2025届江苏省常州市前黄国际中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届江苏省常州市前黄国际中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的导数为，且，则（）A. B.C.1 D.2．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（）A. B.C. D.3．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.4．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.55．若抛物线与直线：相交于两点，则弦的长为（）A.6 B.8C. D.6．若命题“或”与命题“非”都是真命题，则A.命题与命题都是真命题B.命题与命题都是假命题C.命题是真命题，命题是假命题D.命题是假命题，命题是真命题7．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.1178．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.9．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为附表：A. B.C. D.10．抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.11．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A B.C.3 D.12．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.14．已知数列满足，则__________.15．已知数列满足，，则_____________.16．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.18．（12分）如图，在平面直角标系中，已知n个圆与x轴和线均相切，且任意相邻的两个圆外切，其中圆.（1）求数列通项公式；（2）记n个圆的面积之和为S，求证：.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.20．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围21．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求数列{}的通项公式；（2）若＝·，求数列的前n项和22．（10分）已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.【详解】由得，当时，，解得，所以，.故选：B2、D【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，且求解.【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为，在图②中，的周长为，因为光速相同，且，所以，即，所以，即的长轴长与的实轴长之比为，故选：D3、C【解析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.【详解】设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前10项和：.故选：C.4、B【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.【详解】初始值：，当时，，进入循环；当时，，进入循环；当时，，终止循环，输出的值为3.故选：B5、B【解析】由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，再联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理和抛物线的定义求解.【详解】解：由题得.由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，设，联立直线和抛物线方程得,所以.所以.故选：B6、D【解析】因为非p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题，选D.7、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C8、B【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B9、D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选D10、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；【详解】抛物线的方程化成标准形式，准线方程为，故选：A.11、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C12、B【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由得或，由得，因为或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数.【详解】解：由圆，可得：，可得其圆心为，半径为；由，可得，可得其圆心为，半径为2；所以可得其圆心距为：，可得：，故两圆相交，其公切线条数为,故答案为：2.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题.14、【解析】由题，用累乘法求得通项公式：，则，通过裂项求和即可得出结果.【详解】由题，所以累乘法求通项公式：，所以，经验证时，符合.所以，则.故答案为：15、【解析】由题设可得，应用累加法有，结合已知即可求.【详解】由题设，，所以，又，所以.故答案为：.16、①.1.6；②.3.65.【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.详解】由数表得：，，因此，回归直线过点，由，解得，此时，，当时，即，解得，所以，预计该年进口总额为千亿元.故答案为：1.6；3.65三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）最大值为，最小值为【解析】（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.【小问1详解】因为点在函数的图像上，所以，又数列是等差数列，所以，即所以，；【小问2详解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小问3详解】记的前n项和为，则=，当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，当n为偶数时随着n增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.18、（1）.（2）证明见解析.【解析】（1）由已知得，设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在从而有得，由等比数列的定义得数列是以为首项，为公比的等比数列.由此求得答案；（2）由（1）得再由圆的面积公式和等比数列求和公式计算可得证.【小问1详解】解：直线的倾斜角为则圆心在直线上，，设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在中，所以即化简得，变形得，所以是以为首项，为公比的等比数列.，.【小问2详解】解：由（1）得所以，所以.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，可通过证明，得平面；（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.【小问1详解】如图，连接，在中，由可得.因为，，所以，，因为，，，所以，所以.又因为，平面，，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.由，有，则，设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.由，，，可得平面与平面所成夹角的余弦值为.20、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.21、（1）；（2）【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；（2）分析可知应用错位相减法求数列的和【详解】（1）由知，数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，即数列的通项公式为（2），，，两式相减得：，整理得：，所以22、（1）；（2）证明见解析【解析】(1)由可求出，结合离心率可知