方程有1个解；当时，方程有3个解.江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题知，，，故选：C.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗“，”的否定为“，”，故选：C.3.若，则的最小值为（）A.9 B.18 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗根据题意可得；当且仅当，即时，等号成立；此时的最小值为9.故选：A.4.已知函数的值域为，则函数的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，故选：D.6.年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（）（素数即质数，，计算结果取整数）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，估计以内的素数个数为.故选：B.7.已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）〖答案〗D〖解析〗由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，所以，即．设与的交点的横坐标为，，设，则，，且，所以，则．故选：D.8.是在上的连续函数,设,则（）.A. B. C. D..〖答案〗A〖解析〗对CD，取,则有，则，则，故C错误，，则，故D错误；对B，取,则.此时,则B选项错误；由绝对值不等式得,因此，因此选项A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（

）A.是的极小值点 B.有两个极值点C.的极小值为 D.在上的最大值为〖答案〗BD〖解析〗由题设，令，则或，令，则，所以、上递增，上递减，故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；在上，在上递减，在上递增，而，所以在上的最大值为，D正确.故选：BD.10.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存在两个零点，则D.函数在上为增函数〖答案〗AB〖解析〗对于A，由函数定义域为，则，因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，则可得，令，，结合函数图象可设，，则，所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.故选：AB11.已知，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由于，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，即的最小值为，A正确；对于B，由于，，则，当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为，B正确；对于C，又，得，故由于，而对称轴为，则在上单调递减，在上无最值，C错误；对于D，令，则，故，由于，故，，则，当且仅当，结合，即时，等号成立，所以，即的最小值为，D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.，函数没有极值的充要条件为______．〖答案〗〖解析〗，注意到是开口向上的二次函数，若没有极值，则只能是f'x即，解得．13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由复合而成.而单调递增，只需要单调递减.且在上恒成立.则即可，解得.故实数a的取值范围是.14.设集合则集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．〖答案〗1〖解析〗，，则，构造函数，则，令，则，当，，当，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，则，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，因此结合函数的性质知，，，当时，，又当时，，当时，，又，故，因此当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.解：（1），当时，，则；（2）∵，∴是的充分条件，，，解得，即实数a的取值范围是.16.已知函数，的解集为．（1）求f(x)的〖解析〗式；（2）当时，求的最大值．解：（1）因为函数，的解集为，那么方程的两个根是，2，且，由韦达定理有，所以．（2），由，则：根据均值不等式有：，当且仅当，即时取等号，∴当时，．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.（1）求点到平面ABCD的距离；（2）在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）由题设，知，所以.又，所以为等边三角形，所以.在中，，所以.即，则.所以，即，又，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.如图1，设为的中点，连接，因为，所以.又因为平面平面，平面.所以平面，所以即为点到平面的距离.在中，，所以.即点到平面的距离为.（2）如图2，连接OC，则，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC两两互相垂直.以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则，所以.若上存在点满足题意，不妨设，则，所以.设m=x,y,z是平面则，解得，不妨取，则平面的一个法向量为.同理，设是平面的法向量，则，解得，不妨取，则，所以平面的一个法向量为，所以，化简整理得，解得或.即或.故在的三等分点处存在点，可使得平面与平面夹角的余弦值为.18.已