江西省上饶市广丰区2025届数学高二上期末达标检测试题含解析

江西省上饶市广丰区2025届数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞2．从直线上动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（）A. B.C. D.3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330C.220 D.1104．双曲线实轴长为（）A.1 B.C.2 D.5．下列曲线中，与双曲线有相同渐近线是（）A. B.C. D.6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）A. B.C. D.7．已知向量，，若，则（）A.1 B.C. D.28．数列满足，，则（）A. B.C. D.29．设点是点，，关于平面的对称点，则（）A.10 B.C. D.3810．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.11．已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A.-1 B.C.+1 D.612．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．截止到18时，最后一辆车行驶了____小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为______千米14．在正项等比数列中，，，则的公比为___________.15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.16．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：参考数据：其中，，，，，，，，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）求声音强度D关于声音能量I回归方程（3）假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：18．（12分）已知圆，是圆上一点，过A作直线l交圆C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且A为的中点.（1）求圆C在点A处的切线方程；（2）求直线l的方程.19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极大值与极小值；（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.20．（12分）【阅读材料1】我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（），（），……，（），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数R2来刻画回归的效果，相关指数R2的计算公式为：当R2越大时，回归方程的拟合效果越好；当R2越小时，回归方程的拟合效果越差，R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2较大的回归模型.【阅读材料2】2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当0<x≤13时，建立了与的两个回归模型：模型①:；模型②:；当x>13时，确定y与x满足的线性回归直线方程为.根据以上阅读材料，解答以下问题：（1）根据下列表格中的数据，比较当0<x≤13时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择拟合效果更好的模型.回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2（2）当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少.附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；②③，当时，.21．（12分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.22．（10分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断、及、的大小.【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.故选：A.2、B【解析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，设，则，，则，当取最小值时，，此时，，，，故，此时，.故选：B.3、A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.Ⅱ卷4、B【解析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，，即，实轴长，故选：B5、B【解析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.故选：B6、A【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，，则，，，，，解得：或；又与坐标原点不重合，，，当时，，直线恒过定点.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.7、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.【详解】由，则，即则，所以则故选：B8、C【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案【详解】解：∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档9、A【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长【详解】点是点，，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，，，，直线与轴平行，，故选：A10、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C11、A【解析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.【详解】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.故选：A12、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.2.5####②.1950【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.故答案为：2.5,195014、3【解析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设，等比数列公比，且，所以，可得或（舍），故公比为3.故答案为：315、【解析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，解得，所以.故答案为：16、【解析】由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.【详解】，从而，由正弦定理得：，解得：故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）更适合（2）（3）点P处会受到噪声污染，理由见解析【解析】（1）直接判断即可；（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.【小问1详解】更适合【小问2详解】令，则，，D关于W的回归方程是，则D关于I的回归方程是【小问3详解】设点P处的声音能量为，则因为所以当且仅当，即时等号成立所以，所以点P处会受到噪声污染18、（1）（2）或【解析】（1）以直线方程的点斜式去求圆C在点A处的切线方程；（2）以A为的中点为突破口，设点法去求直线l的方程简单快捷.【小问1详解】圆可化为，圆心因为直线的斜率为，所以圆C在A点处切线斜率为2，所以切线方程为即.【小问2详解】由题意设因为是中点，所以将B代入圆C方程得解得或当时，，此时l方程为当时，，此时l方程为所以l方程为或19、（1）的极大值为0,的极小值为（2）2【解析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.【详解】解:（1）当时，，所以，令，则或，则当和时，；当时，，则在和上单调递增，在上单调递减,所以极大值为；的极小值为.（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值；因为,,所以，因为，则，所以.【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.20、（1）模型②拟合效果更好（2）69.1（亿元）【解析】（1）分别求出两个模型的相关指数，在进行比较即可，（2）利用最小二乘法求出回归方程，再求收益即可【小问1详解】对于模型①，因为，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合效果更好【小问2