新高考数学之圆锥曲线综合讲义第11讲阿基米德三角形问题(原卷版+解析)

第11讲阿基米德三角形问题一、解答题1．设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形．5．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．6．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.7．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．①求证直线l过定点；②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．8．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.9．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.10．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.11．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.12．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.（1）求拋物线的方程.（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.13．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.14．如图，设抛物线y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.15．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，证明：；（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.16．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB．17．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（Ⅰ）设线段的中点为；（ⅰ）求证：平行于轴；（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．第11讲阿基米德三角形问题一、解答题1．设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.【分析】（1）设E点坐标为(x，y)，由E到x轴的距离等于即可求解.（2）设A，B两点的坐标分别为，，利用导数求出曲线在A，B处切线的斜率，从而可得x2＝－，再求出的斜率，证出kAF＝kAB，即证.【详解】（1）设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心，设为E，则E点坐标为.∴E到x轴的距离等于，即＝，化简得x2＝4y.∴点E的轨迹C的方程为x2＝4y.（2）证明：由（1）知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝x2，设A，B两点的坐标分别为，，∵曲线方程为y＝x2，∴y′＝x，∴曲线在A，B处切线的斜率分别为k1＝x1，k2＝x2，∵k1k2＝－1，∴x1·x2＝－1，∴x2＝－，∴A，B两点连线的斜率为kAB＝＝－＋x1，A，F两点连线的斜率为kAF＝＝－＋x1＝kAB，∴A，B，F三点共线.【点睛】关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A，B两点的坐标求出x2＝－，考查了计算求解能力.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；（Ⅱ）设M(xM，yM)，N(xN，y试题解析：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)．将其代入，消去x，整理得y2−4my−8=0．从而y（Ⅱ）AF：y=y1x1由韦达定理得，y1yk1考点：1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线的性质．3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析【分析】（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程．【详解】解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，可得，设，，则，点为线段的中点，可得，即，则抛物线的方程为；（2）证明：设，，点为线段的中点，可得，，由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，由，可得，①同理可得，②①②可得，即为，即．可得交点在一条定直线上．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得M点的坐标为，代入抛物线方程，即可求出p的值；（2）设，利用导数的几何意义得到A，B两点处的切线斜率分别为，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k1k2＝﹣1，从而得到△PAB为直角三角形．【详解】（1）记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M，由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径，所以M点的坐标为，代入抛物线方程得：，所以，所以抛物线的方程为.（2）设，由，可得y，则，所以A，B两点处的切线斜率分别为，，由，得，所以，所以，所以，即为直角三角形．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．5．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程．（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上．【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，则且.由抛物线的定义可知，，所以，由梯形中位线可得，所以，可得，所以抛物线的标准方程为.（2）证明：设，由，得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立得，解得，即直线的交点坐标为.因为过焦点，由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，代入抛物线中，得，所以，故，所以的交点在定直线上．【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算．6．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设，则有，化简得，故轨迹的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立得，设，，则，，又，所以，所以切线的方程为，即，同理切线的方程为联立得，.两式消去得，当时，，，所以交点的轨迹为直线，去掉点.因而交点在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.7．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．①求证直线l过定点；②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．【答案】（1）y2＝12x；（2）①证明见解析；②13x－y－156＝0．【分析】(1)根据题意圆心到抛物线焦点距离，利用两点之间距离公式计算可得结果（2）设直线方程，联立抛物线，结合条件求得两根之和与两根之积，解得得到定点，再得出点到线距离最大时的直线方程【详解】(1)圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，可得圆心C(－1，1)，半径r＝1，抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，准线方程为，圆心C到抛物线焦点F的距离为,即有解得p＝6，即抛物线方程为y2＝12x.(2)①证明：设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则整理得：y2－12my－12t＝0，所以y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t．