2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第9章 9.8　抛物线

§9.8抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×)教材改编题1．抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．答案y2＝±4eq\r(2)x解析由已知可知双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.

题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()A．2B．3C．6D．9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.(2)已知A(3,2)，点F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则点P的坐标为()A．(0,0) B．(2,2)C．(1，eq\r(2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案B解析如图所示，设点P到准线的距离为d，准线方程为x＝－eq\f(1,2)，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AB|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，当且仅当点P为AB与抛物线的交点时，|PA|＋|PF|取得最小值，此时点P的坐标为(2,2)．思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－4 B．x＝－3C．x＝－2 D．x＝－1答案A解析直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝eq\f(1,2)|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.eq\f(3,2)C．5D.eq\f(5,2)答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq\f(5,2)－1＝eq\f(3,2).2．(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为eq\f(\r(3),3)，点A的纵坐标为eq\f(3,2)，则p的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上，准线方程为y＝－eq\f(p,2)，设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(3),3)，因为α∈[0，π)，所以α＝eq\f(π,6)，所以|AF|＝eq\f(yA－\f(p,2),sinα)＝eq\f(\f(3,2)－\f(p,2),sinα)＝eq\f(3－p,2sinα)＝eq\f(3－p,2×\f(1,2))＝3－p，所以3－p＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，解得p＝1.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP答案B解析连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3eq\r(3)，则抛物线的方程为()A．y2＝2xB．y2＝3xC．y2＝4xD．y2＝6x答案B解析如图，|AB|＝3，|BC|＝3eq\r(3)，则|AC|＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，所以|FH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，又|FH|＝p，所以p＝eq\f(3,2)，所以抛物线的方程为y2＝3x.题型二抛物线的几何性质例3(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq\r(2)，则p等于()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案B解析抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．(2)已知弦AB经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中错误的是()A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小B.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－eq\f(p,2)相离D．y1y2＝－p2答案C解析当AB与x轴垂直时，AB为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即|AB|最小，A正确；设AB方程为x＝ty＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pty－p2＝0，∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，D正确；∴x1＋x2＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(y1＋y22－2y1y2,2p)＝eq\f(4p2t2＋2p2,2p)＝2pt2＋p，x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p2,4)，∴eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4))＝eq\f(2pt2＋2p,p2＋p2t2)＝eq\f(2pt2＋1,p2t2＋1)＝eq\f(2,p)，B正确；∵AB的中点到x＝－eq\f(p,2)的距离为eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)＝eq\f(1,2)|AB|，∴以AB为直径的圆与准线x＝－eq\f(p,2)相切，C错误．教师备选1．抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A．(4,0) B．(2,0)C．(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))答案C解析设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，则点A(－x1，－y1)，可得－x1＝－eq\f(p,2)，则x1＝eq\f(p,2)，设直线MB的方程为x＝my＋4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2－2mpy－8p＝0，所以y1y2＝－8p，由题意可知，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＋y1y2＝eq\f(64p2,4p2)－8p＝16－8p＝0，解得p＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论错误的是()A．y1y2＝－1B．|AB|＝eq\f(25,16)C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝－eq\f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线答案A解析设抛物线的焦点为F，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))，且l1∥x轴，故A(1,1)，故直线AF：y＝eq\f(1－0,1－\f(1,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－eq\f(3,4)y－eq\f(1,4)＝0，故y1y2＝－eq\f(1,4)，故A错误；又y1＝1，故y2＝－eq\f(1,4)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,16)，故B正确；直线AO：y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4)，))可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确；因为|AP|＝eq\f(41,16)－1＝eq\f(25,16)＝|AB|，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______________．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________.答案21解析由eq\f(p,2)＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.题型三直线与抛物线例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9).从而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，即A(3,3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).教师备选如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2))).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解(1)设直线AP的斜率为k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，因为－eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)由(1)得直线AP的斜率为k，x＝k＋eq\f(1,2)，则直线BQ的斜率为－eq\f(1,k)(k≠0)，设直线AP的方程为kx－y＋eq\f(1,2)k＋eq\f(1,4)＝0，直线BQ的方程为x＋ky－eq\f(9,4)k－eq\f(3,2)＝0，联立直线AP与BQ的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).因为|PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq\r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq\f(k－1k＋12,\r(k2＋1))，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上单调递增，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，因此当k＝eq\f(1,2)时，|PA|·|PQ|取得最大值eq\f(27,16).当k＝0时，|PA|＝1，|PQ|＝1，|PA|·|PQ|＝1，所以|PA|·|PQ|的最大值为eq\f(27,16).思维升华(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)，O为坐标原点，过F的直线l与C交于M，N两点，当MA⊥OA时，|MF|＝2.(1)求p的值；(2)若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，求直线l的方程．