2023-2024学年辽宁省丹东市高一上学期期中教学质量调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.函数的图像必经过点（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数，令，即，可得，所以函数的图象必经过点.故选：D.4.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意可得，解得，所以每头牛值金两，每只羊值金两．故选：A．5.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且，所以.故选：B.6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选：A.7.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由知，函数单调递减，由函数（，且）在区间上单调递增，则单调递减且，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.8.已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于的定义域为，且，所以为偶函数，又当时，为单调递增函数，故由得，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BC〖解析〗A.因为，可知，，则，故A正确；B.若，满足，此时，故B错误；C.，，满足，此时，故C错误；D.，因为，所以，，即，即，故D正确.故选：BC.10.已知，则下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.在区间单调递减C.的值域为D.的图像关于直线对称〖答案〗ABD〖解析〗化简得，的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出的图象，再进行平移画出的图象，因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数，则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数，则在上单调递减，值域为，若点在图象上，则，整理得，即点也在图象上，可知的图像关于直线对称，所以ABD正确；C错误.故选：ABD.11.已知一元二次不等式的解集为或，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一元二次不等式的解集为或，则是方程的两根，且，则，得，则错误；，B正确；，C正确；，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确.故选：BCD.12.已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（）A.若，则B.是偶函数C.在上是增函数D.的解集是〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：取得到，即，取，得到，又，，解得，正确；对选项B：取得到，即，，函数定义域为，函数为奇函数，错误；对选项C：设，则，时，，故，，故，即，函数单调递增，正确；对选项D：，，当时，，则，故；当时，不成立；当时，，则，故；综上所述：，正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是__________.〖答案〗〖解析〗因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，所以有，所以该函数的定义域为.故〖答案〗为：.14.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.15.已知正实数满足，则的最小值为__________.〖答案〗1〖解析〗因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗：.16.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，转化成与在区间上有两个不同的交点，结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，且，所以，解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.解：（1）由题意得，集合，所以，.（2）因为，所以又因为，所以，即，所以的取值范围为.18.已知正实数满足.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）将两边平方得，所以.（2）因为是正实数，令，则，所以，可得，所以.19.已知函数.（1）求证：；（2）若，求的值.解：（1）证明：由，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以.（2）由，得，解得，或，则或，即或，解得或.20.某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）.（1）请用表示；（2）当取何值时，的面积最大，并求最大值.解：（1）因为，直角三角形与直角三角形全等，所以，在中，，所以，整理得.（2）由（1）得的面积为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积最大，最大值为.21.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）解关于的不等式.解：（1）当时，的图像开口向上且对称轴方程为，要使在上单调递减，需满足，解得，所以的取值范围为.（2）不等式，即，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式的解为；当时，不等式化为，若，即时，不等式的解为或，若，即时，不等式的解为，若，即时，不等式的解为或，综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解集为.22.已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设.（1）求的〖解析〗式；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.解：（1）因为，则的图象关于直线对称，且在轴上截得线段长为，的图象与轴的交点分别为，所以设，该函数的图象经过点，所以，解得，所以.（2）因为，其对称轴方程为，当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上所述，当时，，当时，，当时，.（3）若对于任意，总存在，使得成立，等价于，函数，因为，所以，所以当时，取得最小值为，当时，，所以，不成立；当时，，所以，解得或，所以；当时，，所以，解得，所以；综上所述，的取值范围是.辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.函数的图像必经过点（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数，令，即，可得，所以函数的图象必经过点.故选：D.4.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意可得，解得，所以每头牛值金两，每只羊值金两．故选：A．5.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且，所以.故选：B.6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选：A.7.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由知，函数单调递减，由函数（，且）在区间上单调递增，则单调递减且，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.8.已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于的定义域为，且，所以为偶函数，又当时，为单调递增函数，故由得，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BC〖解析〗A.因为，可知，，则，故A正确；B.若，满足，此时，故B错误；C.，，满足，此时，故C错误；D.，因为，所以，，即，即，故D正确.故选：BC.10.已知，则下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.在区间单调递减C.的值域为D.的图像关于直线对称〖答案〗ABD〖解析〗化简得，的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出的图象，再进行平移画出的图象，因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数，则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数，则在上单调递减，值域为，若点在图象上，则，整理得，即点也在图象上，可知的图像关于直线对称，所以ABD正确；C错误.故选：ABD.11.已知一元二次不等式的解集为或，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一元二次不等式的解集为或，则是方程的两根，且，则，得，则错误；，B正确；，C正确；，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确.故选：BCD.12.已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（）A.若，则B.是偶函数C.在上是增函数D.的解集是〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：取得到，即，取，得到，又，，解得，正确；对选项B：取得到，即，，函数定义域为，函数为奇函数，错误；对选项C：设，则，时，，故，，故，即，函数单调递增，正确；对选项D：，，当时，，则，故；当时，不成立；当时，，则，故；综上所述：，正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是__________.〖答案〗〖解析〗因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，所以有，所以该函数的定义域为.故〖答案〗为：.14.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.15.已知正实数满足，则的最小值为__________.〖答案〗1〖解析〗因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗：.16.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，转化成与在区间上有两个不同的交点，结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，且，所以，解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.解：（1）由题意得，集合，所以，.（2）因为，所以又因为，所以，即，所以的取值范围为.18.已知正实数满足.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）将两边平方得，所以.（2）因为是正实数，令，则，所以，可得，所以.19.已知函数.（1）求证：；（2）若，求的值.解：（1）证明：由，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以.（2）由，得，解得，或，则或，即或，解得或.20.某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）.（1）请用表示；（2）当取何值时，的面积最大，并求最大值.解：（1）因为，直角三角形与直角三角形全等，所以，在中，，所以，整理得.（2）由（1）得的面积为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积最大，最大值为.21.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）解关于的不等式.解：（1）当时，的图像开口向上且对称轴方程为，要使在上单调递减，需满足，解得，所以的取值范围为.（2）不等式，即，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式的解为；当时，不等式化为，若，即时，不等式的解为或，若，即时，不等式的解为，若，即时，不等式的解为或，综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解集为.22.已知