由于OA⊥OB．则x1x2＋y1y2＝0．即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0．整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．故直线的方程为x＝my＋12，直线经过定点P(12，0)．②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．，则．此时直线l的方程为：，即13x－y－156＝0．【点睛】本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程，这里给出形式的直线方程，方便计算，根据题目意思解得直线恒过定点，再结合题意，求得当与直线垂直时的直线方程即可.8．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.【答案】(1)2;(2)有最小值4，此时.【分析】（1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出．（2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值．【详解】（1）设，，，则，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，又由直线过点，∴，联立得，，点到直线的距离，，当且仅当时，有最小值4，此时.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解；（Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解.【详解】（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.（Ⅱ）设，，则、设直线：（）代入中得，∵、∴又∴∴直线恒过【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.【答案】（1）不在，证明见详解；（2）【分析】（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.【详解】（1）设直线方程，根据题意可知直线斜率一定存在，则则由所以将代入上式化简可得，所以则直线方程为，所以直线过定点，所以可知点不在直线上.（2）设线段的中点为线段的中点为则直线的斜率为，直线的斜率为可知线段的中垂线的方程为由，所以上式化简为即线段的中垂线的方程为同理可得：线段的中垂线的方程为则由（1）可知：所以即，所以点轨迹方程为焦点为，所以当三点共线时，有最大所以【点睛】本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.11．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.【答案】（1）点在直线上，理由见解析（2）【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点的坐标，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得直线恒过，即得在直线上；（2）设，的坐标，可得直线，的斜率及线段，的中点坐标，进而求出线段，的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心的坐标，由（1）可得的横纵坐标关于参数的表达式，消参数可得的轨迹方程．【详解】(1)点在直线上.理由如下，由题意,抛物线的顶点为因为直线与抛物线有2个交点，所以设直线AB的方程为联立得到，其中，所以，因为所以，所以，解得，经检验，满足，所以直线AB的方程为，恒过定点.（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，设线段的中点为，线段的中点为为，因为，设，，，所以，，，，，，所以线段的中垂线的方程为：，因为在抛物线上，所以，的中垂线的方程为：，即，同理可得线段的中垂线的方程为：，联立两个方程，解得，由（1）可得，，所以，，即点，所以，即点的轨迹方程为：．【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．12．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.（1）求拋物线的方程.（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.【答案】（1）；（2）存在这样的，当时，坐标为.【分析】（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到，由三角形面积列出方程求出，即可得出抛物线方程；（2）先设，直线的方程为，根据直线与抛物线相切，得到，进而推出的方程为，根据，得到方程，由两直线方程，即可求出，确定出结果.【详解】（1）由题意得，点的纵坐标均为，由，解得，则，由，解得，故抛物线的方程为.（2）假设存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点，设，直线的方程为，将抛物线方程变形为，则，所以，所以的方程为.因为，所以直线的方程为.把代入的方程得.同理可得构造直线方程为，易知两点均在该直线上，所以直线的方程为.故恒过点.因为，所以可设方程为，化简得所以恒过点.当，即时，与均恒过，故存在这样的，当时，坐标为.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于用分别表示出直线和的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线的方程，由直线与抛物线相切，得出直线方程，推出的方程，进而确定的方程，即可求解.13．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【分析】设的方程为．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．【详解】由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为（Ⅰ）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以（Ⅱ）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．14．如图，设抛物线y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）(−∞,0)∪(2，+∞).【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得p2（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为y2=4x,F(1,0)，可设因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1，(s≠0)，由y2=4x，x=sy+1故y1y2又直线AB的斜率为2tt2−1从而得直线FN:y=−t2−12t(x−1)设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt于是m=2所以m＜0或m＞2.经检验，m＜0或m＞2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞).【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离；（Ⅱ）通过联立方程组可得点Β的坐标，进而可得点Ν的坐标，再利用Α，Μ，Ν三点共线可得m用含有t的式子表示，进而可得Μ的横坐标的取值范围.15．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，证明：；（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设，，，根据中点在抛物线上得到，同理得到是二次方程的两不等实根，计算得到答案.（3）设，代换得到计算得到答案.【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.（2）设，，，则中点为，由中点在抛物线上可得，化简得，显然，且对也有，所以是二次方程的两不等实根，所以，.（3），由（1）可得，，，此时在半椭圆上，∴，∵，∴，∴，，所以，，所以，即的面积的最小值是.【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△A