解(1)当MA⊥OA时，此时点M的纵坐标为2，其横坐标xM＝eq\f(2,p).因为|MF|＝2，根据抛物线的定义，得|MF|＝eq\f(2,p)＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2.(2)由(1)知，抛物线C的方程为y2＝4x，点F的坐标为(1,0)．设直线l：x＝ky＋1，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x，))化简可得y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.根据题意eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x1，y1－2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x2，y2－2)，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝0.将x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＝1，y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入化简可得4－2×4k－4＋1＝0，解得k＝eq\f(1,8)，所以直线l的方程为x＝eq\f(1,8)y＋1，即8x－y－8＝0.课时精练1．抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点到准线的距离是()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案D解析抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2＝eq\f(1,2)y得p＝eq\f(1,4).2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A．2B．3C．4D．6答案B解析因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(6,2)＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，则|MF|等于()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝eq\r(2)|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝eq\r(2).4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．2eq\r(6)m B．4eq\r(6)mC．4eq\r(2)m D．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2eq\r(6)，x2＝－2eq\r(6)，所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq\r(6).5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论不正确的是()A．p＝4B．抛物线方程为y2＝16xC．直线l的方程为y＝2x－4D．|AB|＝10答案B解析由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F(2,0)，则yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．6．已知A，B为抛物线x2＝2py(p>0)上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2π，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足为D，则|CD|的最大值为()A．2B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)答案A解析根据题意，2π＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2，∴|AB|＝2eq\r(2).设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ⊥l于Q，过点B作BP⊥l于P，如图，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，∴在四边形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由勾股定理得，8＝a2＋b2，∵|CD|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(8＋2ab,4)＝2＋eq\f(ab,2)≤2＋eq\f(a2＋b2,4)＝4，∴|CD|≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)．7．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.答案54eq\r(5)解析因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因为|MF|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．解(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1.又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.10．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过点P(3,0)的直线l交抛物线E于A，B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3(O为坐标原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)求△AOB面积的最小值．解(1)设直线l为x＝ty＋3，代入E：y2＝2px整理得y2－2pty－6p＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pt，y1y2＝－6p，所以x1x2＝eq\f(y1y22,4p2)＝eq\f(－6p2,4p2)＝9，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，即x1x2＋y1y2＝－3，得9－6p＝－3，所以p＝2，所以所求抛物线E的方程为y2＝4x.(2)由(1)得y1＋y2＝4t，y1y2＝－12，|AB|＝eq\r(1＋t2)eq\r(4t2＋48)＝4eq\r(1＋t2)eq\r(t2＋3)，点O到直线l的距离为d＝eq\f(3,\r(1＋t2))，则S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(3,\r(1＋t2))×4eq\r(1＋t2)eq\r(t2＋3)＝6eq\r(t2＋3)≥6eq\r(3)，当t＝0时，等号成立，故当t＝0时，△AOB面积有最小值6eq\r(3).11．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意可知，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为()A.eq\f(5,3)mB.eq\f(7,4)mC.eq\f(9,4)mD.eq\f(7,3)m答案B解析以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，记BM⊥OC且垂足为M，A在y轴上的投影为D，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知|AD|＝3，|BM|＝4，|OC|＝7，所以|MC|＝|OC|－|AD|＝7－3＝4，所以C(4，－4)，代入抛物线方程可知16＝8p，所以p＝2，所以抛物线方程为x2＝－4y，又因为xA＝－3，所以yA＝yD＝－eq\f(9,4)，所以|BD|＝eq\f(9,4)，所以|OA|＝|DM|＝|BM|－|BD|＝4－eq\f(9,4)＝eq\f(7,4)，所以OA的高度为eq\f(7,4)m.13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论不正确的是()A．点P到抛物线焦点的距离为eq\f(5,4)B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq\f(5,32)C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为eq\f(1,2)答案D解析因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，所以p＝eq\f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).对于A，|PF|＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，A正确；对于B，kPF＝eq\f(4,3)，所以lPF：y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝eq\f(3,4)，y1y2＝－eq\f(1,4)，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(5,32)，B正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)，所以切线方程为x－2y＋1＝0，C正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k′(x－1)，与y2＝x联立得k′y2－y＋1－k′＝0，所以yM＋1＝eq\f(1,k′)，即yM＝eq\f(1,k′)－1，则xM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2，所以点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2，\f(1,k′)－1))，同理Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1))2，－\f(1,k′)－1))，所以kMN＝eq\f(\f(1,k′)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1))2)＝eq\f(\f(2,k′),\f(－4,k′))＝－eq\f(1,2)，D错误．14．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________．答案eq\f(7,4)解析由题意得M(2,0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝eq\f(y＋4,4)－eq\f(x－2,2)＝eq\f(x2,4)－eq\f(x,2)＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)≥eq\f(7,4)，故λ＋μ的最小值为eq\f(7,4).15．已知抛物线C：y2＝4x，其准线与x轴交于点M，过其焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，记直线MA，MB的斜率分别